《非线性元法几何非线性课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性元法几何非线性课件（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章第六章 非线性有限元法（几何非线性）非线性有限元法（几何非线性） 第1页，共19页。1、变形体的运动描述x3x1x2P0t0=0tn+1=tn+tn tn PnPn+1A0An+1 An 变形体上的质点的运动状态可变形体上的质点的运动状态可以随不同的坐标选取以下几种描述以随不同的坐标选取以下几种描述方法：方法：1 1、全拉格朗日列式法全拉格朗日列式法（T.LT.L列式法列式法Total Lagrangian Formulation)Total Lagrangian Formulation)： 选取选取t t0 0=0=0时刻未变形物体的构时刻未变形物体的构形形A A0 0作为参照构形进行
2、分析。作为参照构形进行分析。2 2、修正拉格朗日列式法修正拉格朗日列式法（U.LU.L列式法列式法Updated Lagrangian FormulationUpdated Lagrangian Formulation）： 选取选取t tn n时刻的物体构形时刻的物体构形A An n作为参照构形。由于作为参照构形。由于A An n随计算而变化，因此其构形随计算而变化，因此其构形和坐标值也是变化的，即与和坐标值也是变化的，即与t t有关。有关。t tn n为非线性增量求解时增量步的开始时刻。为非线性增量求解时增量步的开始时刻。3 3、欧拉描述法欧拉描述法(Eulerian Formulation
3、)(Eulerian Formulation)： 独立变量是质点当前时刻的位置独立变量是质点当前时刻的位置x xn+1n+1与时间与时间t tn+1n+1。 几何非线性的有限元方程一几何非线性的有限元方程一般采用般采用T.LT.L或或U.LU.L列式法建立！列式法建立！第2页，共19页。、变形梯度张量x3x1x2P PP初始初始/未未变形形 变形后形后 位移位移u x xx1 1、首先采用、首先采用LagrangianLagrangian方法，将方法，将一个物体的加载过程划分为一系列平一个物体的加载过程划分为一系列平衡状态。衡状态。位移方程位移方程 初始状态与变形后状态之间初始状态与变形后状态
4、之间坐标关系为：坐标关系为：2 2、然后，考虑材料方向矢量，这个矢量描述、然后，考虑材料方向矢量，这个矢量描述物体内一段无限小的单元。物体内一段无限小的单元。x3x1x2式中，式中，F Fijij称为变形梯度张量。称为变形梯度张量。初始状态与变形后状态之间材料方向矢量的关初始状态与变形后状态之间材料方向矢量的关系：系：第3页，共19页。、变形梯度张量由位移方程，得：由位移方程，得：由二阶张量特性，变形梯度张量的由二阶张量特性，变形梯度张量的三个不变量为：三个不变量为： 由于由于F Fijij表示从初始状态到变表示从初始状态到变形后状态的一个映射，其逆映射形后状态的一个映射，其逆映射Fij-1一
5、定存在，即：一定存在，即：或写为：或写为：体积映射体积映射: :面积映射：面积映射：变形前面积变形前面积dA dA Ni (初始面初始面积法向矢量法向矢量)变形后面形后面积dAni(变形后面形后面积法向矢量法向矢量)映射映射Fij逆映射逆映射F-1ijF Fijij是一个二阶张量。是一个二阶张量。第4页，共19页。、应变与变形测度 由于变形梯度张量由于变形梯度张量F Fijij中包含了刚体运动，因此不能直接用于定中包含了刚体运动，因此不能直接用于定义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动，因此它的平方值可以作义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动，因此它的平方值可以作为衡量从某一状态到变
6、形后状态的一个测度，定义为：为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度，定义为：初始状态初始状态: : 一个应变测度应该能反映出材料一段长度发一个应变测度应该能反映出材料一段长度发生的改变。因此，应变张量可以由下式定义：生的改变。因此，应变张量可以由下式定义： x3x1x2变形后状态：变形后状态：提醒：提醒：由于由于GreenGreen应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状 态，因此该应变张量也应在初始状态下计算。态，因此该应变张量也应在初始状态下计算。第5页，共19页。、应变与变形测度、AlmanshiAlmanshi应变张量应变张量1 1、Gree
7、n Green 应变张量应变张量GreenGreen应变张量采用应变张量采用LagrangianLagrangian运动描运动描述方法，即按初始状态下的构形定义应述方法，即按初始状态下的构形定义应变张量。变张量。式中，式中，e eijij称为称为GreenGreen应变张量应变张量或或Green-Green-LagrangianLagrangian应变张量应变张量。AlmanshiAlmanshi应变张量采用应变张量采用EularEular运动描运动描述方法，即按当前状态下的构形定述方法，即按当前状态下的构形定义应变张量。义应变张量。式中，式中，E Eijij称为称为AlmanshiAlman
8、shi应变张量应变张量或或Almanshi EularAlmanshi Eular应变张量应变张量。由于大变形问题有由于大变形问题有限元方程主要采用限元方程主要采用T.LT.L列式法列式法或或U.LU.L列式法列式法建立，建立，因此应在初始状态下定义因此应在初始状态下定义应变张量，即采用应变张量，即采用GreenGreen应变张量。应变张量。可以证明可以证明GreenGreen应变张量和应变张量和AlmanshiAlmanshi应变张量都是二阶对称张量。应变张量都是二阶对称张量。第6页，共19页。、应变与变形测度2 2、Green LagrangianGreen Lagrangian应变张量应
9、变张量e eijij与小应变张量与小应变张量ijij的关系的关系 将变形梯度张量表达式代入到将变形梯度张量表达式代入到GreenGreen应变张量公式中，得：应变张量公式中，得：式中：式中： 为小为小变形应变张量；变形应变张量；2 2、GreenGreen变形张量也可写为：变形张量也可写为：为非线性二次项为非线性二次项1 1、GreenGreen应变张量应变张量为小应变张量与一个非线性二为小应变张量与一个非线性二次项之和，这意味所有大变形次项之和，这意味所有大变形分析都是非线性的。分析都是非线性的。式中，式中，C Cijij是是CauchyCauchy变形张量变形张量由于由于CauchyCau
10、chy变形张量是正定对称变形张量是正定对称阵，因此该张量有三个实特征值；阵，因此该张量有三个实特征值；这些特征值的平方根记为材料的这些特征值的平方根记为材料的主轴拉伸。主轴拉伸。第7页，共19页。、大变形的应力测度1 1、柯西应力张量、柯西应力张量(Cauchys stress (Cauchys stress tensor)tensor) 取三维空间笛卡儿坐标系，在取三维空间笛卡儿坐标系，在t t时刻时刻的现时构形中截取一个四面体素，斜面的法的现时构形中截取一个四面体素，斜面的法线为线为n n，另外三个面元与所取坐标面平行。由四，另外三个面元与所取坐标面平行。由四面体素的平衡条件得出其上的应力
11、为：面体素的平衡条件得出其上的应力为：这里这里ij=ji便是便是柯西应力张量柯西应力张量，它是二阶对称张量。，它是二阶对称张量。、柯西、柯西(Cauchy)(Cauchy)应力张量是一种采用欧拉描述法应力张量是一种采用欧拉描述法( (是以质点的瞬时坐标是以质点的瞬时坐标x xk k和时间和时间t t作为自变量描述作为自变量描述) )定义在定义在t t时刻的现时构形上的应力张量时刻的现时构形上的应力张量ijij，又，又称称欧拉应力张量欧拉应力张量。、在大变形、在大变形( (有限变形有限变形) )情况下，由于变形前的初始构形和变形后的现时构情况下，由于变形前的初始构形和变形后的现时构形差别较大，柯
12、西形差别较大，柯西(Cauchy)(Cauchy)应力张量难于适应。应力张量难于适应。柯西应力是定义在现时构柯西应力是定义在现时构形（变形后状态下）的单形（变形后状态下）的单位面积上的力，是与变形位面积上的力，是与变形相关的真实应力。相关的真实应力。第8页，共19页。3、大变形的应力测度2 2、一阶、一阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量应力张量 一阶一阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量的定义是建立在总力相等应力张量的定义是建立在总力相等的基础上。即：在参考状态下该应力张量能给出与变形后状的基础上。即：在参考状态下该应力张量能给出与
13、变形后状态下柯西应力张量相同的力。态下柯西应力张量相同的力。变形后状态下：变形后状态下：称为一阶称为一阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量应力张量或或名义应力名义应力参考后状态下：参考后状态下：变形前面积变形前面积dA dA Ni (参考面参考面积法向矢量法向矢量)变形后面形后面积dAni(变形后面形后面积法向矢量法向矢量)将面积映射关系：将面积映射关系： 代入上式，得：代入上式，得：同样，柯西应力张量也可以由一阶同样，柯西应力张量也可以由一阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量表示：应力张量表示：从从该式可以看出，一式可以看出，一阶P
14、iola-Kirchoff应力力张量量提供了以参考状提供了以参考状态表示表示实际力的形式。但是，力的形式。但是，直接直接应用一用一阶Piola-Kirchoff应力力张量量可能存在以下可能存在以下两个困两个困难：1、从能量角度上，、从能量角度上，Tij不适合与不适合与Green应变张量共量共同使用。因同使用。因为Tij乘以乘以Green应变张量不会量不会产生与生与Cauchy应力力张量与小量与小应变张量相同的能量密度。量相同的能量密度。2、Tij不不对称，因而称，因而较难应用到有限元分析中。用到有限元分析中。第9页，共19页。、大变形的应力测度3 3、二阶、二阶Piola-KirchoffPi
15、ola-Kirchoff应力张量应力张量 如不采用变形后状态如不采用变形后状态dPdP推导应力张量，而推导应力张量，而是将作用在变形后状态下的是将作用在变形后状态下的dPdP映射到未变形映射到未变形状态上（映射是采用逆变形梯度张量），即：状态上（映射是采用逆变形梯度张量），即：这样可以定义另一个应力张量这样可以定义另一个应力张量S S，它给出了，它给出了未变形状态下作用在未变形面积上的总力：未变形状态下作用在未变形面积上的总力：现在，变换柯西应力张量，使：现在，变换柯西应力张量，使：将面积映射关系将面积映射关系 代入上式：代入上式：( 1 ( 1 ) )( 2 ( 2 ) )( 3 ( 3 )
16、 )( 4 ( 4 ) )对比对比(2)(2)、(4)(4)式可得：式可得：S Sijij称为称为二阶二阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力应力张量张量或或伪应力伪应力同样，由上式可得：同样，由上式可得：二二阶Piola-Kirchoff应力力张量量Sij的性的性质：1.Sij是是对称称阵；2.2. Sij在能量角度下与在能量角度下与Green应变张量量协调，即：，即：该表达式的表达式的优点在于等式右点在于等式右边是是在参考状在参考状态下下计算的。算的。3.Sij与与Tij有以下关系：有以下关系：二阶二阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量
17、应力张量的的物理意义是明确的：真实的力元物理意义是明确的：真实的力元可以看成是由可以看成是由S Sijij定义的力元经与定义的力元经与变形相同的方式被变形相同的方式被“拉长和转动拉长和转动”后得到的。后得到的。第10页，共19页。、大变形的应力测度4 4、三个应力张量的比较、三个应力张量的比较张量量作用力作用力作用面作用面积柯西应力张量柯西应力张量ij ij 变形后状态下的力变形后状态下的力 变形后状态下变形后状态下的面积的面积一一阶P-K应力力张量量变形后状形后状态下的力未下的力未变形状形状态下的面下的面积二二阶P-K应力力张量未量未变形状形状态下的力未下的力未变形状形状态下的面下的面积因此
18、，因此，虽然二然二阶P-K应力力张量有其量有其应用上的用上的优点，但其本身的物理意点，但其本身的物理意义很很难理解。它主要是起到求解大理解。它主要是起到求解大变形形问题的的桥梁作用，通梁作用，通过它它计算出柯西算出柯西应力力张量。量。第11页，共19页。、几何非线性有限元方程的建立如前所述，几何非线性的有限元方程一般采用如前所述，几何非线性的有限元方程一般采用T.LT.L或或U.LU.L列式法建立：列式法建立：1 1、全拉格朗日列式法全拉格朗日列式法（T.LT.L列式法列式法) )： 选取选取t t0 0=0=0时刻未变形物体的构形时刻未变形物体的构形A A0 0作为参照构形进行分析。作为参照
19、构形进行分析。2 2、修正拉格朗日列式法（修正拉格朗日列式法（U.LU.L列式法）列式法）： 选取选取t tn n时刻的物体构形时刻的物体构形A An n作为参照构形。由于作为参照构形。由于A An n随计算而变化，因此其随计算而变化，因此其构形和坐标值也是变化的，即与构形和坐标值也是变化的，即与t t有关。有关。t tn n为非线性增量求解时增量步的开始时为非线性增量求解时增量步的开始时刻。即增量分析。刻。即增量分析。x3x1x2P0t0=0tn+1=tn+tn tn PnPn+1A0An+1 An 图示物体同时作用有体积力图示物体同时作用有体积力fib和面力和面力fiS，在时刻，在时刻t
20、tn+1n+1=t=tn n+ +t tn n的平衡方程可的平衡方程可以按虚功原理建立：以按虚功原理建立：提醒：提醒：该方程此时不可解，因为应力和该方程此时不可解，因为应力和应变在变形后状态下表示未知。应变在变形后状态下表示未知。第12页，共19页。、几何非线性有限元方程的建立2 2、在外力作用点和方向都不改变的条、在外力作用点和方向都不改变的条件下，也可以将体积力件下，也可以将体积力fib和面力和面力fiS定义定义到初始状态下：到初始状态下：提醒：提醒：上式给出的虚功方程是从上式给出的虚功方程是从变形后状态下变形后状态下的虚功方程转换而来，的虚功方程转换而来，因此是准确的，但是已经完全定义在
21、初始状态下了。因此是准确的，但是已经完全定义在初始状态下了。 为了求解，需将以上变形后状态下表示的虚功方程转换到初始状为了求解，需将以上变形后状态下表示的虚功方程转换到初始状态下表达。态下表达。1 1、采用二阶、采用二阶PiolaPiola应力张量和应力张量和GreenGreen应变张量将虚应变能转换到初始应变张量将虚应变能转换到初始状态下表示：状态下表示：将以上关系代入到虚功方程中：将以上关系代入到虚功方程中： 得：得：( a ( a ) )第13页，共19页。、几何非线性有限元方程的建立表示表示该张量量对应的的时刻：刻：1代表初始状代表初始状态时刻，刻，2为变形后状形后状态时刻；刻；如如该
22、标识缺省，缺省，则表示从初始状表示从初始状态变化到化到变形后状形后状态该张量的增量的增量。量。代表定代表定义该张量所量所对应的构形：的构形：1为初始初始状状态构形，构形，2为变形后状形后状态构形；如构形；如该标识缺省，缺省，则为初始状初始状态构形。构形。 在利用增量法（在利用增量法（修正拉格朗日列式法）修正拉格朗日列式法）求解时，为了分析的方便，在求解时，为了分析的方便，在张量符号的左侧引入上下标，分别该张量对应时刻以及定义该张量的构形：张量符号的左侧引入上下标，分别该张量对应时刻以及定义该张量的构形：当引入以上表示后，当引入以上表示后， 按按t t1 1+ +t t时刻构形建立的虚功方程可以
23、写为：时刻构形建立的虚功方程可以写为：或写为：或写为：式中，式中， 表示外力所表示外力所做的虚功。做的虚功。第14页，共19页。、几何非线性有限元方程的建立引入此前引入此前GreenGreen应变张量表达式，可得：应变张量表达式，可得：再将变形后状态下再将变形后状态下KirchoffKirchoff应力张量表示为未变形状应力张量表示为未变形状态的态的KirchoffKirchoff应力张量加上一个应力增量：应力张量加上一个应力增量：( a ( a ) )( b )( b )注意，式注意，式 ( b )中中为作用在未作用在未变形构形上并以未形构形上并以未变形状形状态下下表示的表示的Kirchof
24、f应力力张量，量，实际上就是柯西上就是柯西应力力张量：量：。虚功方程：虚功方程：( c ( c ) )第15页，共19页。、几何非线性有限元方程的建立为为t tn n时刻初始构形上时刻初始构形上外力所做虚功。外力所做虚功。将以上将以上 ( a )( a )、( c )( c )两式代入到虚功方程中，可得：两式代入到虚功方程中，可得：即变形后状态下的虚功方程为：即变形后状态下的虚功方程为：式中：式中：为为t tn n+ +t t时刻初始构形上外力所做的虚功。时刻初始构形上外力所做的虚功。这里，虚功方程中由于包含了非线性二次这里，虚功方程中由于包含了非线性二次项，因此方程是非线性方程。这个方程还项
25、，因此方程是非线性方程。这个方程还不能直接求解。为了求解这个方程，需要不能直接求解。为了求解这个方程，需要将方程线性化。将方程线性化。第16页，共19页。6、非线性平衡增量方程的线性化 通常，可以假定应变增量和应力增量通常，可以假定应变增量和应力增量之间以下线性本构关系：之间以下线性本构关系：12将以上关系代入到虚功方程中，得：将以上关系代入到虚功方程中，得：然而上式依然包含有非线性二次项，不可直接求解。一般需要引入以下然而上式依然包含有非线性二次项，不可直接求解。一般需要引入以下线性化近似：线性化近似：则有以下线性化的非线性平衡增量方程：则有以下线性化的非线性平衡增量方程：从以上线性化过程可
26、以看出，这种线性化从以上线性化过程可以看出，这种线性化处理是有局限性的。在分析非线性大应变处理是有局限性的。在分析非线性大应变时会造成较大误差。可以采用其他有限元时会造成较大误差。可以采用其他有限元格式，如摄动法有限元。格式，如摄动法有限元。第17页，共19页。7、几何非线性问题的有限元基本方程单元刚度阵的形成单元刚度阵的形成第一步：坐标、位移插值第一步：坐标、位移插值第二步：应变、应力插值第二步：应变、应力插值将以上插值关系代入到线性化非线性平衡增量方程，得：将以上插值关系代入到线性化非线性平衡增量方程，得：式中：式中：第18页，共19页。6 6、U.LU.L列式下平面杆元的几何非列式下平面杆元的几何非列式下平面杆元的几何非列式下平面杆元的几何非线线性切性切性切性切线刚线刚度矩度矩度矩度矩阵阵1、杆元位移函数、杆元位移函数注意在以下推注意在以下推导中，杆元的中，杆元的结点位移和点位移和结点力点力实际上上为相相应杆元的位移增量和杆元的位移增量和结点力的增量。点力的增量。应变：第19页，共19页。
