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1、大学物理习题课大学物理习题课狭义相对论狭义相对论张耀辉张耀辉2010-04习题课内容习题课内容总结总结例题选解例题选解总结总结牛顿绝对时空观牛顿绝对时空观长度和时间的测量与参考系无关。长度和时间的测量与参考系无关。伽利略坐标变换伽利略坐标变换伽利略速度变换伽利略速度变换加速度关系加速度关系正正变换变换逆变换逆变换狭义相对论的基本假设狭义相对论的基本假设爱因斯坦相对性原理爱因斯坦相对性原理物理规律对所有的惯性系都是一样的，不存在任何一个物理规律对所有的惯性系都是一样的，不存在任何一个特殊的惯性系。特殊的惯性系。光速不变原理光速不变原理在任何惯性系中，光在真空中的速率都相等。在任何惯性系中，光在真
2、空中的速率都相等。同时性的相对性同时性的相对性长度收缩长度收缩时间延缓时间延缓麦克尔逊莫雷实验麦克尔逊莫雷实验洛伦兹变换洛伦兹变换相对论动量相对论动量速度变换速度变换坐标变换坐标变换相对论质量相对论质量相对论动量能量关系式相对论动量能量关系式相对论能量相对论能量相对论动能相对论动能1. 在在S系系中中观观察察到到两两个个事事件件同同时时发发生生在在x轴轴上上，其其间间距距离离是是1m。在在S系系中中观观察察这这两两个个事事件件之之间间的的距距离离是是2m。求求在在S系系中中这这两两个个事件的时间间隔。事件的时间间隔。解：解：应用洛伦兹变换。应用洛伦兹变换。由题意知由题意知按照洛伦兹变换有按照洛
3、伦兹变换有从（从（1）式解出）式解出代入（代入（2）式得）式得2. 一一根根长长为为l0的的棒棒，静静置置在在坐坐标标系系的的x-y平平面面上上，与与x轴轴成成 0角角，相相对对于于实实验验室室参参考考系系x-y，棒棒以以速速度度v沿沿着着x轴轴向向右右运运动动，求求在此参考系中棒的长度和取向。在此参考系中棒的长度和取向。l0 0vyxOyxO解：解：令棒的两端为令棒的两端为A和和B，在相对棒静止的参考系中，两端的在相对棒静止的参考系中，两端的坐标分别为坐标分别为要要得得到到相相对对实实验验室室参参考考系系的的棒棒的的长长度度，需需要要在在某某同同一一时时刻刻t，测得测得A、B两端的坐标。应用
4、洛伦兹两端的坐标。应用洛伦兹可得可得于是于是棒的长度棒的长度棒与棒与x轴夹角轴夹角由此可见，运动的棒既收缩，又转向。由此可见，运动的棒既收缩，又转向。3. 一一光光源源在在S系系的的原原点点O发发出出一一光光线线，其其传传播播方方向向在在xy平平面面内内并并与与x轴轴夹夹角角为为 ，试试求求在在S系系中中测测得得的的此此光光线线的的传传播播方方向向，并证明在并证明在S系中此光线的系中此光线的速率速率仍是仍是c。xyzxyzu 将（将（1）、（）、（2）代入得）代入得又又设设v与与x轴夹角为轴夹角为 ，则，则由洛伦兹速度变换有由洛伦兹速度变换有光线的传播方向即为其速度方向。在光线的传播方向即为其
5、速度方向。在S系中光传播速度为系中光传播速度为vc, 则其分量则其分量应用洛伦兹速度变换公式。应用洛伦兹速度变换公式。解：解：得得证。证。4. 在在一一以以恒恒定定速速度度v沿沿平平直直轨轨道道行行驶驶的的车车厢厢中中央央有有一一旅旅客客，已已知知他他到到车车厢厢两两端端A和和B的的距距离离都都是是L0，今今旅旅客客点点燃燃一一火火柴柴，光光脉脉冲冲以以速速度度c向向各各方方向向传传播播，并并到到达达车车厢厢两两端端A和和B，试试从从车车厢厢和地面两个参考系分别计算光脉冲到达和地面两个参考系分别计算光脉冲到达A和和B的时刻。的时刻。A BL0L0xyxyOOv 设车厢为参考系设车厢为参考系S，
6、轨道为参考系轨道为参考系S，取，取x轴和轴和x轴平行轴平行且与轨道重合，且与轨道重合，O与旅客所在处重合，车厢沿与旅客所在处重合，车厢沿x轴正方向运动。轴正方向运动。当当O与与O重合时，重合时，t=t=0，此时点燃火柴，光脉冲到达车厢后此时点燃火柴，光脉冲到达车厢后端端A为一事件，到达前端为一事件，到达前端B为另一事件，则相对于为另一事件，则相对于S系，两事系，两事件的时空点坐标为：件的时空点坐标为：因此，两事件的时间间隔因此，两事件的时间间隔 ，即为同时发生。，即为同时发生。解：解：两两事件的时间间隔事件的时间间隔光光脉冲先到达车厢后端脉冲先到达车厢后端A，后到达车厢前端后到达车厢前端B。根
7、据洛伦兹变换，这两个事件相对根据洛伦兹变换，这两个事件相对S系的时间坐标分别为：系的时间坐标分别为：5. 宇宙射线与大气相互作用时能产生宇宙射线与大气相互作用时能产生 介子衰变，在大气层上介子衰变，在大气层上层放出层放出子。这些子。这些子的速度接近光速（子的速度接近光速（u=0.998c) 。如果在实如果在实验室中测得静止验室中测得静止子的平均寿命为子的平均寿命为 2.210-6 s ，试问在试问在8000米高米高空由空由介子放出的介子放出的子能否飞到地面？子能否飞到地面？解解:子速度子速度固有寿命固有寿命以时间延缓效应，在地面参考系，以时间延缓效应，在地面参考系，子的子的 “运动寿命运动寿命
8、“ 为为飞行距离飞行距离子所在高度子所在高度 8000m ，故能到达地面。故能到达地面。6. 一一个个静静质质量量为为m0的的质质点点在在恒恒力力 的的作作用用下下开开始始运运动动，经经过过时时间间t，它它的的速速度度和和位位移移各各是是多多少少？在在时时间间很很短短(tm0c/F)的的两两种种极极限限情情况况下下，v和和x的的值值又又各各是是多多少少？解：解：注意注意m与与v有关。有关。由由积分得积分得有有解得解得又由又由积分可得积分可得注意注意 则则当当 时时当当 时时匀匀加速直线运动加速直线运动7. 两个全同粒子的弹性碰撞。两个全同粒子的弹性碰撞。两两个个完完全全相相同同的的质质点点，静
9、静止止质质量量都都是是m0，今今一一质质点点相相对对某某一一惯惯性性系系静静止止，另另一一个个质质点点以以恒恒定定速速率率射射向向静静止止质质点点，其其动动能能为为Eki，两两质质点点发发生生弹弹性性碰碰撞撞后后，入入射射质质点点以以与与入入射射速速度度成成 角角方方向向被被散散射射， 称称为为散散射射角角。原原来来静静止止的的质质点点则则沿沿与与入入射射方方向向成成 角角方方向向运运动动， 称称为为反反冲冲角角。设设在在碰碰撞撞过过程程中中，散散射射角角与与反反冲冲角恰好相等。求此散射角。角恰好相等。求此散射角。x 解：解： 弹弹性性碰碰撞撞的的特特点点是是在在碰碰撞撞前前后后，不不仅仅体体
10、系系的的动动量量不不变变，而而且且动动能能也也不不变变。由由于于碰碰撞撞过过程程中中体体系系的的总总能能量量守守恒恒，故故在在碰碰撞撞前前后后粒粒子子的的静静质质量量相相同同。设设两两粒粒子子在在碰碰撞撞前前的的动动量量和和能能量量分分别别为为 ， 和和E1，E2，碰碰撞撞后后的的动动量量和和能能量量分分别别为为 ， 和和E3，E4，则有则有依依题意题意 故有故有因因 ，得，得 p3 = p4由由 E2=c2p2+E02，可得可得E3=E4x 由由于是于是或或当当EkiE0时，时，即入射质点的动能由小到大变化时，即入射质点的动能由小到大变化时， 由大到小变化。但在非由大到小变化。但在非相对论碰
11、撞中，相对论碰撞中， /2。8. 两质点的非弹性碰撞。两质点的非弹性碰撞。考察两个完全相同的质点，静止质量都是考察两个完全相同的质点，静止质量都是m0，以等值相反的速以等值相反的速度度u0沿同一直线运动，并发生碰撞。碰撞后，两质点粘成一个大沿同一直线运动，并发生碰撞。碰撞后，两质点粘成一个大质点。求大质点的质量。质点。求大质点的质量。M0m0, u0m0, -u0解：解：按照相对论观点，碰撞前，两个质点有动能，每个质点的能量为按照相对论观点，碰撞前，两个质点有动能，每个质点的能量为系统的总能量系统的总能量根根据据动动量量守守恒恒，碰碰撞撞后后合合成成的的大大质质点点仍仍处处在在静静止止状状态态
12、。因因而而无无动能，则系统的能量动能，则系统的能量M0为大质点的静止质量。为大质点的静止质量。根据能量守恒，根据能量守恒，这这表表示示，两两质质点点复复合合成成的的大大质质点点的的静静止止质质量量不不仅仅包包括括两两个个质质点点的的静静止止质质量量之之和和，而而且且还还包包括括与与它它们们的的动动能能成成正正比比的的另另一一部部分分质量。在这一非弹性碰撞过程中，存在这动能到质量的转换。质量。在这一非弹性碰撞过程中，存在这动能到质量的转换。即发生非弹性碰撞后，体系的静止质量增加了，注意到即发生非弹性碰撞后，体系的静止质量增加了，注意到9. 光子的吸收和发射。光子的吸收和发射。一一质质量量为为m0
13、的的静静止止粒粒子子，如如原原子子核核或或原原子子，受受到到一一能能量量为为Q的的光光子子的的撞撞击击，粒粒子子将将光光子子的的能能量量全全部部吸吸收收，求求此此合合并并系系统统的的速速度度（反反冲冲速速度度）及及其其静静止止质质量量。一一静静止止质质量量为为M0的的静静止止粒粒子子发射一能量为发射一能量为Q的光子，求发射光子后的粒子的静止质量。的光子，求发射光子后的粒子的静止质量。Qm0MQ吸收吸收发射发射 设合并系统的质量为设合并系统的质量为M，对应的静止质量为对应的静止质量为M0，在吸收在吸收光子的过程中，能量守恒光子的过程中，能量守恒能量为能量为Q的光子，具有的光子，具有Q/c的动量，
14、在吸收光子过程中动量守恒的动量，在吸收光子过程中动量守恒u为合并系统的速度，求解这两个方程，得为合并系统的速度，求解这两个方程，得由由能量动量关系，合并系统的能量能量动量关系，合并系统的能量代入代入 整理得整理得即即吸收光子后，合并系统的质量增大，且其吸收光子后，合并系统的质量增大，且其质量异于静止质量质量异于静止质量，这是因为吸收光子后，合并系统因反冲而具有速度这是因为吸收光子后，合并系统因反冲而具有速度u。解：解：在在发射光子的过程中，能量也守恒。设粒子发射光子后的质量发射光子的过程中，能量也守恒。设粒子发射光子后的质量为为m，对应的静止质量为，对应的静止质量为m0，则有则有设设粒子发射光
15、子后的速度为粒子发射光子后的速度为u，则由动量守恒则由动量守恒由由动量能量关系动量能量关系解得解得若令若令Q0代表粒子在发射光子前后静能量之差，即代表粒子在发射光子前后静能量之差，即得得即即发发射射光光子子的的能能量量Q比比粒粒子子处处在在初初态态和和末末态态之之间间得得静静能能差差小小，这这是是由由于于发发射射光光子子后后，粒粒子子因因反反冲冲获获得得动动量量，即即具具有有速速度度。粒粒子静能一部分变成光子能量，一部分变成粒子自身动能。子静能一部分变成光子能量，一部分变成粒子自身动能。 狭义相对论狭义相对论 练习题练习题一一. 选择题选择题 1. 宇宙飞船相对于地面以速度宇宙飞船相对于地面以
16、速度 v 做匀速直线飞行，某一时刻做匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过 t （飞飞船上的钟）时间后，被尾部的接受器收到，则由此可知飞船的船上的钟）时间后，被尾部的接受器收到，则由此可知飞船的固有长度为（固有长度为（ c 表示真空中光速）表示真空中光速）解：解：答案答案 ：(A) 2. 一宇航员要到离地球为一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行，如果宇航光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为员希望把这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火箭相对地球的光年，则他所乘的火箭相对地球的速度应是（速度应是（ c 表示
17、真空中光速）表示真空中光速）解：解：答案答案 ：(C)据题意据题意 3. 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s ，若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为 5s ，则乙则乙相对于甲的运动速度是（相对于甲的运动速度是（ c 表示真空中光速）表示真空中光速）解：据题意，原时为解：据题意，原时为答案答案 ：(B)即即由时间延缓效应由时间延缓效应 4. 一宇宙飞船相对地球以一宇宙飞船相对地球以 0.8c （ c 表示真空中光速）的速度表示真空中光速）的速度飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者
18、测得飞船长飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为为90m ，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为个事件的空间间隔为解：由空间间隔的变换公式解：由空间间隔的变换公式答案答案 ：(C)得得 5. 根据相对论动力学，动能为根据相对论动力学，动能为 1/4 Mev 的电子，其运动速的电子，其运动速度约等于度约等于（ c 表示真空中光速，电子的静能表示真空中光速，电子的静能 mo c2 = 0.5 MeV ）解：解：答案答案 ：(C)二二. 填空题填空题 1. + 介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均介
19、子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是寿命是 2.610-8 s , 如果它相对实验室以如果它相对实验室以 0.8c （ c 为真空中光速）为真空中光速）的速度运动，那么实验室坐标系中测得的的速度运动，那么实验室坐标系中测得的+ 介子介子 的寿命是的寿命是_ .解：解：4.33s 2. 两个惯性系中的观察者两个惯性系中的观察者 O 和和 O 以以 0.6c （ c 为真空中光速）为真空中光速）的相对速度互相接近，如果的相对速度互相接近，如果 O 测得两者的初距离是测得两者的初距离是 20m , 则则 O 测得两者经过时间间隔测得两者经过时间间隔 t = _ 后相遇。后相遇。解：解： 3. 粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的 5 倍时，倍时，其动能为静止能量的其动能为静止能量的 _ 倍。倍。解：据题意解：据题意4
