稳定性模型课件

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1、第六章第六章 稳定性模型稳定性模型一、微分方程稳定性理论简介一、微分方程稳定性理论简介1、一阶微分方程的平衡点及其稳定性、一阶微分方程的平衡点及其稳定性右端不显含自变量右端不显含自变量t ，称为一阶非线性（自称为一阶非线性（自治）方程治）方程设设 有微分方程有微分方程的实根的实根 表示微分方程的表示微分方程的平衡点（平衡点（或奇或奇点点）它也是它也是自治方程的解（奇解）自治方程的解（奇解）代数方程代数方程不求不求x x( (t t), ), 判断判断x x0 0稳定性的方法称为稳定性的方法称为直接法直接法 如果存在某个邻域，使自治方程的解如果存在某个邻域，使自治方程的解x x( (t t) )

2、，从，从这个邻域内的某个这个邻域内的某个x x出发，满足出发，满足称称平衡点平衡点x x0 0是是稳定稳定的（稳定性理论中称渐近稳定），的（稳定性理论中称渐近稳定），否则否则x x0 0是不稳定的（不渐近稳定）是不稳定的（不渐近稳定）上述这种判断上述这种判断x x0 0稳定性的方法称为稳定性的方法称为间接法间接法方程（方程（1）近似为）近似为所谓直接法所谓直接法将方程将方程 中的中的 在在 点作一点作一阶阶TaylorTaylor展开，只取一次项展开，只取一次项（4 4）称为（）称为（1 1）的近似方程，）的近似方程， 也是方程（也是方程（4 4）的平衡点。的平衡点。 两个方程在两个方程在 点

3、点都是稳定的都是稳定的 两个方程在两个方程在 点都是点都是不稳定的不稳定的关于关于 点稳定性有以下的结论点稳定性有以下的结论2、二阶方程的平衡点及其稳定性、二阶方程的平衡点及其稳定性右端不显含右端不显含t t，是，是自治方程自治方程。 二阶方程可以用两个一阶方程表示为二阶方程可以用两个一阶方程表示为（5）代数方程组代数方程组的实根的实根 称为方程（称为方程（5）的平衡点，记作的平衡点，记作 （6） 如果存在某个邻域，使方程（如果存在某个邻域，使方程（5 5）的解，）的解， 从这个邻域内的某点出发，满足从这个邻域内的某点出发，满足 则称则称平衡点平衡点p p0 0是是稳定稳定的（渐近稳定），否则

4、的（渐近稳定），否则p p0 0是不稳定的（不渐近稳定）是不稳定的（不渐近稳定） 系数矩阵记作系数矩阵记作（8） 为了用直接法讨论方程（为了用直接法讨论方程（5 5）的）的平衡点平衡点的的稳稳定定性，先看线性常系数方程性，先看线性常系数方程 为了研究（为了研究（8 8）的唯一平衡点）的唯一平衡点P0P0（0 0，0 0）的）的稳定性，稳定性，假设假设A A 的行列式不等于的行列式不等于0 0。 （0 0，0 0）点的稳定性由（点的稳定性由（8 8）的特征根决定，（）的特征根决定，（8 8）的特）的特征方程为征方程为（9） 方程（方程（8 8）的一般解具有形式）的一般解具有形式 所以当特征根为负

5、数或有负实部时（所以当特征根为负数或有负实部时（0 0，0 0）是稳定平衡点；而当特征根为正数或有正实）是稳定平衡点；而当特征根为正数或有正实部时是不稳定平衡点；特征根不可能是部时是不稳定平衡点；特征根不可能是0 0。 微分方程稳定性理论将平衡点分为微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、结点、焦点、鞍点、中心焦点、鞍点、中心等类型，完全由等类型，完全由特征根或相特征根或相应的应的p , q取值决定（见表）取值决定（见表）稳定结点稳定不稳定结点不稳定鞍点不稳定稳定退化结点稳定不稳定退化结点不稳定稳定焦点稳定不稳定焦点不稳定中心不稳定由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性一览表由特征方程决定的平衡点的

6、类型和稳定性一览表 以上是对线性方程的平衡点（以上是对线性方程的平衡点（0，0）稳定性）稳定性的结论，对于一般的非线性方程（的结论，对于一般的非线性方程（5），可以用近），可以用近似线性方法判断其平衡点似线性方法判断其平衡点 的稳定性的稳定性 。在该点将方程右端作在该点将方程右端作Taylor展开，得近似线性方展开，得近似线性方程程 （10） 系数矩阵记作系数矩阵记作 特征方程系数为特征方程系数为 结论：若方程（结论：若方程（1010）的特征根不为零或实）的特征根不为零或实部不为零，则部不为零，则P0P0点对于方程（点对于方程（5 5）的稳定性与对）的稳定性与对于方程（于方程（1010）的稳定

7、性相同。由）的稳定性相同。由p p ，q q决定决定二、稳定性模型二、稳定性模型 1 1、对象仍是动态过程，而建模目的是研究、对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态平衡状态是否稳定；而不是每个瞬时的性态是否稳定；而不是每个瞬时的性态 2 2、不求解微分方程，而是用微分方程稳、不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性；定性理论研究平衡状态的稳定性；（一）捕鱼业的持续收获模型（一）捕鱼业的持续收获模型 对于象渔业、林业等这样的再生资源，对于象渔业、林业等这样的再生资源，一定要注意适度开发，不能为了一时的高一定要注意适

8、度开发，不能为了一时的高产去产去“竭泽而渔竭泽而渔”，应该在持续稳产的前，应该在持续稳产的前提下追求产量或效益的最优化提下追求产量或效益的最优化1、背景、背景2 2、问题及分析、问题及分析1 1）、在）、在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制的条件下，如何控制捕捞量使产量最大或效益最佳。捕捞量使产量最大或效益最佳。2 2）、如果使捕捞量等于自然增长量，）、如果使捕捞量等于自然增长量，渔渔场鱼量将保持不变场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。r 表示固有增长率表示固有增长率, x(t) 表示表示t 时刻渔场鱼量时刻渔场鱼量N N 表示环境允许的最大鱼量表示环境允许的最大鱼量E E 表

9、示表示捕捞强度，捕捞强度，（即单位时间的捕捞率）（即单位时间的捕捞率）3、符号说明、符号说明4、模型假设、模型假设 1 1）、）、 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 LogisticLogistic规律规律 2 2）、）、单位时间单位时间捕捞量（产量）与渔场捕捞量（产量）与渔场鱼量成正比，即鱼量成正比，即5、模型、模型 捕捞情况下渔场鱼量满足捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解不需要求解x(t)，只需知道只需知道x(t)稳定的条件即可稳定的条件即可稳定性判断，由于稳定性判断，由于x0 稳定稳定, , 可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定, , 渔场干枯渔场干枯 稳定稳定 不稳

10、定不稳定 不稳定不稳定 稳定稳定产量模型（图解法）产量模型（图解法）在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大P P的横坐标的横坐标x x0 0表示表示平平衡点衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P P的纵坐标的纵坐标h h表示表示产量产量f 与与h h交点交点P稳定稳定产量最大产量最大y0y=h(x)=ExxNy=f(x)y=rxPx0hP*y=E*xhmx0*=N/2控制渔场鱼量为最大控制渔场鱼量为最大鱼量的一半鱼量的一半 单位时间利润（单位时间利润（效益模型效益模型）效益模型效益模型 在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的

11、条件下，控制捕捞强度使效控制捕捞强度使效益最大。益最大。假设假设1、 鱼销售价格鱼销售价格p；2、单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c；收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cE稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大 最大利润下的渔场稳定鱼量及单位时间最大利润下的渔场稳定鱼量及单位时间的持续产量的持续产量捕捞过度捕捞过度2 2、盲目捕捞（开放式捕捞）、盲目捕捞（开放式捕捞）只求利润只求利润R(E) 0R(E) 01 1、计划捕捞（、计划捕捞（封闭式捕捞）封闭式捕捞）追求利润追求利润R(E)R(E)最大最大EsS(E)T(E)0rE即即R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强

12、度( (临界强度临界强度) Es=2ER临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量ERE*（二）、（二）、 军备竞赛模型军备竞赛模型1 1、描述双方、描述双方( (国家或国家集团国家或国家集团) )军备竞赛过程军备竞赛过程2 2、解释、解释( (预测预测) )双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局目的目的假设假设 1 1）、由于）、由于相互不信任相互不信任，一方军备越大，一方军备越大，另一方军备增加越快；另一方军备增加越快； 2 2）、由于）、由于经济实力限制经济实力限制，一方军备越大，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；对自己军备增长的制约越大； 3 3）、由于）、由于相互敌视或领土争端相互

13、敌视或领土争端，每一方，每一方都存在增加军备的潜力。都存在增加军备的潜力。 4）、）、1 1）2 2）的作用为线性；）的作用为线性；3 3）的作用）的作用为常数为常数建模建模x(t)表示甲方军备数量表示甲方军备数量， y(t)表示乙方军备数量表示乙方军备数量 , 表示本方经济实力的制约表示本方经济实力的制约； k, l 表示对方表示对方军备数量的刺激军备数量的刺激；g, h 表示表示 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。平衡点平衡点模型：模型：平衡点平衡点( (x0, y0)稳定的条稳定的条件件系数矩阵系数矩阵稳定性判断稳定性判断模型的定性解释模型的定性解释双方军备稳定双方军备稳定( (时

14、间充分长后趋向有限值时间充分长后趋向有限值) )的条件的条件平衡点平衡点模型模型 1 1、 表示双方表示双方经济制约经济制约大于双方大于双方军军备刺激备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。扩张。 , 表示本方经济实力的制约表示本方经济实力的制约； k, l 表示对方表示对方军备数量的刺激军备数量的刺激；g, h 表示表示本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。 2、 若若g=h=0, 则则 x0=y0=0, 在在 kl 下下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到即友好邻国通过裁军可达到永久永久和平和平。 , 表示本方经济实力的制约表示

15、本方经济实力的制约； k, l 表示对方表示对方军备数量的刺激军备数量的刺激；g, h 表示表示本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。 3、若若 g,h 不为零，不为零，即便双方一时和解，使某即便双方一时和解，使某时时x(t), y(t)很小很小，但因，但因 ，也会重整，也会重整军备军备。 , 表示本方经济实力的制约表示本方经济实力的制约； k, l 表示对方表示对方军备数量的刺激军备数量的刺激；g, h 表示表示本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。4、即使某时一方即使某时一方( (由于战败或协议由于战败或协议) )军备大减军备大减, , 如如 x(t)=0， 也会因也会因 使该方重整军

16、备使该方重整军备， 即存在互不信任即存在互不信任( ) 或固有争端或固有争端( ) 的的单方面裁军不会持久。单方面裁军不会持久。 , 表示本方经济实力的制约表示本方经济实力的制约； k, l 表示对方表示对方军备数量的刺激军备数量的刺激；g, h 表示表示本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。（三）（三） 种群的相互竞争种群的相互竞争 1、 一个自然环境中有两个种群生存，它们一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 2、当两个种群为争夺同一食物来源和生存当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，

17、竞争力弱的空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。 3、 建立数学模型描述两个种群相互竞争的建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件过程，分析产生这种结局的条件。模型假设模型假设 1、 有甲乙两个种群，它们独自生存时数有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从量变化均服从Logistic规律规律; 因子因子 反映由于甲对反映由于甲对有限资源的有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用；消耗导致的对它本身增长的阻滞作用； 可解释为相对于可解释为相对于 而言单位数量的甲消耗的而言单位数量的甲消耗的

18、供养的食物量供养的食物量（设食物总量为（设食物总量为1） 2、两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比滞作用与乙的数量成正比; ; 甲对乙有同样的作甲对乙有同样的作用。用。 因子因子 反映由于乙对反映由于乙对有限资源的消耗有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用；导致的对它本身增长的阻滞作用； 可解可解释为相对于释为相对于 而言单位数量的乙消耗的供养而言单位数量的乙消耗的供养的食物量的食物量（设食物总量为（设食物总量为1） 当两种种群在同一自然环境中生存时，考当两种种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产察由于乙消

19、耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子生的影响，可以合理地在因子 中再减中再减去一项，该项与种群乙的数量去一项，该项与种群乙的数量 （相对于（相对于 而言）成正比，于是得到种群而言）成正比，于是得到种群甲甲增长增长 的方程为的方程为其中其中 的意义是：单位数量乙（相对于的意义是：单位数量乙（相对于 而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对（相对 ）消耗的供养甲的食物量的）消耗的供养甲的食物量的 倍倍 当两种种群在同一自然环境中生存时当两种种群在同一自然环境中生存时 ，考察由于甲消耗同一种有限资源对乙的增长考察由于甲消耗同一种有限资源对乙

20、的增长产生的影响，可以合理地在因子产生的影响，可以合理地在因子 中再中再减去一项，该项与种群减去一项，该项与种群甲甲的数量的数量 （相对于（相对于 而言）成正比，于是得到种群乙增长而言）成正比，于是得到种群乙增长 的方程为的方程为其中其中 的意义是：单位数量甲（相对于的意义是：单位数量甲（相对于 而言）消耗的供养乙的食物量为单位数量乙而言）消耗的供养乙的食物量为单位数量乙（相对（相对 ）消耗的供养乙的食物量的）消耗的供养乙的食物量的 倍倍数学模型数学模型仅当仅当 1, 2 1时时，P3才有意义才有意义解得平衡点为：解得平衡点为：平衡点稳定性分析平衡点稳定性分析平衡点平衡点 Pi 稳定的条件稳定

21、的条件： p 0 且且 q 0种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定不稳定平平 衡点衡点 21, 11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11, 21P1稳定的条件稳定的条件 11 ? 11 21, 11, 21从任意点出发从任意点出发(t=0)的相的相轨线都趋向轨线都趋向P2(N2,0) (t)P2(N2,0)是稳定平衡点是稳定平衡点t x1, x2 t x1 , x2 t x1, x2 0两条直线将相平面分为三部分：两条直线将相平面分为三部分： 如图如图2 2(3) 11,

22、 21, 21P1P20t x1, x2 t x1 , x2 t x1 , x2 t x1, x2 两条直线将相平面分为三部分：两条直线将相平面分为三部分： 如图如图4 4有相轨线趋向有相轨线趋向P1有相轨线趋向有相轨线趋向P2P1, P2都不都不( (局部局部) )稳定稳定结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙( (相对于相对于N2)是甲是甲( (相相对于对于N N1 1) )的的 1 倍倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件： 11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到

23、最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件稳定的条件： 11, 21 P3稳定的条件稳定的条件： 11, 21通常通常 1 1/ 2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足（四）（四） 种群的相互依存种群的相互依存甲乙两甲乙两种群的相互依存有三种形式种群的相互依存有三种形式 （1）甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 （2） 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长时相互提供食物、促进增长。 （3） 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时甲乙均不能独自生存；甲乙一

24、起生存时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。模模型型假假设设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从LogisticLogistic规律规律; ; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙不能独自生存；乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞乙的增长又受到本身的阻滞作用作用 ( (服从服从LogisticLogistic规律规律) )。模模型型乙为甲提供食物是乙为甲提供食物是甲消耗的甲消耗的 1 1 倍倍甲为乙提供食物是甲为乙提供食物是乙消耗的

25、乙消耗的 2 2 倍倍种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定平衡点平衡点平衡点平衡点P2稳定性的相轨线稳定性的相轨线0 11, 1 21 P2稳定稳定结果解释结果解释 P2稳定条件稳定条件： 11, 1 21 甲可以独自生存甲可以独自生存乙不能独立生存乙不能独立生存 1 21 条件下使条件下使P2位于相平位于相平面面第一象限第一象限所必须的，当然要求且所必须的，当然要求且 1必须足必须足够小（够小（ 11 表示表示甲必须为乙提供足够的食物维甲必须为乙提供足够的食物维持其生长（甲为乙提供的食

26、物是乙消耗的持其生长（甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 2 倍）倍）（五）（五）种群的弱肉强食种群的弱肉强食( (食饵食饵- -捕食者模型捕食者模型) ) 1 1、种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵靠捕食甲为生，形成食饵捕食者系统，如食捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 2、 模型的历史背景模型的历史背景第一次世界大战期第一次世界大战期间间地中海渔业地中海渔业的捕捞量下降的捕捞量下降( (食用鱼和鲨鱼同时食用鱼和鲨鱼同时捕捞捕捞) )，但是其中鲨鱼的比例却增加，但是其中鲨鱼的比例却增

27、加，为什么？为什么？1、食饵（甲）数量、食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量捕食者（乙）数量 y(t) 2、甲独立生存的、甲独立生存的增长率增长率 r3 3、乙使甲的、乙使甲的增长率减小，减小量增长率减小，减小量与与 y y成正比成正比4、乙独立生存的乙独立生存的死亡率死亡率 d食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra) 方程方程(1),(2) (1),(2) 无解析解，下面分两步对这个模无解析解，下面分两步对这个模型所描述的现象进行分析。型所描述的现象进行分析。首先首先利用数学软件求利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观微分方程的数值解，通过对数值结果和图形

28、的观察，猜测它的解析解的构造；察，猜测它的解析解的构造；其次其次从理论上研究从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，检验前面的猜测其平衡点及相轨线的形状，检验前面的猜测6、a 表示表示捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力7、b 表示表示食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力5、甲使乙的甲使乙的死亡率减小，减小量死亡率减小，减小量与与 x x 成正比成正比tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.5000

29、18.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLABMATLAB求微分方程数值解求微分方程数值解xy 平面上的相轨线平面上的相轨线计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）1、x(t), y(t)是周期函数是周期函数，相图相图(x,y)是封闭曲线是封闭曲线观察，猜测观察，猜测2、x(t), y(t)的周期约为的周期约为9.6（10.6）3、xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.94、用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值一周期的平均值：x(t)的

30、平均值约为的平均值约为25, y(t)的平均值约为的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)Volterra模型的平衡点及其稳定性模型的平衡点及其稳定性平衡点平衡点模型模型稳定性分析稳定性分析P点处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳点处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程（定性的准则研究非线性方程（1）、（）、（2）的平衡点）的平衡点的情况下面用分析相轨线的方法加以讨论。的情况下面用分析相轨线的方法加以讨论。 p =0, q 0 P 临界状态临界状态 q 0 P 不稳定不稳定 平衡点平衡点 消去消去dt用相轨线分析用相轨线分析 点的稳定性

31、点的稳定性c 由初始条件确定由初始条件确定 取指数取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0 在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形（用软件作出，如右图）（用软件作出，如右图）相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设相轨线相轨线退化为平衡点退化为平衡点Pf(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线相轨线yy0xx0P0当当 时时 x1x2pQ1(x1,y0),Q2(x2,y0) 存在存在x1x0x2, 使使f(x1)=f(x2)=pf(x)xx0fm0g(y)gmy0y0yy0xx0P0 x1x2Q1Q2当当 时，令时，令存在存在y1y0y2,使使g(y1)=g(y2)

32、=qP点称为点称为中心中心yy0xx0P0 x1x2Q1Q2Q3(x,y1), Q4(x,y2)相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族由于由于 内的任意点内的任意点 考察考察x1x2pf(x)xx0fm0qy1y2g(y)gmy0y0xQ3Q4y2y1xQ3Q4相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t), y(t)是周期函数是周期函数( (周期记周期记 T)求求x(t), y(t) 在一周期的平均值在一周期的平均值轨线中心轨线中心即平均值正好是相轨中心即平均值正好是相轨中心P P点的坐标。点的坐标。 为确定相轨线的方向，考察相平面上被为确定相轨线的方向，考察相平面上被x x（t t），），y y（

33、t t）两条直线分成的）两条直线分成的4 4个区域内导数的正负号，由个区域内导数的正负号，由此就决定了相轨线是逆时针方向运动的。此就决定了相轨线是逆时针方向运动的。T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的的“相位相位”领先领先 y(t)模型解释模型解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率捕食者数量捕食者数量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比, , 与与a成反比成反比d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力食饵数量食饵数量食饵数量与食饵数量与d d成正比成正比,

34、, 与与b b成反比成反比模型模型解释解释第一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，第一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr- 1, dd+ 1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr- 2, dd+ 2 , 2 1xy食饵食饵( (鱼鱼) )减少，减少，捕食者捕食者( (鲨鱼鲨鱼) )增加增加自然环境自然环境 还表明：对害虫还表明：对害虫( (食饵食饵)益虫益虫( (捕食者捕食者) )系统，系统，使用灭两种虫的杀虫剂使用灭两种虫的杀虫剂, , 会使害虫增加，益虫减少。会使害虫增加，益虫减少。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterr

35、a)的缺点与改的缺点与改进进Volterra模型模型改写改写多数食饵多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡捕食者系统观察不到周期震荡, ,而是趋向某个平衡状态而是趋向某个平衡状态, ,即存在稳定平衡点即存在稳定平衡点加加Logistic项项有有稳定平衡点稳定平衡点 相轨线是封闭曲线，结构不稳定相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改的缺点与改进进r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18相轨线趋向极限环相轨线趋向极限环结构稳定结构稳定 两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱肉强食弱肉强食