ABCDE概念学习概念学习连接连接三角形三角形两边中点的线段叫做三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线中位线F三角形有三条中位线三角形有三条中位线 ABCDE探索学习探索学习三角形的中位线与第三边有什么关系三角形的中位线与第三边有什么关系? CEDF FBA返回 证证明明：：如如图图，，以以点点E E为为旋旋转转中中心心，，把把⊿⊿ADEADE绕绕点点E E，，按按顺顺时时针针方方向向旋旋转转180180゜゜，，得得到到⊿⊿CFECFE，， 则则D D，，E E，， F F同同在在一一直直线线 上上DE=EFDE=EF，且，且⊿⊿ADE≌ADE≌⊿⊿CFECFE∴∠ADE=∠F∴∠ADE=∠F，，AD=CFAD=CF，，∴AB∥CF∴AB∥CF又又∵BD=AD=CF∵BD=AD=CF，，∴∴四四边边形形BCFDBCFD是是平平行行四四边边形形（（一一组组对对边边平平行且相等的四边形是平行四边形），行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC∴DF∥BC（根据什么？），（根据什么？），∴DE 1/2BC∴DE 1/2BC CEDF FBA证证法法二二：：过过点点C作作AB的的平平行行线交线交DE的延长线于的延长线于F∵∵CF∥∥AB，，∴∠∴∠A=∠∠ECF又又AE=EC，，∠∠AED=∠∠CEF ∴△∴△ADE≌△≌△CFE ∴∴ AD=FC又又DB=AD，，∴∴DB FC∴∴四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形∴∴DE// BC 且且DE=EF=1/2BC返回 A AB BC CE ED DF F证法三：如图，延长证法三：如图，延长DE至至F, 使使EF=DE，，连接连接CD、、AF、、CF∵∵AE=EC ∴∴DE=EF∴∴四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形∴∴AD FC又又D为为AB中点，中点，∴∴DB FC∴∴四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形 ∴∴DE// BC 且且DE=EF=1/2BC返回 A AC CED DF FG GB B证法四：如图，过证法四：如图，过E作作AB的平行线交的平行线交BC于于F，自，自A作作BC的平行线交的平行线交FE于于G∵∵AG∥∥BC∴∠∴∠EAG=∠∠ECF 又又∵∵ AE=EC, ∠∠AEG=∠∠CEF∴△∴△AEG≌△≌△CEF∴∴AG=FC，，GE=EF又又AB∥∥GF，，AG∥∥BF∴∴四边形四边形ABFG是平行四边形是平行四边形∴∴BF=AG=FC，，AB=GF又又D为为AB中点，中点，E为为GF中点，中点，∴∴DB EF∴∴四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形∴∴DE∥∥BF，即，即DE∥∥BC，，DE=BF=FC即即DE=1/2BC返回 三角形的中位线平行于第三边， 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半并且等于第三边的一半. .已知：如图，已知：如图，D、、E分别是分别是△△ABC的边的边AB、、AC的中点的中点.求证：求证：DE∥∥BC，，CEDBA 三角形的中位线三角形的中位线平行平行且且等于等于第三边的一半第三边的一半. .几何语言几何语言：：∵DE∵DE是是△ABC△ABC的中位线的中位线（或（或AD=BD,AE=CE)AD=BD,AE=CE)CEDBA①① 证明证明平行平行问题问题②② 证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半用用 途途 画出△ABC中所有的中位线BDAECF 三条中位线围三条中位线围成一个新的三角形，成一个新的三角形，它与原来的三角形它与原来的三角形有无关系有无关系? ?哪方面有哪方面有关系关系? ?(1) △△DEF的周长与的周长与 △△ABC的周长有什么关系的周长有什么关系?(2) △△DEF的面积与的面积与 △△ABC的面积有什么关系的面积有什么关系? 一个三角形有几条中位线呢？一个三角形有几条中位线呢？三角形有三条中位线三角形有三条中位线因为因为 D、、 E分别为分别为AB、、 AC的中点的中点所以所以 DE为为 △△ ABC的中位线的中位线 三角形的三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同不同注意同理同理DF、、 EF也为也为 △△ ABC的中位线的中位线ED DF FA AC CB B A AB BC CE EF FD D练一练练一练:(3)(3)若若∠B=40∠B=40O O ，则，则∠EFD=______∠EFD=______如图，已知如图，已知△△ABCABC，，D D、、E E、、F F分分别是别是BCBC、、ABAB、、ACAC边上的中点。
边上的中点1)(1)若若△△ABCABC的周长为的周长为18cm18cm，它的三条中位线围，它的三条中位线围成的成的△△DEFDEF的周长是的周长是________________40400 09cm9cm(2)(2)图中有图中有__________个平行四边形个平行四边形3 3 三角形面积为20平方厘米，则它的三条中位线围成的三角形面积是 已知：在四边形ABCD中，E，F分别是对角线AC，BD的中点，M，N分别是AB，CD的中点求证：EF与MN互相平分（5分） 一个三角形中位线有几条？ 顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是什么图形？ 三角形周长为10厘米，则它的三条中位线围成的三角形周长是？ 在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点求证：∠PNM=∠PMN（4分） 在ΔABC中，D，E分别是AB、CD边上的中点M、N分别是DB、BE边上的中点AC=6，则MN= DE是RtΔABC的中位线，AF是斜边BC上的中线，则DE与AF有何数量关系？（3分） ABCDEFGH小明说任意画一个四边形，连接各边的中点，小明说任意画一个四边形，连接各边的中点，所得的四边形一定就是平行四边形。
所得的四边形一定就是平行四边形你认为他你认为他说的对吗说的对吗？？ 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、、F、、G、、H分别是分别是 AB、、BC、、CD、、DA的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.ABCDEFGH证明：如图，连接证明：如图，连接AC∵∵EF是是△△ABC的中位线的中位线同理得：同理得： ∴∴四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形①①有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形②②有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线要连结两边中点得中位线213小结小结 方法点拨：方法点拨：在处理问题时在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线要求同时出现三角形及中位线①①有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形②②有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线要连结两边中点得中位线定定 理理 应应 用：用：⑴⑴定理为证明定理为证明平行关系平行关系提供了新的工具提供了新的工具⑵⑵定理为证明一条线段是另一条线段的定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或倍或 1/2提供提供了一个新的途径了一个新的途径213提高提高 1.已知已知: 如图如图,DE,EF是是⊿⊿ABC的两条中位的两条中位线线.求证求证:四边形四边形BFED是平行四边形是平行四边形.DBCFEA213小结小结 2 2、如图、如图,DE,DE是是△△ABCABC的中位线的中位线,AF,AF是是BCBC边上的边上的中线中线,DE,DE和和AFAF交于点交于点O.O.求证求证:DE:DE与与AFAF互相平分互相平分. .F FE ED DC CB BA AOO23小结小结 3 3 3 3 、、、、已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，△ABC△ABC△ABC△ABC是锐角三角形。
分别以是锐角三角形分别以是锐角三角形分别以是锐角三角形分别以ABABABAB，，，，ACACACAC为边向外侧作等边三角形为边向外侧作等边三角形为边向外侧作等边三角形为边向外侧作等边三角形ABMABMABMABM和等边三角形和等边三角形和等边三角形和等边三角形CANCANCANCAND D D D，，，，E E E E，，，，F F F F分别是分别是分别是分别是MBMBMBMB，，，，BCBCBCBC，，，，CNCNCNCN的中点，连结的中点，连结的中点，连结的中点，连结DEDEDEDE，，，，EFEFEFEFA AB BC CD DE EF FN NM M求证：求证：DE=EFDE=EF21小结小结 。