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1、9.8 方向导数与梯度方向导数与梯度9.8.1 方向导数方向导数定义定义9.5 (方向导数方向导数) 设二元函数设二元函数z = f (x, y)在点在点P0(x0, y0)的某一邻域的某一邻域内有定义内有定义, l 是以是以P0(x0, y0) 为起点的射线为起点的射线,为其方向向量为其方向向量. 如果极限如果极限1存在存在, 则称此极限为函数则称此极限为函数z = f (x, y)在点在点P0(x0, y0)记为记为如果函数如果函数 f (x, y)在区域在区域D内任何一点内任何一点(x, y)处沿方向处沿方向或或的方向导数都存在的方向导数都存在,注注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率
2、方向导数是函数沿半直线方向的变化率.则则 为为D内的一个函数内的一个函数, 称为称为f (x, y)沿方向沿方向 的方向导函数的方向导函数(简称方向导数简称方向导数). 处沿方向处沿方向 的的方向导数方向导数,2t一定为正一定为正!是函数在某点沿是函数在某点沿任何方向任何方向的变化率的变化率.方向导数方向导数偏导数偏导数 分别是函数在某点沿分别是函数在某点沿平行于坐标轴平行于坐标轴的直线的直线x、y可正可负可正可负！的变化率的变化率.3定理定理9.12处处可微可微,则函数则函数且且其中其中类似地类似地, 如果三元函数如果三元函数处可微处可微,且且其中其中7解解 令令故故其方向余弦为其方向余弦为
3、例例 设设处指向外侧的法向量处指向外侧的法向量, 求函数求函数9故故10 考虑函数考虑函数 定点定点 P0(3,1), P1(2,3). 解解 求函数在求函数在 P0 沿沿 方向的方向导数方向的方向导数.13解解 此此方向的方向向量为方向的方向向量为15方向导数方向导数最大最大或或最小最小?9.8.2 梯度的概念梯度的概念问题问题: 函数函数 沿什么方向的方向导数为沿什么方向的方向导数为方向导数取最大值方向导数取最大值方向导数取最方向导数取最小小值值其中其中而而方向一致时方向一致时, ,方向方向相反相反时时, ,16定义定义9.6记作记作即即处的处的梯度梯度,则梯度又可记为则梯度又可记为 为函
4、数为函数称向量称向量引用记号引用记号称为奈布拉算子称为奈布拉算子, 或称为或称为向量微分算子或哈密尔顿算子向量微分算子或哈密尔顿算子,17结论结论:函数在某点的函数在某点的梯度梯度是这样一个是这样一个向量向量,它的它的方向方向与取得与取得最大方向导数最大方向导数的方向一致的方向一致,而它的模为方向导数的最大值而它的模为方向导数的最大值. 梯度的模为梯度的模为沿着沿着 方向方向, 函数减少得最快函数减少得最快. 方向：方向：模：模： f 变化率最大的方向变化率最大的方向f的最大变化率之值的最大变化率之值18此梯度也是一个向量此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方其方向与取得最大方梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数则函数在该点的梯度为则函数在该点的梯度为 设三元函数设三元函数 在点在点P处可微分处可微分, 向导数的方向一致向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值其模为方向导数的最大值.22解解故故可得可得, 在在 处梯度为处梯度为令令例例 求函数求函数 在点在点处的梯度处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零并问在哪些点处梯度为零?23解解24作业作业习题习题9.89.8(209(209页页) ) 1. (3) 2. 3.(3)26
