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1、 正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系 知识点一 正弦曲线 正弦函数ysin xxR 的图象叫正弦曲线 利用几何法作正弦函数ysin x,x0,2 的图象的过程如下： 作直角坐标系,并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆,如图所示 把单位圆分成 12 等份等份越多,画出的图象越精确过单位圆上的各分点作x轴的垂线,可以得到对应于 0,错误!,错误!,错误!,2 等角的正弦线 找横坐标：把x轴上从 0 到 22这一段分成 12 等份
2、 平移：把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合 连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来,即得ysin x,x0,2的图象 在精度要求不太高时,ysin x,x0,2 可以通过找出 0,0,错误!,1,0,错误!,1,2,0 五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可得正弦函数的简图 思考 在所给的坐标系中如何画出ysin x,x0,2的图象 如何得到ysin x,xR的图象 答案 ysin x,x0,2 的图象借助五点法得如下： 只要将函数ysin x,x0,2 的图象向左、向右平行移动每次 2 个单位长度,就可以得到正弦函数ysin x,xR 的图象 知识点
3、二 余弦曲线 余弦函数ycos xxR 的图象叫余弦曲线 根据诱导公式 sin错误!cos x,xR.只需把正弦函数ysin x,xR 的图象向左平移错误!个单位长度即可得到余弦函数图象如图 要画出ycos x,x0,2的图象,可以通过描出 0,1,错误!,1,错误!,2,1 五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数ycos x,x0,2 的图象 思考 在下面所给的坐标系中如何画出ycos x,x0,2 的图象 答案 题型一 “五点法”作图的应用 例 1 利用“五点法”作出函数y1sin x0x2 的简图 解 1 取值列表： x 0 错误! 错误! 2 sin x 0 1 0
4、 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 2 描点连线,如图所示： 跟踪训练 1 作函数ysin x,x0,2 与函数y1sin x,x0,2 的简图,并研究它们之间的关系 解 按五个关键点列表： x 0 错误! 错误! 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 利用正弦函数的性质描点作图： 由图象可以发现,把ysin x,x0,2 的图象向下平移 1 个单位长度即可得y1sin x,x0,2 的图象 题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例 2 求函数fxlg sin x错误!的定义域 解 由题意得,x满足不等式组错误! 即错误!作出ysin x的图象,如图所
5、示 结合图象可得定义域：x4,0, 跟踪训练 2 求函数fxlg cos x错误!的定义域 解 由题意得,x满足不等式组错误!, 即错误!,作出ycos x的图象,如图所示 结合图象可得定义域： x错误!错误!错误!. 题型三 利用正弦、余弦函数图象判断零点个数 例 3 在同一坐标系中,作函数ysin x和ylg x的图象,根据图象判断出方程 sin xlg x的解的个数 解 建立坐标系xOy,先用五点法画出函数ysin x,x0,2 的图象,再依次向左、右连续平移 2 个单位,得到ysin x的图象 描出点 1,0,10,1 并用光滑曲线连接得到ylg x的图象,如图所示 由图象可知方程 s
6、in xlg x的解有 3 个 跟踪训练 3 方程x2cos x0 的实数解的个数是 答案 2 解析 作函数ycos x与yx2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解 数形结合思想在三角函数中的应用 例 4 函数fxsin x2|sin x|,x0,2 的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围 解 fxsin x2|sin x|错误! 图象如图, 若使fx的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点,根据图可得k的取值范围是 1,3 1函数ysin x xR 图象的一条对称轴是 Ax轴 By轴 C直线yx D直线x错误! 2用五点法画ysin x,x0,2 的图象时,下列哪
7、个点不是关键点 A错误!,错误! B错误!,1 C,0 D2,0 3函数ysin x,x0,2 的图象与直线y错误!的交点为Ax1,y1,Bx2,y2,则x1x2. 4利用“五点法”画出函数y2sin x,x0,2 的简图 5已知 0x2,试探索 sin x与 cos x的大小关系 一、选择题 1函数ysin x,x错误!的简图是 2在同一平面直角坐标系内,函数ysin x,x0,2 与ysin x,x2,4 的图象 A重合 B形状相同,位置不同 C关于y轴对称 D形状不同,位置不同 3方程 sin x错误!的根的个数是 A7 B8 C9 D10 4函数ycos x|cos x|,x0,2 的
8、大致图象为 5如图所示,函数ycos x|tan x|0x错误!且x错误!的图象是 6若函数y2cos x0x2 的图象和直线y2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是 A4 B8 C2 D4 二、填空题 7函数y错误!的定义域是 8函数y错误!的定义域是 9函数fx错误!错误!的定义域为 10设 0x2,且|cos xsin x|sin xcos x,则x的取值范围为 三、解答题 11用“五点法”画出函数y错误!sin x,x0,2 的简图 12根据ycos x的图象解不等式： 错误!cos x错误!,x0,2 13分别作出下列函数的图象 1y|sin x|,xR； 2ysin|x
9、|,xR. 当堂检测答案 1答案 D 2答案 A 3答案 3 解析 如图所示, x1x22错误!3. 4解 1 取值列表如下： x 0 错误! 错误! 2 sin x 0 1 0 1 0 y2sin x 2 1 2 3 2 2 描点连线,图象如图所示： 5解 用“五点法”作出ysin x,ycos x0x2 的简图 由图象可知当x错误!或x错误!时,sin xcos x； 当错误!xcos x； 当 0x错误!或错误!x2 时,sin xcos x. 课时精炼答案 一、选择题 1答案 D 2答案 B 解析 根据正弦曲线的作法可知函数ysin x,x0,2 与ysin x,x2,4 的图象只是位
10、置不同,形状相同 3答案 A 解析 在同一坐标系内画出y错误!和ysin x的图象如图所示： 根据图象可知方程有 7 个根 4答案 D 解析 由题意得 y错误! 显然只有 D 合适 5答案 C 解析 当 0x错误!时,ycos x|tan x|sin x； 当错误!x 时,ycos x|tan x|sin x； 当 x错误!时,ycos x|tan x|sin x, 故其图象为 C. 6答案 D 解析 作出函数y2cos x,x0,2 的图象,函数y2cos x,x0,2的图象与直线y2 围成的平面图形为如图所示的阴影部分 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又OA2,
11、OC2, S阴影部分S矩形OABC224. 二、填空题 7答案 x|2kx2k,kZ 解析 由 log错误!sin x0 知 0sin x1,由正弦函数图象知 2kx2k,kZ. 8答案 错误!,kZ 解析 2cos x10,cos x错误!,结合图象知x错误!,kZ. 9答案 4,0, 解析 错误!错误! 4x 或 0x. 10答案 错误! 解析 由题意知 sin xcos x0,即 cos xsin x,在同一坐标系画出ysin x,x0,2 与ycos x,x0,2 的图象,如图所示： 观察图象知x错误!. 三、解答题 11解 1 取值列表如下： x 0 错误! 错误! 2 sin x 0 1 0 1 0 错误!sin x 错误! 错误! 错误! 错误! 错误! 2 描点、连线,如图所示 12解 函数ycos x,x0,2 的图象如图所示： 根据图象可得不等式的解集为 x|错误!x错误!或错误!x错误! 13解 1y|sin x|错误! kZ 其图象如图所示, 2ysin|x|错误! 其图象如图所示,
