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1、 15 题库分类题库分类 填空题填空题 1. 绪论部分 (1). 设 x=3.214, y=3.213， 欲计算 u=yx , 请给出一个精度较高的算式 u= . u=yxyx (2). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y 的近似值,其绝对误差限的估计式为: | |f(x1*, x 2*) |x1-x*1|+ | f(x1*,x2*)|x2-x*2| (3). 要使20的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_位有效数字？ 200.410, a1=4, r121a10-(n-1) 0.1% 故可取 n4, 即 4 位有效数
2、字。 (4). 要使17的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_位有效数字？ 170.410, a1=4, r121a10-(n-1) 0.1% 故可取 n3.097, 即 4 位有效数字。 (5). 对于积分 In=e-110xnexdx 试给出一种数值稳定的递推公式_。 In-1=(1-In)/n , In0 易知 I0=1-e-1 In=1-nIn-1 故In-1=(1-In)/n 0k 时，差商 f x, x1,xn0，当 nk 时，该差商是 k-n 次多项式。 证明：因 1!)(,)(nfxxxfnn 注意到 nk 时， f(n)(x)=0， n=k 时， f(n)(x)=k!ak
3、，ak为 f(x)的 k 次项系数。(7f) nk-1 由差分定义递推,查 n=k-1,k-2, (3f) ok! (6). (c10 分)设 g(x)和 h(x)分别是 f(x)关于互异节点 x1, xn-1以及互异节点 x2, xn的插值多项式， 试用 g(x)和 h(x)表示 f(x)关于互异节点 x1, xn的插值多项式. 解：令 q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1) 为待定 n 次多项式，A,B 为待定系数，注意到 g(xk)=f(xk), k=1,n-1 h(xk)=f(xk), k=2,n -(7f) 带入得 A=1/x1-xn,B=1/xn-x1, 带入 o
4、k! (7). (a10f)设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1, xn, 的 Lagrange 插值基函数，证明 (1) mnkkmkxxlx0)( m=0,1,n (2) nkkmkxlxx0)()(0 m=1,2,n 证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2） 18 (8). (a10f)证明对于不超过 k次的多项式 p(x)有),()()(xpxlxpnkkk0 kn。lk(x)是关于互异节点 x0, x1, xn的 Lagrange 插值基函数 证明：由插值唯一性定理知。 (9). (a10f)设 p(x)是任意首次项系数为 1 的 n+1 次多项式，lk(x)是关于互异节点
5、 x0, x1, xn, 的 Lagrange 插值基函数 证明 nknkkxwxlxpxp01)()()()( 其中njjnxxxw01)()( 证明：插值余项直接计算 ok! (10). (a10f)已知函数 y=f(x)在点 x0的某邻域内有 n 阶连续导数，记xk=x0+kh (k=1,2,n), 证明 0100!)(,lim)(nxfxxxfnnh 证明：因!)(,)(nfxxxfnn10 (x0,x0+nh)注意到 n 阶导数连续性，两边取极限 ok! (11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间0,1上近似函数 ex, 如何估算节点数目使插值误差2110-6 . 解：考
6、虑子区间xi-1,xi二次插值余项 1(3)21/211/21( )( )( )()()()3!max ()()() 6iiiiiiiixx xff xP xxxxxxxexxxxxx 令 x=xi+1/2+s(h/2) 上式化简为 33112 3max (1) (1)68489sehehss s 令63102193248eh 得 h0.028413 故子区间个数为 N=2/h70.4, 取 N=71 故插值节点数为 2N+1=143 (12). (b10 分)设 f(x) 在区间a,b上有二阶连续导数，P1(x)为其以 a,b 为节点的一次插值多项式，证明 ,)(max)()()(baxxf
7、abxPxfbxa 821 证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式 P1(x)在子区间a,b上的余项估计式，再估计最值 ok! ,)(max)(!)()()(/baxxfhbxaxfxPxfbxai 8221 (13). (b10 分)已知 s(x)是0,2上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定 19 s(x)=21 111210 21323xxdxcxbxxx,)()()(, 中的参数 b,c,d 解：利用边界条件 s/(2-0)=0 及样条函数定义可得 b=-1,c=-3,d=1 (14). (b10分)判断下面2个函数是否是-1,1上以0为内节点的三次样条函数。设 (1) S(x)
8、=10 2301- 232323xxxxxxxx, (2) S(x)= 10 2301- 2352323xxxxxxxx, 解：(1)是，(2)否。 (15). (a10f)令 f(x)=x7+ x4+3x+1 求 f20, 21,27及 f20, 21,28 解：!)(,)(nfxxxfnn10，f20, 21,27=1，f20, 21,28=0 (16). (a10f)证明 n 阶均差有下列性质： (1) 若 F(x)=cf(x), 则 Fx0, x1,xn=c fx0, x1,xn (2) 若 F(x)=f(x)+g(x), 则 Fx0, x1,xn= fx0, x1,xn+ gx0,
9、x1,xn 证明：nkkknxfaxxxf010)(, 其中，ak=)()()(1110nkkkkkkxxxxxxxx ok! (17). (a10f)回答下列问题： （1）什么叫样条函数？ （2）确定 n+1 个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？ （3） 三转角法中参数 mi的数学意义是什么？ 答： （1）略 （2）4n 个 （3） mi=S/(xi) 即样条函数在节点 xi处的一阶导数。 (18). (a10f)回答下列问题： （1）何谓 Hermite 插值问题？ （2）Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别？ 第第 2 章章 拟合拟合 ( (1 1) ). . 采采用
10、用正正交交多多项项式式拟拟合合可可避避免免最最小小二二乘乘或或最最佳佳平平方方逼逼近近中中常常见见的的 (9) 问问题题. . (2). 在函函数数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数 |f|；2-范数。 3. 计算题计算题 (1). (b10f)设 f(x)-a,a的最佳一致逼近多项式为 P(x),试证明 (1) f(x)是偶函数时 P(x)也是偶函数； (2) f(x)是奇函数时 P(x) 也是奇函数。 20 证明： （1）令 t=-x, 考查 axamax|f(x)-
11、P(x)|= atamax|f(-t)-P(-t)|= atamax|f(t)-P(-t)|, 故 P(-x) 也是f(x)-a,a的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的唯一性知P(-x)=P(x). （2）略。 (2). (a10f)试确定0,1区间上 2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？ 解： p(x)=(3/2)x, 唯一。 (3). 求 f(x)=2x3+x2+2x-1 在-1,1上的最佳二次逼近多项式 P(x)。 已知 T0(x)=cos0=1 T1(x)=cos=x T2(x)=cos2=2x2-1 T3(x)=cos3=4x3-3x T4(x)
12、=cos4=8x4-8x2+1 解: f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2.1321T3(x)= 21T3(x) 故 P(x)= f(x)-21T3(x)= 2x3+x2+2x-1-2 x3+213x = x2+27x-1 (4). 求 f(x)=2x4在-1,1上的 3 次最佳一致逼近多项式 P(x)。已知 T0(x)=cos0=1 T1(x)=cos=x T2(x)=cos2=2x2-1 T3(x)=cos3=4x3-3x T4(x)=cos4=8x4-8x2+1 解：P(x)= 2x2-1/4 (5). 求 f(x)=2x4在0,2上的 3 次最佳一致逼近多项式 P(x)。已知
13、 T0(x)=cos0=1 T1(x)=cos=x T2(x)=cos2=2x2-1 T3(x)=cos3=4x3-3x T4(x)=cos4=8x4-8x2+1 解：令 x=t+1, t-1,1, f(x)=g(t)=(t+1)4 故 g(t)的 3 次最佳一致逼近多项式为 P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8 故 f(x)的 3 次最佳一致逼近多项式为 P(x)=P3(x-1)= 4x3-5x2+2x-1/8 (6). 设 f(x)Ca,b, ,证明 f(x)的最佳零次一致逼近函数为s(x)=(M+m)/2 ,其中 M 和 m分别为 f(x)在a,b上的最大与最小值。 (7). 证明a
14、,b上的正交函数系 H=h1(x), h2(x), hm(x)是线性无关的函数系。 证：写出线性组合式子 2 分 作内积求系数2 分 (8). （10 分） 求 f(x)=lnx ,x1,2上的二次最佳平方逼近多项式的法(正规)方程组。 （要求精确表示，即不使用小数） 解：取=span1,x,x2,a,b=1,2 法方程组为 ),(),(),(,1010101110101000nnnnnnnnfffaaa 计算知 9723843222253141537415372337231210/ln/lnln/aaa 解之得： 21 a0=-1.142989, a1=1.382756, a2=-0.233
15、507 最佳平方逼近多项式为 P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2 平方误差为|f-P2|22=(f,f)-a0(f,0) a1(f,1) a2(f,2)0.410-5 (9). 设 f(x)在有限维内积空间span0,n上的最佳平方逼近为p(x),试证明，f(x)-p(x)与中所有函数正交。 证明：查nkkkxaxp0)()( (f(x)-p(x), j)=(f, j)- (p(x), j) 注意到 ak是法方程组的解。而法方程组 ),(),(),(,1010101110101000nnnnnnnnfffaaa两边的 j-th 分量为 (j,0) (j,1) (j,n) =(p
16、(x), j) ok! (10). 设nkkkxaxp0)()(是 在 空 间 span0,n 中 对f(x)Ca,b的最佳平方逼近,证明：(f-p, f-p)=(f,f)- nkkkfa0),( 证：注意到 ak是法方程组的解。而法方程组 ),(),(),(,1010101110101000nnnnnnnnfffaaa 故k=1,n, (f(x)-p(x), k)=0, -(5 分) (p-f),p)=0 -(5 分) (f-p, f-p) =(f,f)-2(f,p)+(p,p) =(f,f)-(f,p)+(p-f),p) =(f,f)-(f,p) -(5 分) (11). 求下列矛盾方程组
17、的最小二乘解 433222121212121xxxxxxxx 解：x1=-29/12, x2=-39/12 写出相应的法方程组 ATAx=ATb 5 分 求解 x1=-29/12, x2=-39/12 5 分 (12). 推导用最小二乘法解矛盾方程组 Ax=b 的法方程组 ATAx=ATb 解：给出目标函数 h (x)=|Ax-b|2 -5 =xTATAx-2xTATb+bTb -5 求偏导得到驻点方程组 ATAx-ATb=0 -5 (13). 证明： 0, n为点集ximi=1上的线性无关族法方程GTGa=GTy 有唯一解。其中 )()()()()()()()()(101111000100m
18、nmmnnxxxxxxxxxG 22 证：充分性） 。首先注意到若 a0,a1,.,an 为方程组 a0 0+a1 1+an n=0 （9） 的解，则必为方程组 的解。事实上，令 0, 1, n 分别与(9)两端作内积得(10)，知也！ 设|GTG|0（10）仅有 0 解(9) 也仅有 0 解故 0, n无关。 证必要性） 。 0, n无关 (9)仅有 0 解 即 a =(a0,a1,.,an)0Ga0aTGTGa=(Ga)T(Ga)=|Ga|220GTG 正定|GTG|0|GTG|0. (14). 若0(x), 1(x), n(x)是点集x1,x2,xm上的离散正交族。nkkkxax0)()
19、(为给定数据对(xi,yi) (i =1,2,m)的最小二乘拟和函数。 证明： , 1 , 0 ),(),(nkyakkkk 证：法方程系数矩阵为 QTQ= nnnnnn,101110101000 =nn,000,000,1100 此时法方程为 ),(),(),(),(),(),(10101100nnnnyyyaaa 故 , 1 , 0 ),(),(nkyakkkk (15). 若0(x), 1(x), n(x)是a,b上的正交族。nkkkxax0)()(为 f(x)的最佳平方逼近。 证明： 10 nkfakkkk,),(),( 证：法方程系数矩阵为 QTQ= nnnnnn,101110101
20、000 (0,0) a0+ (1,0)a1 +(n,0)an=0 (0,1) a0+ (1,1)a1 +(n,1)an=0 . (0,n) a0+ (1,n)a1 +(n,n)an=0 (10) 23 =nn,000,000,1100 此时法方程为 ),(),(),(),(),(),(nnnnfffaaa10101100故 , 1 , 0 ),(),(nkyakkkk (16). 求函数 f(x)=|x| 在-1,1上求关于函数族 span1,x2,x4的最佳平方逼近多项式。 解：由内积(f,g)= 11dxxgxf)()(, 令0=1，1=x2, 2=x4, 计算知法方程 ),(),(),(
21、,1010101110101000nnnnnnnnfffaaa 得 3121192725272523252322210/aaa 解之得： a0=15/185=0.117 a1=105/64=1.64 a2=-105/128=-0.820 最佳平方逼近多项式为: 0.117+1.64x2-0.820x4 (17). 求函数f(x)=x1 在1,3上求关于函数族span1,x的最佳平方逼近多项式。 解：由内积(f,g)= 31dxxgxf)()(, 令0=1，1=x, 计算法方程 ),(),(),(,1010101110101000nnnnnnnnfffaaa 得 2332644210ln/aa
22、解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14 a1=3-3ln3=0.295 最佳平方逼近多项式为: 1.14-0.295x (18). 求 a,b,c 的值，使 022dxcxbxax)(sin达到最小 解：就是求 f(x)=sinx 关于函数族 span1,x,x2 在0,上的最佳平方逼近。 由内积(f,g)= 0dxxgxf)()(, 令0=1，1=x, 2=x2 计算知法方程 24 ),(),(),(,1010101110101000nnnnnnnnfffaaa 为0543143222252413042312032210aaaaaaaaa 解之得：a0=-14/, a1=72/2,
23、a2=-60/3 (19). 求 a,b,c 的值，使 02223dxcxbxax)(达到最小 解：由唯一性知，a=0,b=0,c=3 (20). 什么是非线性最小二乘拟合问题？ (21). 回答下列问题： （1） 求解线性最小二乘问题遇到的主要困难是什么？ （2） 用离散正交多项式进行拟合的主要优点是什么？ (22). 回答下列问题： （1） 什么叫最佳多项式平方逼近？ （2） 什么叫最佳多项式一致逼近？ (23). 回答下列问题： （1） 最佳平方逼近多项式与最小二乘拟合多项式在计算方法上有何相似之处？ （2） 二者区别是什么？ (24). 5. 数值积分 6. 微分方程数值解 答案 (2
24、). (3). 插值节点函数值相等最小二乘拟和乃综合偏差最小。 (4). 法方程组病态 (5). (6). (7). 3 (8). (9). (10). -17/4正误题 (1). ( ) 线性方程组的条件数与其解法无关。 (2). ( ) 设 A 为可逆矩阵， R 则 cond ( A) = cond (A) 。 (3). ( ) Rn 上一切向量范数都等价。 (4). ( ) 矩阵 A 的谱半径不超过|A|1 。 (5). ( ) 在等式nkkknxfaxxxf010)(,中, 系数 ak与函数f(x)有关。 (6). ( ) 说微分方程初值问题的数值方法是 p 阶的，指的是其局部截断误差是与 hp同阶的无穷小,其中 h 为步长。 (7). ( ) Gauss 点与积分区间无关但与被积函数有关。 (8). ( ) 微分方程初值问题的Euler方法第一步的局部截断误差等于第一步的整体截断误差。
