统计学第5章概率与概率分布.ppt

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1、第第5 5章章 概率与概率分布概率与概率分布5.1 5.1 随机事件及其概率随机事件及其概率基本概念：基本概念：1. 试验：在相同条件下，对事物或现象所进行试验：在相同条件下，对事物或现象所进行的观察或实验。的观察或实验。2. 事件：随机试验的每一个可能结果。事件：随机试验的每一个可能结果。3. 随机事件：在同一组条件下，每次试验可能随机事件：在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件。出现也可能不出现的事件。4. 概率：概率：是某一事件在试验中出现的可能性大是某一事件在试验中出现的可能性大小的一种度量。小的一种度量。5.2 5.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则 （1 1）

2、 0P(A) 10P(A) 1 （2 2）必然事件的概率为必然事件的概率为1 1，不可能事件的概率为，不可能事件的概率为0 0 P(P() = 1) = 1，P(P()= 0)= 0 （3 3） 若若A A与与B B互斥，互斥，则 P(AP(A B)= P(A)+P(B)B)= P(A)+P(B) 对于任意两个随机事件对于任意两个随机事件 P(AP(A B)= P(A)+P(B)-PB)= P(A)+P(B)-P（A AB B） 条件概率：条件概率： 在事件在事件B B已经发生的条件下，求事件已经发生的条件下，求事件A A发生的概发生的概率，称这种概率为事件率，称这种概率为事件B B发生条件下

3、事件发生条件下事件A A发生发生的条件概率，记为的条件概率，记为 乘法公式：乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B) 或或P(AB)=P(A)P(B|A)P(B)P(AB)P(A|B) =【例例例例】设有设有设有设有10001000件产品，其中件产品，其中件产品，其中件产品，其中850850件是正品，件是正品，件是正品，件是正品，150150件是次品，从中依次抽取件是次品，从中依次抽取件是次品，从中依次抽取件是次品，从中依次抽取2 2件，两件都是次品的件，两件都是次品的件，两件都是次品的件，两件都是次品的概率是多少？概率是多少？概率是多少？概率是多少？ 解：解：解：解：设设设设 A A A

4、 Ai i i i 表示表示表示表示“第第第第 i i i i 次抽到的是次品次抽到的是次品次抽到的是次品次抽到的是次品” ( ( ( (i i i i=1,2)=1,2)=1,2)=1,2)，所求概率为，所求概率为，所求概率为，所求概率为P P P P( ( ( (A A A A1 1 1 1A A A A2)2)2)2)事件的独立性事件的独立性1. 一一个个事事件件的的发发生生与与否否并并不不影影响响另另一一个个事事件件发发生生的的概率，则称两个事件独立概率，则称两个事件独立2. 若事件若事件A与与B独立，独立， 则则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 3. 概率的乘法公式可

5、简化为概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(A)P(B) 推广到推广到n个独立事件，有个独立事件，有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An) 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 设设事事件件A A1 1，A A2 2，A An n 两两两两互互斥斥， A A1 1+ +A A2 2+ + + A An n= = （满满足足这这两两个个条条件件的的事事件件组组称称为为一一个个完完备备事事件件组组），且且P P( (A Ai i)0()0(i i=1,2, =1,2, , ,n n) )，则则对对任意事件任意事件B B，有有我们把事件我们把事件我们把事件我们把事件A

6、A A A1 1 1 1，A A A A2 2 2 2，A A A An n n n 看作是引起事件看作是引起事件看作是引起事件看作是引起事件B B B B发发发发生的所有可能原因，事件生的所有可能原因，事件生的所有可能原因，事件生的所有可能原因，事件B B B B 能且只能在原有能且只能在原有能且只能在原有能且只能在原有A A A A1 1 1 1，A A A A2 2 2 2，A A A An n n n 之一发生的条件下发生，求事件之一发生的条件下发生，求事件之一发生的条件下发生，求事件之一发生的条件下发生，求事件B B B B 的概率就是上面的全概公式的概率就是上面的全概公式的概率就是

7、上面的全概公式的概率就是上面的全概公式【例例例例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为各种机床的次品率分别为各种机床的次品率分别为各种机床的次品率分别为5%5%、4%4%、2%2%，它们，它们，它们，它们各自的产品分别占总产量的各自的产品分别占总产量的各自的产品分别占总产量的各自的产品分别占总产量的25%25%、35%35%、40%40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次，将它们的

8、产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。品的概率。品的概率。品的概率。 解：解：解：解：设设设设 A A1 1表示表示表示表示“ “产品来自甲台机床产品来自甲台机床产品来自甲台机床产品来自甲台机床” ”， A A2 2表表表表示示示示“ “产品来自乙台机床产品来自乙台机床产品来自乙台机床产品来自乙台机床” ”， A A3 3表示表示表示表示“ “产品来产品来产品来产品来自丙台机床自丙台机床自丙台机床自丙台机床” ”， B B表示表示表示表示“ “取到次品取到次品取到次品取到次品” ”。根据全。根据全。根据全。根据全概公式有概公式有概公式有概公式有贝叶斯公式贝叶斯公式（逆概率公式）（逆概率公式）

9、1.与与全全概概公公式式解解决决的的问问题题相相反反，贝贝叶叶斯斯公公式式是是建建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因2.设设 n个个 事事 件件 A1， A2， ， An 两两 两两 互互 斥斥 ， A1+A2+ An= (满满足足这这两两个个条条件件的的事事件件组组称称为为一一个个完完备备事事件件组组)，且且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则则【例例例例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为的次

10、品率分别为的次品率分别为的次品率分别为5%5%5%5%、4%4%4%4%、2%2%2%2%，它们各自的产品分别占总，它们各自的产品分别占总，它们各自的产品分别占总，它们各自的产品分别占总产量的产量的产量的产量的25%25%25%25%、35%35%35%35%、40%40%40%40%，将它们的产品组合在一起，如果，将它们的产品组合在一起，如果，将它们的产品组合在一起，如果，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生

11、产的概率生产的概率生产的概率生产的概率 解：解：解：解：设设设设 A A A A1 1 1 1表示表示表示表示“产品来自甲台机床产品来自甲台机床产品来自甲台机床产品来自甲台机床”， A A A A2 2 2 2表示表示表示表示“产品产品产品产品来自乙台机床来自乙台机床来自乙台机床来自乙台机床”， A A A A3 3 3 3表示表示表示表示“产品来自丙台机床产品来自丙台机床产品来自丙台机床产品来自丙台机床”， B B B B表表表表示示示示“取到次品取到次品取到次品取到次品”。根据贝叶斯公式有：。根据贝叶斯公式有：。根据贝叶斯公式有：。根据贝叶斯公式有：随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机

12、变量的概念一、随机变量的概念二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的概率分布随机变量的概念随机变量的概念1. 一次试验的结果的数值性描述一次试验的结果的数值性描述2. 一般用一般用 X、Y、Z 来表示来表示3. 在同一组条件下，把每次试验的结果都列举出在同一组条件下，把每次试验的结果都列举出来，即把来，即把X的所有可能值的所有可能值x1,x2,xn都列举出都列举出来，其有确定的概率来，其有确定的概率P(x1),P(x2),P(xn)。 则则X称为称为P(X)的的随机变量随机变量，P(X)称为随机变量称为随机变量X的的概率函数概率函

13、数。4. 根据取值情况的不同，分为离散型随机变量和根据取值情况的不同，分为离散型随机变量和连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布X = xix1 ，x2 ， ，xnP(X =xi)=pip1 ，p2 ， ，pn1. 1. 列出离散型随机变量列出离散型随机变量列出离散型随机变量列出离散型随机变量X X的所有可能取值的所有可能取值的所有可能取值的所有可能取值2. 2. 列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率3. 3. 通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示通常用下面的

14、表格来表示4. P P( (X X = =x xi i)=)=p pi i称为离散型随机变量的概率函数称为离散型随机变量的概率函数称为离散型随机变量的概率函数称为离散型随机变量的概率函数p pi i 0 00P【例例例例】如如如如规规规规定定定定打打打打靶靶靶靶中中中中域域域域得得得得3 3分分分分，中中中中域域域域得得得得2 2分分分分，中中中中域域域域得得得得1 1分分分分，中中中中域域域域外外外外得得得得0 0分分分分。今今今今某某某某射射射射手手手手每每每每100100次次次次射射射射击击击击，平平平平均均均均有有有有3030次次次次中中中中域域域域，5555次次次次中中中中域域域域，

15、1010次次次次中中中中，5 5次次次次中中中中域域域域外外外外。则则则则考考考考察察察察每每每每次次次次射射射射击击击击得得得得分分分分为为为为0,1,2,30,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为这一离散型随机变量，其概率分布为这一离散型随机变量，其概率分布为这一离散型随机变量，其概率分布为X = xi0 1 2 3P(X=xi) pi0.05 0.10 0.55 0.30离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 0 01 1分布：离散型随机变量分布：离散型随机变量X X只可能取只可能取0 0和和1 1两个值。两个值。X 1 0P(x) p qP(X=1) = p P(X=0

16、) = q p, q 0 p + q = 1【例例例例】已已已已知知知知一一一一批批批批产产产产品品品品的的的的次次次次品品品品率率率率为为为为p p p p0.050.050.050.05，合合合合格格格格率率率率为为为为q q q q=1-=1-=1-=1-p p p p=1-0.5=0.95=1-0.5=0.95=1-0.5=0.95=1-0.5=0.95。并并并并指指指指定定定定废废废废品品品品用用用用1 1 1 1表表表表示示示示，合合合合格格格格品品品品用用用用0 0 0 0表表表表示示示示。则则则则任任任任取取取取一一一一件件件件为为为为废废废废品品品品或或或或合合合合格格格格品

17、品品品这这这这一一一一离散型随机变量，其概率分布为离散型随机变量，其概率分布为离散型随机变量，其概率分布为离散型随机变量，其概率分布为X = xi0 1P(X=xi)=pi0.05 0.950.50.50.50.50 0 0 0 x xP P( (x x) )均匀分布均匀分布 一个离散型随机变量取各个值的概率相同一个离散型随机变量取各个值的概率相同【例例例例】投投投投掷掷掷掷一一一一枚枚枚枚骰骰骰骰子子子子，出出出出现现现现的的的的点点点点数数数数是是是是个个个个离离离离散散散散型型型型随随随随机变量，其概率分布为机变量，其概率分布为机变量，其概率分布为机变量，其概率分布为X = xi1 2

18、3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/60 0 0 0/6/6/6/6P P( (x x) ) x x 3 3 3 34 4 4 45 5 5 56 6 6 6离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征（1 1）数学期望：）数学期望：在离散型随机变量在离散型随机变量X X的一切可能的一切可能取值的完备组中，各可能取值取值的完备组中，各可能取值x xi i与其取相对应的与其取相对应的概率概率p pi i乘积之和乘积之和描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度（2）

19、方差与标准差）方差与标准差 方差：随机变量方差：随机变量X的每一个取值与期望值的离的每一个取值与期望值的离 差平方和的数学期望，记为差平方和的数学期望，记为D(X)标准差：随机变量方差的平方根标准差：随机变量方差的平方根财务分析中的投资风险问题财务分析中的投资风险问题【例例】一位投资者有一笔现金可用于投资，现有一位投资者有一笔现金可用于投资，现有 两个投资项目可供选择。项目两个投资项目可供选择。项目A和和B有如下有如下 资料可供参考。试比较哪个投资项目较佳？资料可供参考。试比较哪个投资项目较佳？回报率回报率x(%)x(%)可能性可能性(p)(p)预期回报率预期回报率5.55.56.56.57.

20、57.58.58.50.250.250.250.250.250.250.250.25合计合计1 11.3751.6251.8752.1257项目项目A A回报率回报率x(%)x(%)可能性可能性p p预期回报率预期回报率4 45 56 67 78 89 910100.050.050.10.10.150.150.40.40.150.150.10.10.050.05合计合计1 1项目项目B B0.20.50.92.81.20.90.57解：比较哪个投资项目较好，要看哪个项目的预解：比较哪个投资项目较好，要看哪个项目的预期回报率高、风险小。期回报率高、风险小。E(x)= 7项目项目B B的预期回报率

21、为的预期回报率为 项目项目A A的预期回报率为的预期回报率为E(x)= 7项目项目A A的标准差为的标准差为项目项目B B的标准差为的标准差为 期望值或平均数衡量平均回报率或收益率期望值或平均数衡量平均回报率或收益率 方差或标准差反映每一个可能出现的回报方差或标准差反映每一个可能出现的回报率与平均回报率的平均差异。率与平均回报率的平均差异。 方差或标准差越大，回报率的变化越大，风险越高；方差或标准差越大，回报率的变化越大，风险越高；方差或标准差越小，回报率的变化越小，风险越低；方差或标准差越小，回报率的变化越小，风险越低；当投资回报率相等时，风险较小的项目为最佳选择当投资回报率相等时，风险较小

22、的项目为最佳选择当投资回报率不相等时，通过离散系数来衡量风险。当投资回报率不相等时，通过离散系数来衡量风险。【例例】如果投资项目如果投资项目A A的预期回报率为的预期回报率为7%7%，标准差，标准差为为5%5%；投资项目；投资项目B B的预期回报率为的预期回报率为12%12%，标准差为，标准差为7%7%，问哪个投资风险较大？，问哪个投资风险较大？ 解：解：项目项目A的离散系数的离散系数V = 0.05/0.07 = 0.714项目项目B的离散系数的离散系数V = 0.07/0.12 = 0.583项目项目A每单位回报率承受每单位回报率承受0.714单位的风险，单位的风险，项目项目B每单位回报率

23、承受每单位回报率承受0.583单位的风险。单位的风险。因此，因此，A的风险较大。的风险较大。常见的离散型概率分布常见的离散型概率分布超几何分布超几何分布离散型随机变离散型随机变量的概率分布量的概率分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布二项分布二项分布1.二项分布与贝努里试验有关二项分布与贝努里试验有关2.贝努里试验具有如下属性贝努里试验具有如下属性试验包含了试验包含了n 个相同的试验个相同的试验每每次次试试验验只只有有两两个个可可能能的的结结果果，即即“成成功功”和和“失败失败”出出现现“成成功功”的的概概率率 p 对对每每次次试试验验结结果果是是相相同同的的；“失失败败”的的概概率率 q 也也

24、相相同同，且且 p + q = 1试验是相互独立的试验是相互独立的试验试验“成功成功”或或“失败失败”可以计数可以计数设设X为为n次重复试验中次重复试验中“成功成功”出现的次出现的次数，数，X 取取 x 的概率为的概率为二项分布有两个参数，分别为二项分布有两个参数，分别为n，p，故二项分布记作故二项分布记作 XB（n，p） E(X) = np D(X) = npq = np(1-p)二项分布的期望和方差：二项分布的期望和方差：【例例例例】已知已知已知已知100100件产品中有件产品中有件产品中有件产品中有5 5件次品，现从中件次品，现从中件次品，现从中件次品，现从中任取一件，有放回地抽取任取一

25、件，有放回地抽取任取一件，有放回地抽取任取一件，有放回地抽取3 3次。求在所抽取次。求在所抽取次。求在所抽取次。求在所抽取的的的的3 3件产品中恰好有件产品中恰好有件产品中恰好有件产品中恰好有2 2件次品的概率件次品的概率件次品的概率件次品的概率 解：解：解：解：设设设设 X X 为所抽取的为所抽取的为所抽取的为所抽取的3 3件产品中的次品数，件产品中的次品数，件产品中的次品数，件产品中的次品数，则则则则X X B B ( 3 , 0.05)( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有，根据二项分布公式有，根据二项分布公式有，根据二项分布公式有 泊松分布1.用用于于描描述述在在一一指指定定时时间

26、间范范围围内内或或在在一一定定的的长长度度、面面积积、体体积积之之内内某某一一事事件件出现次数的分布。出现次数的分布。2.泊松分布的例子泊松分布的例子一个城市在一个月内发生的交通事故次数一个城市在一个月内发生的交通事故次数消消费费者者协协会会一一个个星星期期内内收收到到的的消消费费者者投投诉诉次数次数人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数泊松分布的公式为泊松分布的公式为 给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、面积、体积内积内积内积内“ “成功成功成功成功” ”的平均数的平均数的平均数的平

27、均数 e = 2.71828 e = 2.71828 x x 给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、面积、体给定的时间间隔、长度、面积、体积内积内积内积内“ “成功成功成功成功” ”的次数的次数的次数的次数泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 E ( X ) = D ( X ) = 【例例例例】假定某企业的职工中在周一请假的人数假定某企业的职工中在周一请假的人数假定某企业的职工中在周一请假的人数假定某企业的职工中在周一请假的人数X X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为服从泊松分布，且设周一请事假的平均

28、人数为服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.52.5人。求人。求人。求人。求 （1 1）X X 的均值及标准差的均值及标准差的均值及标准差的均值及标准差 （2 2）在给定的某周一正好请事假是）在给定的某周一正好请事假是）在给定的某周一正好请事假是）在给定的某周一正好请事假是5 5人的概率人的概率人的概率人的概率 解解解解：(1) (1) E E( (X X)=)= =2.5=2.5； (2)(2)泊松分布泊松分布（作为二项分布的近似）（作为二项分布的近似）1.当试验的次数当试验的次数当试验的次数当试验的次数 n n 很大，成功的概率很大，成功的概率很大，成功的概率很大，成功的概率 p p

29、 很小时，很小时，很小时，很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即即即即2.实际应用中，当实际应用中，当实际应用中，当实际应用中，当 P P 0.250.25，n n2020，npnp 5 5时，近时，近时，近时，近似效果良好似效果良好似效果良好似效果良好用用Excel计算二项分布概率值计算二项分布概率值的操作步骤的操作步骤【插入插入】 【函数函数】 “BINOMDIST”【Number_s】: 成功的次数成功的次数X【Trials】: 试验的总次数试验的总次数n【

30、Probability_s】: : 每次试验成功的概率每次试验成功的概率p p【Cumulative】: 输入输入0（False），表示计算成），表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率；功次数恰好等于指定数值的概率； 输入输入1（True），表示计算成功次数小于或等），表示计算成功次数小于或等 于指定数值的累积概率值。于指定数值的累积概率值。用用Excel计算二项分布概率值计算二项分布概率值的操作步骤的操作步骤【插入插入】 【函数函数】 “POISSON”【X】：事件出现的次数事件出现的次数【Mean】: 泊松分布的均值泊松分布的均值【Cumulative】: 输入输入0（False），表示计

31、算成），表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率；功次数恰好等于指定数值的概率； 输入输入1（True），表示计算成功次数小于或等），表示计算成功次数小于或等 于指定数值的累积概率值。于指定数值的累积概率值。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布则称则称X为连续型随机变量，其中函数为连续型随机变量，其中函数f(x)为为X的概率密度函数。的概率密度函数。定义：如果对于随机变量定义：如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x), 存在非负函数存在非负函数f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数x有有概

32、率密度函数概率密度函数1. 概率密度函数具有以下性质：概率密度函数具有以下性质：（3）（4）若若f(x)在点在点x处连续处连续2. 概率概率密度函数密度函数 f(x)表示表示X 的所有取值的所有取值 x 及其频数及其频数f(x)值值( (值值, , 频数频数) )频数频数f f( (x x) )a ab bx x3. 3. 在平面直角坐标系中画出在平面直角坐标系中画出在平面直角坐标系中画出在平面直角坐标系中画出f f( (x x) )的图形，则对于的图形，则对于的图形，则对于的图形，则对于任何实数任何实数任何实数任何实数 a a b b，P P( (a a X X b b) )是该曲线下从是该

33、曲线下从是该曲线下从是该曲线下从a a到到到到 b b的面积的面积的面积的面积概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积f(x)xab 密度函数曲线下的面积等于密度函数曲线下的面积等于1 分布函数分布函数F ( x0 )是曲线下小于是曲线下小于 x0 的面积的面积f(x)xx0F F ( ( x x0 0 ) )连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差1. 连续型随机变量的数学期望为连续型随机变量的数学期望为2. 方差为方差为连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布指数分布指数分布连续型随机变连续型随机变量的概率分布量的概率分布正态分布正态分布均匀分布均匀分布其他分布其他分布均匀

34、分布均匀分布1. 1. 若随机变量若随机变量若随机变量若随机变量X X的概率的概率的概率的概率密度函数为密度函数为密度函数为密度函数为称称称称X X在区间在区间在区间在区间 a a , ,b b 上均匀分布上均匀分布上均匀分布上均匀分布2.数学期望和方差分别为数学期望和方差分别为数学期望和方差分别为数学期望和方差分别为 xf(x)ba均匀分布例题均匀分布例题【例例】设连续型随机变量设连续型随机变量X在有限区间在有限区间(a,b)内取值，内取值， 其概率密度为：其概率密度为：aXb (ab)0其他试求：试求：（1）分布函数）分布函数F(x)；（；（2）期望值与方差）期望值与方差解解：（1）xa时

35、，时，f(x) = 0, 所以所以F(x) = 0axb时，时，xb时，时，F(x)=0 xaaxb1 xb(2)(2)无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布正态分布正态分布 最重要的一种连续型分布；最重要的一种连续型分布； 在实际中应用广泛在实际中应用广泛正态分布正态分布f f( (x x) = ) = 随机变量随机变量随机变量随机变量 X X 的频数的频数的频数的频数 = = 总体方差总体方差总体方差总体方差 =3.14159; e = 2.71828=3.14159; e = 2.71828x x = = 随机变量的取值随机变量的取值随机变量的取值随机变量的取值 (- (- x x ) )

36、 = = 总体均值总体均值总体均值总体均值定义：如果随机变量定义：如果随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X服从正态分布，记作服从正态分布，记作XN（,2）正态分布函数的性质正态分布函数的性质1.f (x) 0，即概率密度曲线在，即概率密度曲线在x轴的上方轴的上方2.正正态态曲曲线线的的最最高高点点在在均均值值 ，它它也也是是分分布布的的中中位数和众数位数和众数3.每每一一特特定定正正态态分分布布通通过过均均值值 和和标标准准差差 来来区区分分。 决定曲线的中心位置，决定曲线的中心位置， 决定曲线的陡缓程度。决定曲线的陡缓程度。4.曲曲线线f(x)相相对对于于均均值值 对对称称，尾尾端端

37、向向两两个个方方向向无无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5.随机变量的概率由曲线下的面积给出随机变量的概率由曲线下的面积给出标准正态分布函数1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的任何一个一般的正态分布，可通过下面的任何一个一般的正态分布，可通过下面的任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布线性变换转化为标准正态分布线性变换转化为标准正态分布线性变换转化为标准正态分布2. 标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数3. 标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数标准正态分

38、布的分布函数标准正态分布的分布函数标准正态分布标准正态分布1.将一般正态分布转换为标准正态分布，再查表将一般正态分布转换为标准正态分布，再查表2.对于负的对于负的 x ，可由，可由 (-x) x 得到得到3.对于标准正态分布，即对于标准正态分布，即XN(0,1)，有，有P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 14.对于一般正态分布，即对于一般正态分布，即XN( , 2)，有，有【例例例例】设设设设X X X XN N N N(0(0(0(0，1)1)1)1)，求以下概率：，求以下概率：，求以下概率：，求以下概率： (1) (1) (1) (1) P P P P( ( ( (X

39、X X X 1.5) 1.5) 1.5) 2) 2) 2) 2)； (3) (3) (3) (3) P P P P(-1(-1(-1(-1X X X X 3)3)3)3)； (4) (4) (4) (4) P P P P(| (| (| (| X X X X | | | | 2) 2) 2) 2) 解解解解： (1) (1) (1) (1) P P P P( ( ( (X X X X 1.5) = 1.5) = 1.5) = 2)= 1- 2)= 1- 2)= 1- 2)= 1-P P P P( ( ( (X X X X 2 2 2 2)=1-0.9973= 0.0227)=1-0.9973=

40、 0.0227)=1-0.9973= 0.0227)=1-0.9973= 0.0227 (3) (3) (3) (3) P P P P(-1(-1(-1(-1X X X X 3)= 3)= 3)= 3)= P P P P( ( ( (X X X X 3)-3)-3)-3)-P P P P( ( ( (X X X X -1)-1)-1)-1) = = = = (3)-(3)-(3)-(3)- (-1)(-1)(-1)(-1) = = = = (3(3(3(31-1-1-1- (1)(1)(1)(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 = 0.9987-(1-0.8413)=0

41、.8354 = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) (4) (4) (4) P P P P(|(|(|(|X X X X| | | | 2)= 2)= 2)= 2)= P P P P(-2(-2(-2(-2 X X X X 2) = 2) = 2) = 2) = (2)-(2)-(2)-(2)- (-2)(-2)(-2)(-2) = 2 = 2 = 2 = 2 (2)- 1 =0.9545(2)- 1 =0.9545(2)- 1 =0.9545(2)- 1 =0.9545【例例例例】设设设设X X N N(5(5，3

42、32 2) )，求以下概率，求以下概率，求以下概率，求以下概率 (1) (1) P P( (X X 10) 10) ； (2) (2) P P(2(2X X 1010) ) 解解解解： (1) (1) (2)(2)【例例】一本书排版后一校时出现错误处数一本书排版后一校时出现错误处数X服从服从 正态分布正态分布N（200,400），求：），求： （1）出现错误处数不超过）出现错误处数不超过230的概率；的概率； （2）出现错误处数在）出现错误处数在190210之间的概率。之间的概率。解：解：（1）（2）= 20.6915-1 = 0.383二项分布的正态近似1. 1. 当当当当n n 很大时，二

43、项随机变量很大时，二项随机变量很大时，二项随机变量很大时，二项随机变量X X近似服从正态分近似服从正态分近似服从正态分近似服从正态分 布布布布 N N npnp , , npnp(1-(1-p p) ) （通常是当（通常是当（通常是当（通常是当npnp和和和和nqnq都大于都大于都大于都大于5 5时）时）时）时）2. 2. 对于一个二项随机变量对于一个二项随机变量对于一个二项随机变量对于一个二项随机变量X X，当，当，当，当n n很大时，求很大时，求很大时，求很大时，求 P P( (x x1 1 X X x x2 2) )时可用正态分布近似为时可用正态分布近似为时可用正态分布近似为时可用正态分

44、布近似为【例例例例】100100台机床彼此独立地工作，每台机床的台机床彼此独立地工作，每台机床的台机床彼此独立地工作，每台机床的台机床彼此独立地工作，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的实际工作时间占全部工作时间的实际工作时间占全部工作时间的实际工作时间占全部工作时间的8%8%。求。求。求。求 (1)(1)任一时刻有任一时刻有任一时刻有任一时刻有70708080台机床在工作的概率台机床在工作的概率台机床在工作的概率台机床在工作的概率 (2)(2)任一时刻有任一时刻有任一时刻有任一时刻有8080台以上机床在工作的概率台以上机床在工作的概率台以上机床在工作的概率台以上机床在工作的概率 解：设解：设解：设解：设X X表示表示表示表示100100机床中工作着的机床数，则机床中工作着的机床数，则机床中工作着的机床数，则机床中工作着的机床数，则X X B B(100,0.8)(100,0.8)。现用正态分布近似计算，。现用正态分布近似计算，。现用正态分布近似计算，。现用正态分布近似计算，npnp=80=80，npqnpq=16=16(1)(2)