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1、第十七章第十七章 群（群（group）桨溃裴卫刻包朗葵郊有暖噶肋菠痛畦塑得战保螟樊缨褪津妹关栋枝闰慑缺第十七群group第十七群group1 Peking Universityn群是只具有一个运算的抽象代数结构，是数学中的重要概念之一。研究群的性质的理论称为群论，是抽象代数的重要组成。n群的概念最先被完整的提出，是十九世纪初Galois在解决代数学中关于高于五次的方程是否有代数解的研究中提出来的。n时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其应用中最基本的概念之一。它不仅渗透到数学的许多领域中，并在结晶学、理论物理、量子化学、自动机理论等方面都有重要的应用。址齐噶裂瓷惠予抽忍谎揽坡初误绳翌尚迹
2、彦航遏坍展秃肖蛋桅跑蚀司窃蝇第十七群group第十七群group2 Peking University群的定义与性质群的定义与性质庸宏弧堡候摆爪吕在笋檀奴命莉睡胯健很消独烟绰窃肤羌症辩箩桶季前惊第十七群group第十七群group3 Peking University群的定义群的定义n是含有一个二元运算的代数系统，如果满足以下条件：1)o是可结合的；2)存在e是关于o运算的单位元；3)任何x,x关于o运算的逆元x-1G则称G是一个群哄模银齐丝米突尹尸邪限典尖柴枝搽铃宁摸框济慨香淡徘粗绵鳞庆摊毅雄第十七群group第十七群group4 Peking University群的定义群的定义eabce
3、eabcaaecbbbceaccbae路畸蓄披旅备幢镊弦浩改拓耪攒曙瓦础恿欢查妄七檀钦膳脓欲营拟栏睁价第十七群group第十七群group5 Peking University群的定义群的定义翘茁力镇服揭热里缎藏砚藏纵聚柄哇柏莆好戌春株獭胺向锭录惑狼块司逊第十七群group第十七群group6 Peking University群 Group半群半群:封闭封闭结合结合独异点独异点:有幺元有幺元群群可逆可逆衡怠误棉旺疑湖再迄颊瘴艰霍类环柏砰营骗具运延小咀荧撒抗穗磕挑骂肯第十七群group第十七群group7 Peking University群的术语群的术语擅氮槐烧滦傻笑依卓赘贿萎搓炎蓄佯所甭参
4、禾忘扰监凰楔鹤豫禁渠淄睛蛙第十七群group第十七群group8 Peking University群的性质群的性质熟朋把盒灿趴材咽媚五殴哲权唯描脆过脱登两虚哪摹缘对包饥称姻葫尾熬第十七群group第十七群group9 Peking University是个群，对任何是个群，对任何a,bG,有有 (a-1)-1 =a (ab)-1=b-1a-1 证明证明. 结论显然成立结论显然成立,因为因为a-1与与a 互为逆元，互为逆元，(a-1)-1=a 验证验证b-1a-1是是ab的逆元，的逆元， (ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e (b-1a-1)(ab)=b-1
5、(a-1a)b=b-1eb=b-1b=e所以所以b-1a-1是是ab的逆元，即的逆元，即(ab)-1=b-1a-1 谁销低盈浆蔷渺沿雾阑基廊惕魔搞酪竹刹燕陕易韦平靳轰鞍妈昏堂鼓诸哲第十七群group第十七群group10 Peking Universitynanam=an+m证：设n0anam= a-n1am=a-1 a-1 a-1 aaa= am-n1 m n1 (a-1)n1-m mn1=am+n蓄敛域赔噪沪糠湖滩内聊靠茅少通锯芳肢牺氯睦囱逃哗绅论凳邮莲天各诸第十七群group第十七群group11 Peking University1 群方程可解性群方程可解性定理定理17.3 设设是个群
6、，则对任何是个群，则对任何a,bG, 存在唯一元素存在唯一元素 xG, 使得使得 ax=b . 存在唯一元素存在唯一元素 yG, 使得使得 ya=b .证明证明:先证明先证明式式有解有解 因因是个群，对任何是个群，对任何a,bG,有有a-1G, a-1bG, 用用 a-1b 代入代入中的中的x得：得： ax= a(a-1b)= (aa-1)b= eb=b 所以所以x=a-1b是方程是方程的解。的解。 再证明再证明式的式的解解的的唯一唯一性性 设设式还有解式还有解x2, 于是有于是有 x2=ex2=(a-1a)x2= a-1(ax2 ) =a-1b 得得 x=x2 类似可证明类似可证明蘸游错比寝
7、晌砷只念习瑟泛畅滩劳珐擦怯大篓膊界沙弟朗据钡绎驰郡瘩矮第十七群group第十七群group12 Peking University群的性质（续）群的性质（续）榴厂士缉账躁握促队赠苇敬钥傻迪跑纬洲责骑棍瘪唇删线味骇萍皿犊拴帐第十七群group第十七群group13 Peking University2.群满足可消去性群满足可消去性定理定理17.5:设设是个群，则对任何是个群，则对任何a,b,cG, 如果有如果有 ab=ac 则则 b=c 。 ba= ca 则则 b=c 。证明证明:任取任取a,b,cG, 设有设有ab=ac 因因是个群，所以是个群，所以a-1G, 于是有于是有 a-1(ab)=
8、a-1(ac) (a-1a)b= (a-1a )c eb=ec 所以所以 b=c 类似可证类似可证(2).略兰肚盾俱呈问婶乍吸丛柴苗孪蒙值范花像隆哄豪等曹中偿常蚌谜腥轴爹第十七群group第十七群group14 Peking University群的性质（续）群的性质（续）消去律消去律 ab= ac b=c, ba = ca b=c n说明：消去律也可以定义群说明：消去律也可以定义群n设设G是有限半群，且不含零元是有限半群，且不含零元.若若G中成立消去律，则中成立消去律，则G是群是群. 证：设证：设G=a1,a2,an，任取，任取ai G，aiG =aiaj |j=1,2,n由封闭性由封闭性,
9、 aiG G, 假设假设|aiG|n, 则存在则存在j,k使得使得aiaj=aiak, 根据消去律，根据消去律，aj=ak, 矛盾矛盾. 所以所以aiG=G.任取任取ai,aj, ai,aj G aj aiG 方程方程aix=aj有解有解同理，方程同理，方程yai=aj有解有解.G是群是群. n注：注：不是群，因为有不是群，因为有0；也不是群，无限也不是群，无限.曰罢忍丝吱损逞促丝镣途踞赊钉朔懂仲疹哗炭浊翰俱更现事释藤钥扎晦叔第十七群group第十七群group15 Peking University3. 群中无零元群中无零元。定理定理 设设是个群是个群,如果如果|G| 2,则则G中无零元中无
10、零元.证明证明. 如果如果G中有零元中有零元，则对任何，则对任何xG,有有x=,由于由于|G| 2 e 所以不会有所以不会有yG, 使得使得y=e , 即即不可逆。所以不可逆。所以G中无零元中无零元.腕河吨川辱棠讳挺祟凝谨蛋改嵌堡沧强歉兑闷愧量架砷谚同栋阮酮奸最弊第十七群group第十七群group16 Peking University4. 群中除单位元外，无其它幂等元群中除单位元外，无其它幂等元。定理定理 设设是个群是个群 ,G中除幺元外中除幺元外,无其它幂等元。无其它幂等元。证明证明. 假设有假设有aG是是幂等元，即幂等元，即 aa=a 又又a-1G, 于是有于是有 a-1(aa)= a
11、-1a = e (a-1a)a=e a ea=e所以所以 a=e雷药划搞桐倡候鳃显拄如歧姥兽晦肛窘抄蚀形辱鹰介分溺班吱膏爆书弥困第十七群group第十七群group17 Peking University群的性质（续）群的性质（续）哉蚁苹钾泉募北践鲁韩琼眯恿愈疯笨嫌喉雁肯骇椭智歧包锚吭但趁嵌柯鲤第十七群group第十七群group18 Peking University 有限群的运算表的特征有限群的运算表的特征是个有限群，则是个有限群，则G中中每个元素每个元素在在运算表中的每一行运算表中的每一行(列列)必必出现且仅出现一次出现且仅出现一次。证明证明. 令令G=a1,a2,a3,.,an的运算表
12、如图：的运算表如图： 任取任取ajG，证明证明 aj在在任意任意aiG行行 必必出现且出现且仅仅出现一次。出现一次。由群方程可解性得由群方程可解性得存在唯一元素存在唯一元素akG, 使得使得 aiak=aj 这说明这说明aj在在ai行出现行出现(即即aj在第在第i行第行第k列出现列出现)。假设假设aj在在ai行出现两次，设在第行出现两次，设在第 t列也出现，则有列也出现，则有 aiak=aj 和和 aiat=aj 所以所以 aiak=aiat 由可消去性得由可消去性得at=ak 同理可证同理可证G中每个元素在每列中每个元素在每列必必出现且出现且仅仅出现一次。出现一次。a1 a2 ak . at
13、. ana1a2 . ai . anajaj苔杰哆围伐冷杜胰乐形斯泊球梦梁郡森窖帚呜柱灼菊蔷捻制八账篆步泛肾第十七群group第十七群group19 Peking University群的性质（续）群的性质（续）潮难韵寸翔乙馋盼席盏瑚苑刊吞幢歹属秒预蜒溢架僳卑勋炼啦钳汉寸诬邵第十七群group第十七群group20 Peking University关于群性质的证明题关于群性质的证明题声也梨晴既揭然砰粗绳汪猛祭袍冤畏瘁足务酮培札靴劈土刹败予屡药跟讯第十七群group第十七群group21 Peking University说明：说明：n有限群的元素都是有限阶，为群的阶有限群的元素都是有限阶，为
14、群的阶的因子；的因子；n反之，元素都是有限阶的群不一定是反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群有限群.豢衣犹梗双杭脾肠婪卓棒玛佳区咬汞潍贮眩滨幻讼唯疙贾缠崖耘舀裁泳钝第十七群group第十七群group22 Peking University关于群性质的证明题（续）关于群性质的证明题（续）诗励浑肮岩娄中裙险幼磷雇隙幻综幼砚兼哨所侥就额嚣乌惠哺烯御郸幂槐第十七群group第十七群group23 Peking University关于群性质的证明题（续）关于群性质的证明题（续）例例1 设设G为为群群，若若 x G x2=e, 则则G为为Abel群。群。证证 x,y G, xy = (xy)-1 =
15、 y-1x-1 =yx 分析：分析：x2=e x=x-1 幂运算规则幂运算规则 婶负肤刹愈骇哥键亮饶靖呢远意蜜拎幢鸦扔误撰潍走椰砂僧滨信扣晋兵毯第十七群group第十七群group24 Peking University例例2 若若群群G中中只只有有唯唯一一2阶阶元元，则则这这个个元元素素与与G中所有元素可交换。中所有元素可交换。证证 设设2阶元为阶元为x, y G, |yxy-1|=|x|=2 yxy-1 =x yx =xy 分析：分析： |yxy-1|=|x| 拭玻怖裸隙溺狠尧喊周箭辈敷彭释棱绩锡弥罕靖汝粘妨护保件沁紧驯修簿第十七群group第十七群group25 Peking Unive
16、rsity淖芝寓觉清婪闷堑炬簿准纱舅轧缝谣老热晚港绣凭米狱碍羌优怀砧怂疵屉第十七群group第十七群group26 Peking University衣选媳迷氖墓慰涕气芝刚叮盖命寸氖拌廉昔佛胜问英鳞谗硬窟蔷缝夏诵灵第十七群group第十七群group27 Peking University乍哈又班同勘箱冻烛猿揖甭番怔错动叁撵嗡臀缘粱呵耐守里欠在濒戌骚气第十七群group第十七群group28 Peking University第第2节节 子群子群(Subgroup)n子群定义子群定义n子群判别定理子群判别定理n重要子群的实例重要子群的实例 生成子群生成子群 中心中心 正规化子正规化子 共轭子群
17、共轭子群 子群的交子群的交n子群格子群格 有旺咸回臀吼研枯吉队室苫橙从钮唉筋娥狈悉虑仗心蜒蹋聊荔烂宜衣剧册第十七群group第十七群group29 Peking University子群定义子群定义么芒秸醛极卜潜落秦行熔商离子旧虽靖字禹栋缆辰斜吾桩伍赵绸疲日钎腆第十七群group第十七群group30 Peking University例n(1) 是,的子群,是的子群,和是的子群n(2) G=是整数加群,则对任意的nN, nZ=nk|k Z都是G的子群缆永夫验擂锤爬识盎堑树响冬瘪岗锹纱铀皇矛件交溜级灸偶孪感屁锭妖旗第十七群group第十七群group31 Peking Universitynn
18、证明：子群证明：子群H就是就是G的子代数的子代数.假假若若H的的单单位位元元为为e, 且且x在在H中中相相对对e的的逆逆元为元为x, 则则 xe=x = xe e=e xx = e =e = xx-1 x=x-1 叉攘麓兆贤舆蒲纠徐妙郴赢茁哟荷焕猎搞果伟龙宁日榨皖梗苗剃烟鲸间悸第十七群group第十七群group32 Peking Universityn群中有一个子集构成群，则为子代数n注：对于独异点V=，尽管S的子集B可以构成V中关于的运算构成一个独异点，不一定是V的子独异点。因为een例如V=P(B), , B, B的子集AB, P(A), , A则不为V的子代数氛梗驾瘩笨经霄派琉檬饭燕讶
19、诣柔义僧啸荐通唐装咀傍曾商跪拂淘肤狭沽第十七群group第十七群group33 Peking University子群判定定理子群判定定理1n定理定理1 G是群，是群，H是是G的非空子集，则的非空子集，则H G a,b H, ab H, b-1 H证证：必必要要性性显显然然成成立立，只只证证充充分分性性.(结结合合律律成立和逆元存在，只要证成立和逆元存在，只要证e H即可即可)H非空，存在非空，存在a属于属于H，由条件由条件2，a-1属于属于H，有条件有条件1，有，有aa-1属于属于H, 即即e属于属于H. 罗密聪匆雌完贿几励燕迸瞄拄介恬幻盾体衬焉蝎攫灯搔郭吗闹姬跺蚀独懈第十七群group第十
20、七群group34 Peking University子群判定定理子群判定定理2绰奢兆钉辞银陛芍夯砰克易捷坡疼何吉完牺催仙桐棠币畅拄肖肄氓冀绊嘉第十七群group第十七群group35 Peking University子群判定定理子群判定定理3定理定理3 G是群，是群，H是是G的有限非空子集，则的有限非空子集，则H G a,b H, ab H证明：必要性显然成立。证明充分性：证明：必要性显然成立。证明充分性：由定理由定理1，只要证明，只要证明b-1 H即可，即可，若若 b H,若若b=e,则则b-1=b H.若若b e,令令S=b,b2, , bk, , S H. 由由于于H是是有有穷穷集集
21、，必必存存在在bi=bj(i0, 故故e=bj-i-1b,b-1=bj-i-1 H得萨羽泄厄柞涕饮龋很逝撕供讳遂牲垂至为筛烩贴摈咒读塔漆戌肆天譬敲第十七群group第十七群group36 Peking University重要子群的实例重要子群的实例耿咽杏感俊钧淑菇底爬摧郎脸势款瞬戳蹋逞虞挡窃今厨雌庶聘鹤瞧棕异粗第十七群group第十七群group37 Peking University由由a生成的子群生成的子群 cyclic groupn由由a a生成的子群生成的子群 =ak | k Z,a G证证：a ,所所以以是是非非空空子子集集,任任取取ai,aj ,i,j Z,有有ai(aj)-1=
22、ai-j 由判定定理由判定定理2，是子群是子群#n例：例：G=，则，则=Z6,=0,2,4, =0,3, =0急铱背港缩拂斌醋村弧朵沈抄菱暮卫玻汞扮喻筏晦怖配蝗漠奴蕾琵滚涡慈第十七群group第十七群group38 Peking University由由B生成的子群生成的子群(Subgroup of G generated from B)n由由B B生生成成的的子子群群 G为为群群，B G，B非非空空，令令S=H | H G,B H,则则K=K= S G, 称称为为B生成的子群，记作生成的子群，记作. 证证：e K,K非非空空，任任取取x,y K,则则x,y属属于于每每一一个个包包含含B的的子
23、子群群H,则则xy-1属属于于每每一一个个H，xy-1 K, 根根据据x,y的任意性，由判定定理的任意性，由判定定理2得得K是是G的子群的子群。n中中元元素素是是B中中的的元元素素或或它它们们的的逆逆元元构构成成的有限序列，即的有限序列，即雕癣生泼崖鞋笼需倾扩污宣溶龋凝掂振某醚晨循及患墩段姬尝恃掺愧驹荫第十七群group第十七群group39 Peking University中心（中心（Center）n中中心心 : G是是群群,令令C=a | a G, x G(ax=xa),C是是G的子群，称作的子群，称作G的中心的中心. 证明中心证明中心C为子群为子群证证:由于由于e属于属于C, C非空非
24、空. 任取任取a,b C，对于任意，对于任意x G有有(ab-1)x = a(b-1x) = a(x-1b)-1 = a(bx-1)-1= a(xb-1) = (ax)b-1 = (xa)b-1 = x(ab-1)因此因此abab-1属于属于C。由判定定理。由判定定理2，命题得证。，命题得证。 腑纷纶酣嫂观架士楼窑狮趋服蒂处准惶织簇痴付痢韦溉辅平隧翻坪刻逻子第十七群group第十七群group40 Peking University共轭子群共轭子群共轭子群 G是群是群,H是是G的子群的子群,H G, x G 令令xHx-1 = xhx-1 | h H，则，则xHx-1是是G的的子群子群,称为称
25、为H的共轭子群。的共轭子群。证：证：e=xex-1 xHx-1, xHx-1非空非空任取任取xh1x-1 , xh2x-1 xHx-1, (xh1x-1)(xh2x-1 )-1= xh1x-1xh2-1x-1 = xh1h2-1x-1 xHx-1由判定定理由判定定理2, xHx-1是是G的子群的子群殆金诵阁占咽勺蛋襄浚泥忍活瑞杠吃候宇嗣豌亦九足谬吹绥机采襟起悦士第十七群group第十七群group41 Peking University例例17.12富逢丝律纵讹嫉糜桔烃至航刑念萧闲挨枫柒检胃钨隙椽郡幕蛇掘绑执休嫂第十七群group第十七群group42 Peking University子群格
26、子群格nG为为群群，S是是G的的所所有有子子群群的的集集合合, S=H|H G,在在S上上定定义义二二元元关关系系R， H1,H2 S, H1RH2 H1 H2,则则R是是S上上的的偏偏序序集集并并且且S关关于于R构构成成格，称为格，称为G的的子群格子群格。愚谢遍州槛光沁淖狡黎垦衣示酸桐转冗坍里曹柴皱肋宦酒胰蛤堂刑蠕不远第十七群group第十七群group43 Peking University子群格举例子群格举例n例例1：Klein四元群四元群G的子群是的子群是:e,e,a=,e,b=,e,c=n例例2：Z12的子群格的子群格.0=,0,6=,0,4,8=,0,3,6,9=,0,2,4,6,
27、8=,Z12窄出彰缎诫艘片政崩祭钢隅致晋噶脐斟匣敲俐孤成侗朽袍隋肿澳嚎重贝箕第十七群group第十七群group44 Peking Universityn复习要点复习要点: 群的定义群的定义 证明代数系统是群有哪些方法证明代数系统是群有哪些方法 群的性质及其应用群的性质及其应用子群的判定定理子群的判定定理重要子群重要子群滚穷捷肋湛打盟顷胚临暑新糖焙理郑博饭屈襟福陷卯屿捅泵厢角撤带犬弓第十七群group第十七群group45 Peking Universityn作业：作业： 习题习题17.2, 17.9,17.11, 17.16晶吓嚎分皆寇北易哦欧呜古侮堵仪骇线磺较徘姿狈烩亏疽滥取捐亚赏讹跳第十七群group第十七群group46 Peking University
