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1、活页规范训练活页规范训练【课标要求课标要求】1通通过对任意三角形任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理和角度的探索掌握余弦定理2会借助余弦定理解决一些会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量的三角形度量问题【核心扫描核心扫描】1应用余弦定理解三角形用余弦定理解三角形(重点重点)2本本节内容常与三角函数、三角恒等内容常与三角函数、三角恒等变换、正弦定理、正弦定理等知等知识结合合(难点难点)3应用余弦定理判断三角形的形状用余弦定理判断三角形的形状(易错点易错点)1.1.2余弦定理余弦定理活页规范训练活页规范训练余弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的三角形中任何一边的平方等于其他两边的_
2、减去减去这两边与它们的夹角的这两边与它们的夹角的_的积的的积的_，即，即a2_，b2 _ ，c2 _.余弦定理的推论余弦定理的推论自学导引自学导引12余弦余弦平方的和平方的和两倍两倍b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC活页规范训练活页规范训练：若：若ABC为钝角三角形，且角三角形，且A90，则a，b，c三三边满足什么关系？足什么关系？提示提示：a，b，c为ABC的三的三边，且，且A90，活页规范训练活页规范训练余弦定理及其推论的应用余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题：应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题：(1)已知三角形的三边，求其
3、已知三角形的三边，求其_(2)已知已知_和和_，求第三边和其他两个角，求第三边和其他两个角3三个角三个角两两边夹角角活页规范训练活页规范训练：余弦定理和勾股定理有什么联系？余弦定理和勾股定理有什么联系？提示提示：若：若ABC为直角三角形，且直角三角形，且C90，则cosC活页规范训练活页规范训练余弦定理的理解余弦定理的理解余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具三角形的重要工具(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一观点，可以知三求一(2)
4、余弦定理也为求三角形的有关量余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内如面积、外接圆、内切圆等切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛应用更加广泛名师点睛名师点睛1活页规范训练活页规范训练用坐标法证明余弦定理用坐标法证明余弦定理如图建立直角坐标系，则如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)由两点间距离公式得由两点间距离公式得a2|BC|2(bcosAc)2(bsinA0)2b2(sin2A
5、cos2A)2bccosAc2b2c22bccosA.同理可证同理可证b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC2活页规范训练活页规范训练题型一题型一已知两边及一角解三角形已知两边及一角解三角形在在ABC中，已知中，已知b3，c3，B30，求角，求角A、角、角C和和边a.思路探索思路探索可先由正弦定理求出角可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求的方程，首先求出边长出边长a，再由正弦定理求角，再由正弦定理求角A、角、角C.【例例1】活页规范训练活页规范训练当当C120时，A30，A
6、BC为等腰三角形等腰三角形a3.活页规范训练活页规范训练 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解定理列出关于另一边的一元二次方程求解(2)(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解活页规范训
7、练活页规范训练在在ABC中，已知中，已知a5，b3，角，角C的余弦的余弦值是方是方程程5x27x60的根，求第三的根，求第三边长c.解解5x27x60可化可化为(5x3)(x2)0.【变式变式1】活页规范训练活页规范训练思路探索思路探索利用余弦定理的推论解题利用余弦定理的推论解题题型题型二二已知三边已知三边( (三边关系三边关系) )解三角形解三角形【例例2】活页规范训练活页规范训练(1)已知三角形三已知三角形三边求角求角时，可先利用余弦，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据，要根据边的大小确定角的大小，防止的大小确定角
8、的大小，防止产生增解生增解或漏解或漏解(2)若已知三角形三若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性的比例关系，常根据比例的性质引入引入k，从而，从而转化化为已知三已知三边求解求解活页规范训练活页规范训练在在ABC中，已知中，已知BC7，AC8，AB9，试求求AC边上的中上的中线长解解由余弦定理和条件知：由余弦定理和条件知：【变式变式2】活页规范训练活页规范训练思路探索思路探索用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式，用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式，化简后判断三角形的形状也可用正弦定理将等式化成角化简后判断三角形的形状也可用正弦定理将等式化成角的三角函数关系式，进而判断三角形的形状的
9、三角函数关系式，进而判断三角形的形状题型题型三三三角形形状的判定三角形形状的判定【例例3】活页规范训练活页规范训练b2c2a22b2，即，即a2b2c2.ABC是直角三角形是直角三角形法二法二在在ABC中，中，设其外接其外接圆半径半径为R，由正弦定理，由正弦定理，b2RsinB，c2RsinC，活页规范训练活页规范训练(1)法一是用余弦定理将等式法一是用余弦定理将等式转化化为边之之间的的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化化为角角的三角函数关系式的三角函数关系式这两种方法是判断三角形形状的常两种方法是判断三角形形状的常用手段然后，利用代数用手段然
10、后，利用代数变形或三角函数形或三角函数变形形对边的关的关系或角的关系系或角的关系进行分析判断行分析判断(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，的二次式，要考要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是是边的一次式，的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考要考虑两个定理都有可能用两个定理都有可能用活页规范训练活页规范训练在在ABC中，若中，若(accosB)sinB(bccosA)sinA，判断，判断ABC的形状的形状a2b2c20或或a2b2，故三角形
11、故三角形为等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形【变式变式3】活页规范训练活页规范训练法二法二由正弦定理，原等式可化为由正弦定理，原等式可化为(sinAsinCcosB)sinB(sinBsinCcosA)sinA，sinBcosBsinAcosA，sin2Bsin2A，2B2A或或2B2A，AB或或AB，故故ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形活页规范训练活页规范训练如如图所示，在四所示，在四边形形ABCD中，中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求，求BC的的长审题指导审题指导规范解答规范解答在在ABD中，中，AD10，AB14，BDA60，设
12、BDx，据余弦定理：，据余弦定理：AB2AD2BD22ADBDcosBDA，(4分分)142102x2210xcos60，(6分分)即即x210x960，解得解得x116，x26(舍去舍去)，BD16.(8分分)ADCD，BDA60，CDB30.题型题型四四正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用【例例4】活页规范训练活页规范训练【题后反思题后反思】余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件是否够用条件不够的三角形，要探索与其他三角形的件是否够用条件不够的
13、三角形，要探索与其他三角形的关系，条件够时，注意选择是应用正弦定理，还是余弦定关系，条件够时，注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程理，必要时也可列方程( (组组) )求解同时，在有关三角形的求解同时，在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息理都要用，要抓住能利用某个定理的信息活页规范训练活页规范训练在在ABC中，内角中，内角A，B，C的的对边长分分别为a，b，c，已知，已知a2c22b，且，且sinAcosC3cosAsinC，求，求b.解法一解法一在在ABC中，中，
14、sinAcosC3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：由正弦定理及余弦定理有：2(a2c2)b2.又由已知又由已知a2c22b，4bb2.解得解得b4或或b0(舍舍)【变式变式4】活页规范训练活页规范训练法二法二由余弦定理得：由余弦定理得：a2c2b22bccosA.又又a2c22b，b0.所以所以b2ccosA2.又又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC，sin(AC)4cosAsinC，即即sinB4cosAsinC，由正弦定理得由正弦定理得sinBsinC，故，故b4ccosA由由解得解得b4.活页规范训练活页规范训练设2a1，a
15、,2a1为钝角三角形的三角三角形的三边，求，求实数数a的的取取值范范围错解错解2a1，a,2a1是三角形的三是三角形的三边，误区警示误区警示误区警示忽略三角形三边关系导致出错误区警示忽略三角形三边关系导致出错【示示例例】活页规范训练活页规范训练解解题时，易忽略三角形的三，易忽略三角形的三边满足两足两边之和大于第三之和大于第三边，而使某些字母的范，而使某些字母的范围变大大活页规范训练活页规范训练正解正解2a1，a,2a1是三角形的三是三角形的三边，活页规范训练活页规范训练本本题实质上是求上是求2a1，a,2a1能构能构成成钝角三角形三角三角形三边的充要条件，除了要保的充要条件，除了要保证三三边长
16、均均为正数外，正数外，还应满足两足两边之和大于第三之和大于第三边活页规范训练活页规范训练1、字体安装与、字体安装与设置置如果您对如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。1.在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图）2.在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。（如下图）3.在“替换为”下拉列表中选择替换字体。4.点击“替换”按钮，完成。282、替、替换模板中的模板中的图片片模板中的图片展示页面，您可以根据需要替换这些图片，下面介绍两种替换方法。模板中的图片展示页面，您可以根据需要替换这些图片，下面介绍两种替换方法。方法一：更改图片方法一：更改图片1.选中模版中的图选中模版中的图片片（有些图片与其他有些图片与其他对象对象进行了组合，进行了组合，选选择择时时一定要选中图一定要选中图片片本身，本身，而不是组合）。而不是组合）。2.单击鼠标右键，选择单击鼠标右键，选择“更改图片更改图片”，选择要替换的图片。（如下图），选择要替换的图片。（如下图）注意：注意：为防止替换图片发生变形，请使用与原图长宽比例相同的图片。为防止替换图片发生变形，请使用与原图长宽比例相同的图片。28活页规范训练活页规范训练赠送精美图标
