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1、对称正定矩阵的平方根法对称正定矩阵的平方根法邹昌文邹昌文对称正定矩阵的平方根法 平方根法平方根法 / Choleskis Method /： 对称对称 / symmetric / 正定正定 / positive definite / 矩阵的分解法矩阵的分解法一个矩阵一个矩阵 A = ( aij )n n 称为称为对称阵对称阵，如果，如果 aij = aji 。一个矩阵一个矩阵 A 称为称为正定阵正定阵，如果，如果 对任意非对任意非零向量零向量 都成立。都成立。回顾：回顾：对称正定阵的几个重要性质对称正定阵的几个重要性质 A 1 亦对称正定，且亦对称正定，且 aii 0若不然，则若不然，则存在非
2、零解，即存在非零解，即存在非零解。存在非零解。 对任意对任意 , 存在存在 , 使得使得 ,即即 。 其中其中第第 i 位位 A 的顺序主子阵的顺序主子阵 / leading principal submatrices / Ak 亦对亦对 称正定称正定对称性显然。对任意对称性显然。对任意 有有 , 其中其中 。 A 的特征值的特征值 / eigen value / i 0 设对应特征值设对应特征值 的非零特征向量的非零特征向量为为 ，则，则 。 A 的全部顺序主子式的全部顺序主子式 det ( Ak ) 0因为因为对称正定矩阵的平方根法对称正定矩阵的平方根法对称正定矩阵的平方根法L L的求法的求法对称正定矩阵的平方根法 例一例一对称正定矩阵的平方根法例二例二对称正定矩阵的平方根法
