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1、第第1 1- -3 3节节 行列式的性质行列式的性质【性质性质1 1】行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。称为称为D的的转置行列式。转置行列式。将将D的行与列互换的行与列互换后的行列式记为:后的行列式记为:证明:证明:则则由行列式定义由行列式定义 【注注】行列式中行与列地位相同,对行成立的性质,对列也行列式中行与列地位相同,对行成立的性质,对列也同样成立,反之亦然。同样成立,反之亦然。 【性质性质2 2】互换行列式的两行互换行列式的两行 (列列) ,行列式的值变号。,行列式的值变号。证明:证明:设设:交换交换 s、t 两行,得:两行,得:第 s 行行第 t 行行由行列式定义
2、可知:由行列式定义可知:交换交换s、t 两行记为:两行记为:交换交换s、t 两列记为:两列记为: 记号记号【推论推论】如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)相同,则其值为相同,则其值为 0 。证明:证明: 把相同的两行互换,有把相同的两行互换,有DD,所以,所以 D0【性质性质3 3】用数用数 k 乘行列式的某一行乘行列式的某一行(列列)中的所有元素,中的所有元素,等于用数等于用数 k 乘该行列式。乘该行列式。证明:记证明:记左边左边 【推论推论】行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式的符号外面。行列式的符号外面。 【推论推论】若行列式有两行(列)的对
3、应元素成比例,若行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式等于则行列式等于0 。【性质性质4 4】即:如果某一行是两组数的和,则此行列式就等于两个行即:如果某一行是两组数的和,则此行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行以外都与原来行列式的列式的和,而这两个行列式除这一行以外都与原来行列式的对应的行一样。对应的行一样。左边左边右边右边 对于列而言有同样的结果:对于列而言有同样的结果: 【性质性质5 5】将行列式某一行(列)所有元素的将行列式某一行(列)所有元素的 k倍乘倍乘以同加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不以同加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。变。证明:
4、证明:作作记号记号第第 t 行的行的k倍加到第倍加到第 s 行上:行上:第第 t 列的列的k倍加到第倍加到第 s 列上:列上:得:得:例例1 计算计算【注注】计算行列式常用方法:利用运算:计算行列式常用方法:利用运算:把行列式化为三角形行列式,从而算得行列式的值把行列式化为三角形行列式,从而算得行列式的值解:解:例例2 2 计算:计算:解解:例例3 3 计算计算 阶行列式阶行列式解:解:将第将第 列都加到第一列得:列都加到第一列得:例例4 4 若若n阶行列式的元素满足:阶行列式的元素满足:试证:当试证:当 n 为奇数时,此行列式为零。为奇数时,此行列式为零。证明证明:由此:由此:结论结论:奇数阶的反对称行列式等于零。:奇数阶的反对称行列式等于零。每一行提出每一行提出共共n个个例例5 5 求求解:解: 解:解:将第一行分别加到第将第一行分别加到第2, 3, , n行,有:行,有:习题:习题:1、计算、计算2、计算、计算