掌握基本的数学教学模式.ppt

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1、一、掌握基本的数学教学模式一、掌握基本的数学教学模式回顾反思回顾反思问题情境问题情境学生活动学生活动意义建构意义建构数学理论数学理论数学运用数学运用案例：案例：指数函数指数函数案例：案例：平方差公式平方差公式问题情境问题情境：包括实例、情景、问题、叙述等：包括实例、情景、问题、叙述等 意图：意图：提出问题提出问题学学生生活活动动：包包括括观观察察、操操作作、归归纳纳、猜猜想想、验验证证、 推推理理、建建立立模模型型、提提出出方方法法等等个个体体活活动动，也也包包括括讨讨论论、合合作作、交交流流、互互动动等等小小组活动；组活动； 意图：意图：体验数学体验数学意意义义建建构构：包包括括经经历历过过

2、程程、感感受受意意义义、形形成成表象、自我表征等表象、自我表征等. 意图：意图：感知数学感知数学数数学学理理论论：包包括括概概念念定定义义、定定理理叙叙述述、模模型型描述、算法程序等描述、算法程序等 意图：意图：建立数学建立数学数数学学运运用用：包包括括辨辨别别、解解释释、解解决决简简单单问问题题、解决复杂问题等解决复杂问题等 意图：意图：运用数学运用数学回回顾顾反反思思：包包括括回回顾顾、总总结结、联联系系、整整合合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等 意图：意图：理解数学理解数学回顾反思回顾反思问题情境问题情境 学生活动学生活动 意义建构意义建构数学理论数

3、学理论数学运用数学运用提出问题提出问题体验数学体验数学感知数学感知数学建立数学建立数学理解数学理解数学应用数学应用数学案例案例1 1 函数的概念函数的概念提出问题1： 在初中我们是如何认识函数这个概念的？在初中我们是如何认识函数这个概念的？(一)问题情境 教师提出本节课的研究课题： 在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将进一步学习有关函数的知识.(二)学生活动1让学生就问题1略加讨论，作为讨论的一部分，教师出示教材中的三个例子，并提出问题22问题2：在在上上面面的的例例子子中中，是是否否确确定定了了函函数数关系？为什么？关系？为什么？ 通过对问题2的讨论，

4、帮助学生回忆初中所学的函数概念，再引导学生回答问题1函数的传统定义：变量的观点f (t)， t0，2410O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 / 0Ct /h2(三)建构数学1.建构问题3：如如何何用用集集合合的的观观点点来来理理解解函函数数的的概念？概念？问题4：如如何何用用集集合合的的语语言言来来阐阐述述上上面面3 3个个例子中的共同特点？例子中的共同特点？结论：函函数数是是建建立立在在两两个个非非空空数数集集之之间间的的单值对应单值对应12反思（1）结论是否正确地概括了上面例子的共同特征?（2）比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？（3）

5、一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？ （4）进一步，你能举出一些“函数”的例子吗？它们具有上述特征吗？ （作为例子，可以讨论课本（作为例子，可以讨论课本P24P24练习）练习） 一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从A 到 B的一个函数(function)，通常记为yf (x)，x A其中，所有的输入值 x 组成的集合A叫做函数yf (x)的定义域(domain)问题问题5 5如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的

6、概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素函数的要素函数的要素函数的要素(四)数学理论函数的近代定义：集合语言、对应的观点(五)数学运用 1定义的直接应用 例1（课本P23例1） 例2（课本P23例2） 2已知函数确定函数的值域 例3（课本P23例3） (注意把握难度)(六)总结反思1“初中的”函数定义和今天的定义有什么区别？2你认为对一个函数来说，最重要的是什么？ 在函数性质的教学中，首先引导学生体会函数作为描

7、述客观世界变化规律的数学模型，只要认识了函数的性质，相应的现实问题的变化规律也就被把握住了；对于运动变化问题，最基本的就是要描述变化的快或慢、增或减相应的，函数的重要特征就包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，函数的增长率、衰减率，函数增长（减少）的快与慢，函数的零点，函数（图象）对称性（奇偶性），函数值的循环往复（周期性）等等。通过这样的教学使学生明确函数性质所要研究的问题，从而明确学习方向明确学习方向。 在研研究究方方法法上，可以提醒学生注意利用函数图象，用几何直观、数形结合的思想来指导研究，例如可以通过“三步曲”：观察图图象象，描述变化规律（上升、下降）；结合图、表，用自自

8、然然语语言言描述变化规律（ y 随 x 的增大而增大或减小）；用数学符符号号语语言言描述变化规律，逐步实现用精精确确的的数数学学语语言言刻画函数的变化规律。( (一一) )问题情境问题情境1 1情境：第开头的第三个问题；情境：第开头的第三个问题；2 2问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？你在图象中，读到哪些信息？你在图象中，读到哪些信息？ 怎样用数学语言刻画上述时段内怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大随着时间的增大气温逐步升高气温逐步升高”这一特征？这一特征？案例案例2 函数的单调性函数的单调性10O24681 2 4 6 8

9、10 12 14 16 18 20 22 24 / 0Ct /h2 （1）yxOy2x1，xRy(x1)21，xR（2）yxO112( (二二) )学生活动学生活动问题问题1 1：观察下列函数的图象（如图观察下列函数的图象（如图1 1），指出），指出 图象变化的趋势图象变化的趋势问题问题2：你能明确说出你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势图象呈逐渐上升趋势” ” 的意思吗？的意思吗？ 在某一区间内，在某一区间内， 当当x x的值增大时，函数值的值增大时，函数值y y也增大也增大 图象在该区间内呈上升趋势图象在该区间内呈上升趋势 当当x x的值增大时，函数值的值增大时，函数值y y反而减小反而减小

10、图象在该区间内呈下降趋势图象在该区间内呈下降趋势函数的这种性质称为函数的单调性(三三)建构数学建构数学 问题问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单如何用数学语言来准确地表述函数的单 调性呢？调性呢？ 怎样表述在区间（0，+）上当x的值增大时，函数y的值也增大？ 能不能说，由于x1时，y3；x2时，y5就说随着x的增大，函数值y也随着增大? 能不能说，由于x1，2，3，4，5，时，相应地 y3，5，7，9，就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？ 如果有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足y1 y2y3 yn能不能就说在区间(0，+) 上随着x的增大，函数值 y 也随着增大? 无

11、限个呢？ 通通过过讨讨论论，结结合合图图(2)(2)给给出出 f f ( (x x) )在在区区间间I I上上是是单单调增函数的定义调增函数的定义 如果对于区间如果对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么可以说随着，那么可以说随着x 的增大，函数值的增大，函数值y 也增大也增大问题4：如何定义单调减函数如何定义单调减函数？给出函数单调性和单调区间的概念 ( (四四) )数学理论数学理论函数的单调性是函数的函数的单调性是函数的“局部性质局部性质”，它与区间密切相，它与区间密切相关关(五五)数学运用数学运用1例题例题例例例例1 1

12、作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1）yx 22； （2）提问：能不能说，函数 (x0)在整个定义域上是单调减函数？引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论（如取x1=1，x2=2）例2 观察下列函数的图象 并指出它们是否为定义域上的增函数：（1 1）y y( (x x1)1)2 2 （2 2）y y=|=|x x1| 1|1 12 2练习练习练习第练习第1 1、第、第2 2、第、第5 5题题(六）回顾小结六）回顾小结 本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法 问题情境问题情境学生活动学生活动建构数学建构数学

13、 数学理论数学理论数学应用数学应用回顾小结回顾小结对案例的分析对案例的分析与教材编写的程序是一致的。与教材编写的程序是一致的。从课（例题）到章到学科从课（例题）到章到学科1课例展开的程序（模式）案例案例1 1 函数的概念函数的概念 问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念 的？问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？ 为什么？问题3如何用集合的观点来理解函数的概念？2问题串问题问题4 4如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面3 3个例子中的共个例子中的共个例子中的共个例子中的共 同特点同特点同特点同特点? ?(1)(1)结论是

14、不是正确地概括了例子的共同特征？结论是不是正确地概括了例子的共同特征？(2)(2)比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？(3)(3)一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有 上述特征？上述特征？(4)(4)进一步地，你能举出一些进一步地，你能举出一些“ “函数函数” ”的例子吗？的例子吗？问题问题5 5如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？问题问题6 6你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来

15、说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？案例案例2 函数的单调性函数的单调性问题问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下说出气温在哪些时间段内是升高的或下 降的？怎样用数学语言刻画降的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大随着时间的增大气温逐步升高气温逐步升高”这一特征？这一特征？问题问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势的趋势（从图象中，你读到了哪些信息？从图象中，你读到了哪些信息？）问题问题2：你能明确说出你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？的意思吗？问问题题3：如如何何

16、用用数数学学语语言言来来准准确确地地表表述述函函数数的的单单调性呢？调性呢？ 能不能说，由于x1时，y3；x2时，y5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？ 能不能说，由于x1，2，3，4，5，时，相应地 y3，5，7，9，就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？ 如果有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足y1 y2y3 yn能不能就说在区间(0，+) 上随着x的增大，函数值 y 也随着增大? 无限个呢？ 通过讨论，结合图（2）给出f (x) 在区间I上是单调增函数的定义问题问题4：如何定义单调减函数？如何定义单调减函数？ 教教学学的的艺艺术术全全在在于于如如何何恰恰当当地地提提出

17、出问题和巧妙地引导学生作答问题和巧妙地引导学生作答 开课敲响开课敲响“第一锤第一锤” ” 续课奏出续课奏出“最强音最强音” 结课留下结课留下“满口香满口香”如果对于区间如果对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么可以说随着，那么可以说随着x 的增大，函数值的增大，函数值y 也增大也增大 设设计计好好一一个个初初始始问问题题就就从从根根本本上上设设计计好好了了一一节节课课，因因为为学学生生解解决决初初始始问问题题的的活活动动是是按按照照一一定定的的规规律律展展开开，可可以以说说，在在初初始始问问题题确确定定以以后后，课课的的大大体

18、体发发展展方方向向和和框框架就已经确定了架就已经确定了它是会按照自身的逻辑展开的它是会按照自身的逻辑展开的 教教师师在在设设计计好好初初始始问问题题( (以以及及提提出出问问题题的的方方案案) )，准准备备好好概概略略性性解解决决方方案案( (不不止止一一个个) )和和几几种种适适应应学学生生状状况况的的思思维维模模式式以以后后，再再重重点点地地弄弄清清关关键键部部分分的的细细节节，就就可可以以去去上上课课了了当当然然，在在上上课课时时你你可可能能会会遇遇到到不不少少意意外外的的情情况况, ,但但是是只只要要坚坚持持过过程程性性教教学学原原则则，不不回回避避问问题题和和矛矛盾盾，只只要要熟熟悉

19、悉并并应应用用数数学学文文化化的的规规范范，就就一一定定会会上上好好课课而且会出乎意料的精彩、自然和富有创造性而且会出乎意料的精彩、自然和富有创造性 课课堂堂提提问问是是在在课课堂堂教教学学过过程程中中，根根据据教教学学内内容容、目目的的、要要求求设设置置问问题题进进行行教教学学问问答答的的一一种种形形式式它它是是教教学学过过程程的的有有机机组组成成部部分分，是是整整个个教教学学过过程程推推进进和和发发展展的的重重要要动动力力, ,是是影影响响课课堂堂教教学学的的重重要要因因素素之之一一它它具具有有强强化化知知识识信信息息的的传传输输、评评价价学学生生学学习习的的状状态态、调调控控课课堂堂教教

20、学学的的进进程程、激激发发思思维维活活动动的的开开展展、沟沟通师生感情的交流等多项功能通师生感情的交流等多项功能 3重视思维活动重视问题在数学教学中的作用教学过程就是提出问题和解决问题的过程重视提出问题的过程重视对解决问题过程的调控4重视突出学科的结构 从章到节到问题 模式化的方法和程序415 平面上两点间的距离 已知A(1, 3)，B(3,2)，C(6,1)，D (2, 4)，四边形ABCD是否为平行四边形？ 除了用对边是否平行的判定方法，还可以通过对边是否相等来判别下面我们先计算点 A (1, 3) , B(3,2) 间的距离.转化到坐标轴转化到坐标轴特殊到一般特殊到一般 由此我们得到平面

21、上P1(x1, y1)， P2(x2, y2) 两点间的距离公式严格证明严格证明得到结论得到结论案例案例3 直线与方程直线与方程 现在我们再来考察本小节开头的问题由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以，只需说明对角线AC 和BD的中点相同，即可推得四边形ABCD是平行四边形 怎样来求线段AC 中点的坐标呢？转化到坐标轴转化到坐标轴特殊到一般特殊到一般类比猜想类比猜想严格证明严格证明 一般地，对于平面上的两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) , 线段P1P2的中点是M (x0, y0)，则A(1, 3), C(6,1) AC 中点为中点为第一步证明方法凸现解析几何的基本思想

22、证明方法凸现解析几何的基本思想第二步416 点到直线的距离 （活动课的设计） 我们已经证明了图4123中的四边形ABCD为平行四边形，如何计算它的面积呢？方法1 作垂线，得交点，转化为两点间距离方法2 作坐标轴的平行线，构造直角三角形，转化为 斜边上的高 用两点间的距离公式可求得AB= ，因此，只要知道AB边上的高，即点D(或点C)到直线AB的距离，就能算出这个平行四边形的面积 如何计算点D到直线AB：5x4y70 的距离呢？用方法2 严格证明公式 “旁白”： 当A0，B0时，公式也成立时，公式也成立进一步提出“思考”：你还能通过其它途径求出点P 到直线 l 的距离吗？ 一般地，对于直线 l

23、：A xB yC=0 (A0，B0) 和直线外一点P (x0，y0)，点P 到 l 的距离为例1 直接应用公式求点到直线的距离例2 求平行线间的距离 （转化）例3 解析法证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高应应用用 世世界界充充满满着着变变化化，有有些些变变化化几几乎乎不不被被人人们们所所感感觉觉，而而有有些些变变化化却让人们发出感叹与惊呼例如却让人们发出感叹与惊呼例如 苏苏州州市市2004年年4月月20日日最最高高气气温温为为33.4，而而此此前前的的两两天天，4月月19日日和和4月月18日日最最高高气气温温分分别别为为24.4和和18.6，短短短短两两天天时时间间，气

24、气温温“陡陡增增”14.8，闷闷热热中中的的人人们们无无不不感感叹叹：“天天气气热热得得太太快快了了！” 但但是是，如如果果我我们们将将该该市市2004年年3月月18日日最最高高气气温温3.5与与4月月18日日最最高高气气温温18.6进进行行比比较较，我我们们发发现现两两者者温温差差为为 15.1，甚甚至至超超过了过了14.8而人们却不会发出上述感叹而人们却不会发出上述感叹 这是什么原因呢？这是什么原因呢？ 原来前者变化得原来前者变化得“太快太快”，而后者变化得，而后者变化得“缓慢缓慢” 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？ 这样的数学模型有哪些应用？这

25、样的数学模型有哪些应用？ 只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动态，而且也表明过程：运动 恩格斯恩格斯 案例案例4 导数及其应用导数及其应用2030342102030A(1, 3.5)B(32, 18.6)0C(34, 33.4)T()t(天天)图图4-1-1210 如何量化陡峭程度呢？如何量化陡峭程度呢？ 容易看出容易看出B，C之间的曲线较之间的曲线较A，B之间的曲线更加之间的曲线更加“陡峭陡峭”陡峭的程度反映了气温变化的快与慢陡峭的程度反映了气温变化的快与慢平均变化率平均变化率 在在前前面面的的案案例例中

26、中， “气气温温陡陡增增”的的数数学学意意义义是是什什么么呢呢？为为了了弄弄清清这这个个问问题题，我我们们先先来来观观察察下下面面的的气气温温曲曲线线图（以图（以3月月18日作为第一天）日作为第一天）例1 婴儿从出生到第24个月的体重变化(如图)，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率7.522.528.51224t( (月月) )W(kg)(kg)图图4-1-2甲甲乙乙图图4-1-3例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图) ，t秒钟后容器甲中水的体积为 V (t)=5et(单位cm3) ，计算第一个10 秒内V 的平均变化率 例3 已知函数f(x) = x2，分别计算函数f(x)

27、在下列区间上的平均变化率(1) (1，3)；(2) (1，2)；(3) (1，1.1)；(4) (1，1.001) 例4 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分别计算在下列区间上函数f(x)及g(x)的平均变化率（1）(3，1)； （2）(0，5) 4.1.2 瞬时变化率瞬时变化率-导数导数 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢？P放大放大再放大再放大PP 为了研究曲线上某一点P处的变化趋势，我们将点P附近的曲线放大后进行观察我们发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线 如果将点P附近的图形放大再放大，我们发现点P附近的曲线看上去几乎成了直线事实上，如果继续放大，可以发现点

28、P附近的曲线将接近（逼近）一条确定的直线L，该直线L是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线1 1曲线上一点处的切线 因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PPP放大放大再放大再放大PP 既然点P附近的曲线被看作直线L，从而，该直线L的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势” 怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L呢？ 如图4-1-7，设Q为曲线C上另一点，随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ（又称割线）在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处

29、最逼近曲线的直线L，这条直线L也称为曲线在点P处的切线 有了割线逼近切线的方法，我们可以来计算曲线上一点处切线的斜率 例1 已知f(x) = x2，求f (x)在x = 2处的切线斜率2瞬时速度 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比，称为平均速度平均速度是物体运动快慢程度的量化，但它是针对某一时间段而言的在变速运动中，每一时刻的速度都是不同的，那么如何精确刻画每一时刻的速度呢？ 例2 10米高台跳水，运动员从腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的假设t秒后运动员相对于水面的高度为H(t) = tt + 10，试确定t = 2秒时运动员的速度为多少？ 例3 设一辆轿车在高速公路上作匀加速

30、直线运动，假设t秒时的速度为v(t) = t2 + 3求t = t0秒时轿车的加速度3导数 前面的实际问题都涉及了一个相同的数学模型导数：设函数y = f (x)在区间(a，b)上有定义，x0 (a，b)，当x无限趋近于0时，比值 则称f (x)在点 x = x0 处可导，并称该常数A为函数f (x)在点x = x0处的导数（derivative），记作 f (x0) 若f (x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f (x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为的导函数，记作f (x)二、教学指导思想二、教学指导思想1 1数学教学的基本目标是促进学生的发展

31、数学教学的基本目标是促进学生的发展数学的价值数学的价值数学的价值数学的价值 工具价值工具价值工具价值工具价值 思维价值思维价值思维价值思维价值 文化价值文化价值文化价值文化价值数学教育的价值数学教育的价值数学教育的价值数学教育的价值 知识知识知识知识 能力能力能力能力 精神品格（观念）精神品格（观念）精神品格（观念）精神品格（观念）2 2数学教学是师生双边活动的过程数学教学是师生双边活动的过程数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历“数学化数学化数学化数学化”、“再创再创再创再创造造造造”的活动过程的活动过程的活动过程的活动过程教师不仅是

32、教学活动的设计者、组织者，而且是教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是学生的合作者学生的合作者学生的合作者学生的合作者因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生创设问题情境，激活学生的思维创设问题情境，激活学生的思维创设问题情境，激活学生的思维创设问题情境，激活学生的思维帮助学生进行思维的监控和反思帮助学生进行思维的监控和反思帮助学生进行思维的监控和反思帮助学生进行思维的监控和反思. . . .情感上对学生给予鼓励情感上对学生给予鼓励情感上对学生给予鼓励情感上对学生给予鼓励,

33、, , ,帮助学生树立克服困难的信心帮助学生树立克服困难的信心帮助学生树立克服困难的信心帮助学生树立克服困难的信心现代数学文化的代表现代数学文化的代表现代数学文化的代表现代数学文化的代表在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都会潜移默化地影响学生会潜移默化地影响学生会潜移默化地影响学生会潜移默化地影响学生. . . . 3 3数学教学是数学文化背景下的思维活动数学教学是数学文化背景下的思维活动数学教学是思维活动的教学数学教学是思维活动的

34、教学数学教学是思维活动的教学数学教学是思维活动的教学数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；思维活动是数学活动的主体；思维活动是数学活动的主体；思维活动是数学活动的主体；思维活动是数学活动的主体；数学思维是数学文化传统下的思维数学思维是数学文化传统下的思维数学思维是数学文化传统下的思维数学思维是数学文化传统下的思维数学文化传统形成了数学思维的规范；数学文化传统形成了数学思维的规范；数学文化传统形成了数学思维的规范；数学文化传统形成了数学思维的规范；数学观念、思维方式的

35、形成过程可以看成是对数学文化数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化的传承；的传承；的传承；的传承；思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观继续和创新继续和创新继续和创新继续和创新三、数学教学的若干策略三、数学教学的若干策略总策略：促使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式 1 1以问题为中心以问题为中心数学的心脏数学的心脏数学活动的载体数学活动的载体数学思维活动的成果数学思维活动的成果数学

36、发现模式和数学教学程序数学发现模式和数学教学程序 问题背景问题背景问题背景问题背景建构数学模式建构数学模式建构数学模式建构数学模式运用模式解决问题运用模式解决问题运用模式解决问题运用模式解决问题 问题背景问题背景问题背景问题背景学生活动学生活动学生活动学生活动建构数学建构数学建构数学建构数学 数学理论数学理论数学理论数学理论数学运用数学运用数学运用数学运用回顾反思回顾反思回顾反思回顾反思2突出数学的基本结构知识结构知识结构思维结构思维结构数学思想和数学观念数学思想和数学观念数学整体的价值数学整体的价值 ( (立体几何结构图立体几何结构图) )核心概念核心概念胚胎和生长点胚胎和生长点逻辑的发展逻

37、辑的发展例子（解析几何、三角函数）例子（解析几何、三角函数）四、教学设计要点 教教学学过过程程设设计计的的核核心心是是要要充充分分展展现现和和暴暴露露思思维维过过程程，让让学学生生在在获获得得知知识识的的同同时时掌掌握握思思维维方方法法，发发展展思思维维品品质质，提提高高学学习习能能力力，获获得得创创造造性性活活动动的体验的体验.1问题情境的创设数学教学设计就是问题的设计数学教学设计就是问题的设计教学中的问题教学中的问题对问题的要求对问题的要求初始性初始性结构性结构性情境性情境性简单而有深度简单而有深度应用问题和结构问题应用问题和结构问题多方位地设置问题多方位地设置问题问题串问题串平面解析几何

38、初步 现实世界中，到处有美妙的曲线从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代这些曲线都和方程息息相关行星围绕太阳运行，人们要认识行星的运行规律，首先就要建立行星运行的轨道方程在建造桥梁时，我们首先要确定桥拱的方程，然后才能进一步地设计和施工 引进平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示平面内的点根据曲线的几何性质，可以得到关于x，y的一个代数方程f(x，y)=0反过来，把代数方程f(x，y)=0的解(x，y)看作平面上点的坐标，这些点的集合是一条曲线 我们知道直线和圆是基本的几何图形，那么， 如何建立它们的方程？ 如何通过方程来研究它们的性质？ 直线是最常见的图形，过一点沿确定的方向就可

39、以画出一条直线 如何用数学语言刻画直线的方向，进而建立直线的方程？ 如何利用直线的方程研究直线的位置关系？ 确定直线位置的要素除了点之外，还有直线的倾斜程度通过建立直角坐标系，点可以用坐标来刻画那么，直线的倾斜程度如何来刻画呢？直线的倾斜程度如何来刻画呢？411 直线的斜率直线的斜率4 41 1 直线与方程直线与方程问题串问题串解析几何（直线）如何建立它们的方程？如何通过方程来研究它们的性质？直线是最常见的图形，过一点沿着确定方向就直线是最常见的图形，过一点沿着确定方向就可以画出一条直线。可以画出一条直线。 如何用数学语言刻画直线的方向，进而建立如何用数学语言刻画直线的方向，进而建立直线的方程

40、？直线的方程？ 如何用直线方程来研究直线的位置关系？如何用直线方程来研究直线的位置关系？ 确定直线位置的要素除了点以外，还有直线的倾确定直线位置的要素除了点以外，还有直线的倾斜程度，通过建立直角坐标系，点可以用坐标来斜程度，通过建立直角坐标系，点可以用坐标来刻画，那么直线的倾斜程度如何来刻画呢？刻画，那么直线的倾斜程度如何来刻画呢？ 在平面直角坐标系中，我们可以类似地利用这种方法来刻画直线的倾斜程度 如图412(1)，已知两点P (x1，y1)，Q (x2，y2)，如果x1 x2 ，那么直线PQ的斜率(slope)为 如果x1x2 ，那么直线PQ的斜率不存在(如图41(2) 如图412(1)，

41、对于与x轴不垂直的直线PQ ，它的斜率也可看做是 对于一条与x轴不垂直的定直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的斜率总是相等的如何建立它们的方程？ 如何通过方程来研究它们的性质？ 圆是最完美的曲线，它是平面内到定点的距离等于圆是最完美的曲线，它是平面内到定点的距离等于 定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径。 如何建立圆的方程？如何建立圆的方程？ 如何利用圆的方程研究圆的性质？如何利用圆的方程研究圆的性质？ 河河北北省省的的赵赵县县的的赵赵州州桥桥，是是世世界界著著名名的的古古代代石石拱拱桥桥，也也 是是造造成成后后一一直直使使用用

42、到到现现在在的的最最古古老老的的石石桥桥，赵赵州州桥桥的的跨跨度度是是3737。4m4m，圆拱高约为圆拱高约为7 72m2m， 如何写出这个圆拱所在圆的方程？如何写出这个圆拱所在圆的方程？问题串解析几何（圆）问题串立体几何 空间几何体是由哪些几何体构成的？空间几何体是由哪些几何体构成的？ 如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小？如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小？ 构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？ 复杂的几何体，通常是由一些简单几何体（如柱、锥、台、复杂的几何体，通常是由一些简单几何体（如柱、锥、台、球）组合而成的。球）组合而

43、成的。 柱、锥、台、球分别具有怎样的结构特征？柱、锥、台、球分别具有怎样的结构特征？ 如何在平面上表示空间几何体？如何在平面上表示空间几何体？ 如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？ 仔细观察下面的几何体，它们有什么共同的特点？仔细观察下面的几何体，它们有什么共同的特点？问题串问题串立体几何（立体几何（2 2） 空间几何体是由哪些几何体构成的？空间几何体是由哪些几何体构成的？空间几何体是由哪些几何体构成的？空间几何体是由哪些几何体构成的？ 如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小？如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小？如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小

44、？如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小？ 构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？ 在上一节中，我们已经对简单的几何体有了直观的认在上一节中，我们已经对简单的几何体有了直观的认在上一节中，我们已经对简单的几何体有了直观的认在上一节中，我们已经对简单的几何体有了直观的认识，简单的几何体是由空间的点、线、面所构成的，识，简单的几何体是由空间的点、线、面所构成的，识，简单的几何体是由空间的点、线、面所构成的，识，简单的几何体是由空间的点、线、面所构成的，

45、 本节我们将对点、线面的位置关系作进一步的讨论本节我们将对点、线面的位置关系作进一步的讨论本节我们将对点、线面的位置关系作进一步的讨论本节我们将对点、线面的位置关系作进一步的讨论. . 空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？ 如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？ 用两个合页和一把锁就可以把一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，用两个合页和一把锁就可以把一扇

46、门固定，将一把直尺置于桌面上，用两个合页和一把锁就可以把一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，用两个合页和一把锁就可以把一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？ 椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？2学生活动的组织学学生生活活动动是是为为了了解解决决问问题题而而展展开开的的，以以建建构构数数学学为为目的；目的

47、；活活动动方方式式：观观察察、操操作作、归归纳纳、猜猜想想、验验证证、推推理理、建建立立模模型型、提提出出方方案案，查查阅阅资资料料、讨讨论论、合合作作交交流流、调查；调查；教师的价值判断：教师的价值判断：学生活动要符合数学文化的规范；学生活动要符合数学文化的规范；学生活动要体现学生的个性；（多样性）学生活动要体现学生的个性；（多样性）学生活动应该有利于思维活动的展开（学生活动应该有利于思维活动的展开（例子）例子）学生活动要照顾到不同发展层次的学生学生活动要照顾到不同发展层次的学生以解决问题为最终目标还是以学生的发展为最终目标：以解决问题为最终目标还是以学生的发展为最终目标：合理和有用；成功与

48、失败，失败的价值合理和有用；成功与失败，失败的价值3建构数学的过程：胚胎和生长点胚胎和生长点经历过程（从直觉到逻辑、再发现）经历过程（从直觉到逻辑、再发现）感受意义（反思领悟）感受意义（反思领悟）形成表象（建构的成果）例：函数、单调性、形成表象（建构的成果）例：函数、单调性、垂直垂直垂直垂直自我表征（初步的概括）自我表征（初步的概括）生长中的数学，朴素的数学，未包装的数学生长中的数学，朴素的数学，未包装的数学数学建构活动中的核心环节数学建构活动中的核心环节最终：建立数学最终：建立数学4数学理论的呈现定义、定理叙述、模型描述、算法程序等；定义、定理叙述、模型描述、算法程序等；抽象，形式化的表述抽象，形式化的表述5数学运用包包括括辨辨别别、解解释释、变变式式训训练练、解解决决简简单单问问题题、解决复杂问题等；解决复杂问题等；解题的重要性解题的重要性训练性问题和发展性问题训练性问题和发展性问题最终：应用数学最终：应用数学6回顾小结（反思）包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等凝缩（由过程到对象）等反思贯穿于始终反思贯穿于始终 提出新问题，形成观念；提出新问题，形成观念；最终：理解数学最终：理解数学