《2025届高考数学一轮复习专练29 平面向量的基本定理及坐标表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025届高考数学一轮复习专练29 平面向量的基本定理及坐标表示（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十九平面向量的基本定理及坐标表示(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且ab,则m=()A.-32B.23C.-12D.32【解析】选A.根据题意,a=(1,m),b=(2,-3),若ab,则有2m=1(-3),解得m=-32.2.(5分)(多选题)(2023哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),
2、e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=(3,4)【解析】选BD.A选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底.B选项,因为21-12,所以e1,e2不平行,可以作为基底.C选项,e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作为基底.D选项,因为2314,则e1,e2不平行,可以作为基底.3.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ADDC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=CE+DB(,R),则+的值为()A.65B.85C.2D.83【解析】选B.建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B
3、(1,2),E(0,1),所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),因为CA=CE+DB,所以(-2,2)=(-2,1)+(1,2),所以-2+=-2,+2=2,解得=65,=25,则+=85.4.(5分)在ABC中,CM=3MB,AN+CN=0,则()A.MN=14AC+34ABB.MN=23AB+76ACC.MN=16AC-23ABD.MN=14AC-34AB【解析】选D.因为CM=3MB,AN+CN=0,所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点,N为AC的中点,如图所示:所以MN=AN-AM=12AC-AB-BM=12AC-AB-14BC=12AC-AB-14(AC-A
4、B)=14AC-34AB.5.(5分)(多选题)如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个C.若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数,使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若实数,使得e1+e20,则0且0【解析】选BCD.根据平面向量基本定理可知A正确,不符合题意;根据平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的,故B选项错误,符合题意;当两向量的系数均为0时,这样的有无数个,故C选项错
5、误,符合题意;若实数,使得e1+e20,则和可以有1个等于零,故D选项错误,符合题意.6.(5分)(多选题)(2023漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是()A.BD=a-bB.AC=13a+bC.BM=-89a+bD.AN=23a+13b【解析】选BC.对于A,BD=AD-AB=b-a,A错误;对于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a+b,B正确;对于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-89a+b,C正确;对于D,由B知:AN=12(AB+AC)
6、=12(a+13a+b)=23a+12b,D错误.7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是_.【解析】由点C是线段AB上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,3-y=-4,解得x=4,y=7,所以向量OB的坐标是(4,7).答案:(4,7)8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与OP共线的单位向量为_.【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1P2+PP2=0,P1P2
7、=P2P,OP2-OP1=OP-OP2,OP=2OP2-OP1=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),OP=32+(-4)2=5,与OP同向的单位向量为OPOP=(35,-45),反向的单位向量为(-35,45).答案: (35,-45)和(-35,45)9.(10分)(2023泰安模拟)如图,在ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,AC=b.(1)用a,b表示BC,MN;(2)若P为ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.【解析】(1)依题意,BC=AC-AB=b-a,MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+
8、2a3=12b+16a.(2)由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-a)=56a+12b,又AP=512a+14b,所以AP=12AM+12AN,12+12=1,故M,P,N三点共线,且P是MN的中点.【加练备选】(多选题)(2023重庆模拟)如图,AB=2AE,AC=3AD,线段BD与CE交于点F,记AB=a,AC=b,则()A.DE=12a-13bB.DE=-12a+23bC.AF=35a+215bD.AF=25a+15b【解析】选AD.DE=AE-AD=12AB-13AC=12a-13b,故A正确.设AF=xa+yb,EF=EA+AF=(x-
9、12)a+yb,EC=EA+AC=-12a+b,因为EFEC,所以x-12-12=y1,同理DF=xa+(y-13)b,DB=a-13b,DFDB,x1=y-13-13,联立解得x=25,y=15,所以AF=25a+15b,D正确.【能力提升练】10.(5分)已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC=()A.13a+23bB.23a+13bC.23a+43bD.43a+23b【解析】选C.因为BC=BE+EC=b+EC,AC=AD+DC=a+DC,且EC=12AC,DC=12BC,可得BC=b+12AC,AC=a+12BC,所以BC=b+12(a+12BC
10、),整理得BC=23a+43b.11.(5分)已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP=AB+AC(R),且点P在直线x-2y=0上,则的值为()A.23B.-23C.32D.-32【解析】选B.设P(x,y),则由AP=AB+AC,得(x-2,y-3)=(2,2)+(5,7)=(2+5,2+7),所以x=5+4,y=7+5.又点P在直线x-2y=0上,故5+4-2(7+5)=0,解得=-23.12.(5分)(2023黄冈模拟)在ABC中,点M在线段BC上,AN=23AM=AB+AC,则+=()A.14B.13C.23D.1【解析】选C.因为点M在线段BC上,所以存在实数t,使
11、得BM=tBC,所以AM-AB=t(AC-AB),即AM=(1-t)AB+tAC,所以AN=23AM=2(1-t)3AB+2t3AC,又AN=AB+AC,所以=2(1-t)3=2t3,所以+=23.13.(5分)(2023九江模拟)如图,在ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=AB+AC(,R),则+=_;AFAD=_.【解题指南】根据向量共线定理表示出AD,AF,从而求出,即可求解出+,AFAD.【解析】设AF=mAD,BF=nBE,根据向量共线定理,得AF=mAD,AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,所以AF=n3AC+(1-n)
12、AB,又因为AD=12(AB+AC),所以n3AC+(1-n)AB=m2(AB+AC),得n3=m21-n=m2,解得m=12n=34,代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB,得=-34,=14,则有+=-12,AFAD=12.答案:-121214.(10分)(2023信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+e2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序
13、构成平行四边形,求点A的坐标.【解析】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+e2)=e1+(1+)e2.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得AE=kEC,即e1+(1+)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-)e2.因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,所以1+2k=0k-1-=0,解得k=-12,=-32.(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD=BC,设A(x,y),则AD=(3-x,5-y),因为
14、BC=(-7,-2),所以3-x=-75-y=-2,解得x=10y=7,即点A的坐标为(10,7).15.(10分)如图所示,在ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.(1)试用向量a,b表示BD,AE;(2)若AE交BD于点O,求AOOE及BOOD的值.【解题指南】(1)根据平面向量的线性运算法则,求解即可;(2)由A,O,E三点共线,得到AO=3a+23b,由B,O,D三点共线,得到AO=(1-)a+3b,列出方程3a+23b=(1-)a+3b,得出方程组,即可求解.【解析】(1)由AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD,可得BD=AD-AB=13AC-AB=13b-a;AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC=13a+23b.(2)因为A,O,E三点共线,所以存在实数,使得AO=AE=(13a+23b)=3a+23b,因为B,O,D三点共线,所以存在实数,使得BO=BD,所以AO-AB=BD,可得AO=AB+BD=a+(-a+13b)=(1-)a+3b,所以3a+23b=(1-)a+3b,因为a,b不共线,则3=1-23=3,解得=37=67,所以AO=37AE,BO=67BD,所以AOOE=34,BO
