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1、第第4 4讲解三角形讲解三角形第4讲解三角形1.已知a,b,c是锐角ABC中A,B,C的对边,若a=3,b=4,ABC的面积为3,则c=.答案答案解析解析S=absinC=6sinC=3,sinC=.又ABC是锐角三角形,则C=,cosC=.由余弦定理可得c2=9+16-234=13,即c=.2.(2018江苏南京期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.答案答案-解析解析由正弦定理及2sinB=3sinC,可得b=c,代入b-c=a,得a=2c,由余弦定理得cosA=-.3.(2018江苏苏州期中)设ABC的内角A,B,
2、C的对边分别是a,b,c,D为AB的中点,若b=acosC+csinA且CD=,则ABC面积的最大值是.答案答案+1解析解析b=acosC+csinA,由正弦定理可得sinB=sinAcosC+sinCsinA,则sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA,所以cosAsinC=sinCsinA.C(0,),sinC0,tanA=1.又A(0,),A=.在ACD中,由余弦定理可得2=b2+c2-2bbc-bc,bc=4+2,当且仅当b=c时取等号,则ABC面积的最大值是bcsinA=(4+2)=+1.4.设a,b,c依次是ABC的角A,B,C所对的边,若=1007tanC,且a2+b
3、2=mc2,则m=.答案答案2015解析解析由=1007tanC,得=1007,cosC=.又cosC=,1007c2=,a2+b2=2015c2,m=2015.题型一正、余弦定理的应用题型一正、余弦定理的应用例例1(2018江苏扬州调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=-,b=,c=.(1)求a;(2)求cos(B-A)的值.解析解析(1)在ABC中,因为cosA=-,b=,c=,所以a2=b2+c2-2bccosA=2+5-2=9.因为a为边长,所以a0,所以a=3.(2)在ABC中,cosA=-,所以A,所以sinA=.又=,即=,所以sinB=.又A,所以
4、B,所以cosB=.所以cos(B-A)=cosBcosA+sinBsinA=+=.【方法归纳】(1)正、余弦定理在三角形边角互化中具有重要应用,注意正弦定理的变形在解题中的应用,如a=2RsinA,sinB=(其中R是ABC外接圆的半径),abc=sinAsinBsinC等;(2)常见题型:已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求出C,由正弦定理求出a,b;已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求出c,再用正弦定理求较短边所对的角,然后利用A+B+C=求出另一角;已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求出B,由A+B+C=求出C,再由正弦定理或
5、余弦定理求出c,要注意解可能有多种情况;已知三边a,b,c,可用余弦定理求出A,B,C.1-1(2018苏锡常镇四市调研)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若cosA=,sinC=.(1)求tanB;(2)若a2+b2=7,求c的值.解析解析(1)在ABC中,由cosA=,得sinA=.又sinC=,所以sinCsinA,所以CA,所以C为锐角.于是cosC=,所以tanA=2,tanC=,所以tanB=-tan(A+C)=-=-=.(2)由=,sin2B+cos2B=1,得sinB=.由=,得=.又a2+b2=7,解得所以c2=a2+b2-2abcosC=7-4=3,所以
6、c=.题型二三角函数与解三角形题型二三角函数与解三角形例例2(2018江苏海安高级中学月考)已知函数f(x)=2sincosx.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,f(C)=,若sinB=2sinA,求a,b的值.解析解析(1)f(x)=2sincosx=2cosx=sinxcosx-cos2x=sin2x-=sin-,当且仅当x=+k,kZ时,f(x)max=,最小正周期T=.(2)f(C)=sin-=,即sin=1,因为0C,所以-2C-,于是2C-=,即C=.因为sinB=2sinA,所以由正弦定理得b=2a.由余弦定理
7、得c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=12.联立解得【方法归纳】解题步骤:(1)利用三角公式将解析式化为标准型;(2)结合三角函数的图象研究三角函数的性质;(3)利用正弦定理、余弦定理实现边角互化.2-1(2018江苏泰州中学月考)已知f(x)=sin-cosx.(1)求f(x)在0,上的最小值;(2)已知a,b,c分别为ABC中角A,B,C的对边,b=5,cosA=,且f(B)=1,求边a的长.解析解析(1)f(x)=-cosx=sinx+cosx=sin,0x,x+,x+=,即x=时,f(x)min=-.(2)x+=2k+,kZ时,f(x)有最大值1,B是三角形内角,B=,
8、sinB=.cosA=,sinA=.又=,b=5,a=8.题型三平面向量与解三角形题型三平面向量与解三角形例例3(2018江苏盐城模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线.(1)若a=4,b=2,AD=1,求边c的长;(2)若=c2,求角B的大小.解析解析(1)在ADC中,因为AD=1,AC=2,DC=BC=2,所以由余弦定理,得cosC=.故在ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=42+22-242=6,所以c=.(2)因为AD为边BC上的中线,所以=(+),所以c2=(+)=+=c2+cbcosA,得c=bcosA.则c=b,得b2=c
9、2+a2,所以B=90.【方法归纳】平面向量与解三角形的综合问题大致有两种类型:一是向量的线性运算、数量积运算与解三角形的综合,如本例,利用向量的线性运算法则、数量积的定义进行向量运算,得到边角混有的恒等式,再利用余弦定理、正弦定理进行边角统一;二是向量的坐标运算与解三角形的综合问题,利用向量共线定理的坐标表示、数量积的坐标运算将向量转化为三角函数,再利用三角公式、正弦定理、余弦定理等求解.3-1(2018江苏南京模拟)已知向量m=(cosx,-sinx),n=(cosx,sinx-2cosx),xR.设f(x)=mn.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若f(A)=1,a=2,c=2,求ABC的面积.解析解析(1)f(x)=cos2x-sinx(sinx-2cosx)=cos2x-sin2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x=2=2sin,令2k-2x+2k+,kZ,则k-xk+,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)2sin=1,因为0A,所以2A+,即2A+=,故A=,sinA=.
