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1、.由传递函数转换成状态空间模型方法多方法多!SISOSISO 线性定常系统线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISOSISOyn a1yn1 a2yn2 any b0umb1um1bmun mb0smb1sm1bmG(s) n假设n m1n1n2s a1sa2san外部描述实现问题：有了部构造模拟系统部描述 AxbuxSISOy cxdu实现问题实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。一、一、直接分解法直接分解法因为对上式取拉氏反变换，则,xn z(n1)，于是有按以下规律选择状态变量，按以下规律选择状态变量，即设x1 z,x2 z写成矩阵形式式中，In1为n1阶单位矩阵，把这种标
2、准型中的 A 系数阵称之为友阵友阵。只要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，c阵的形式可以任意，则称之为能控标准型能控标准型。则输出方程写成矩阵形式分析分析A,b,c阵的构成与传递函数系数的关系阵的构成与传递函数系数的关系。在需要对实际系统进展数学模型转换时， 不必进展计算就可以方便地写出状态空间模型的A、b、c矩阵的所有元素。例：SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。解：直接得到系统进展能控标准型的转换，即假设选择状态变量假设选择状态变量x x1x2xn满足以下条件如何考虑？T.考虑式设系统的输出y xn，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并
3、带入第三式；依次类推，便得到写成矩阵形式式中，In1为n1阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A阵和c阵具有上式的形式，b阵的形式可以任意，则称之为能观标准型能观标准型从形式上看， 能控标准型和能观标准型的系数阵A是互为转置， 能控标准型输入阵b和能观标准型输出阵c互为转置， 这种互为转置的关系被称为对偶关系。对偶关系。将在第六章进一步讨论。通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论， 对单输入系统而言，应注意如下问题：1传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的构造只由传递函数阵的极点特征多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的构造。2从能观标准型的
4、转换可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵 B 的元素。3只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即m n，状态空间表达式的输出方程中才出现Du项，否则D为零阵。例：求前例的能观标准型的状态空间模型解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即二、二、串联分解法串联分解法假设 SISO 系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式G(s) K(s z1)(s z2)Y(s)U(S)(s p1)(s p2)(s p3)s z1s z2Ks p1s p2s p3Kz1 p2 z2 p311s p1s p2 s p3例：图示！图示！ ！.三、三、并
5、联分解法对角标准型并联分解法对角标准型/ /约旦标准型特征值标准型约旦标准型特征值标准型一假设 SISO 系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型对角标准型的模型。当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式写成局部分式其中，ci，i 1,2,n为待定系数，其值为选择状态变量为画图示意状态变量的取法画图示意状态变量的取法即对上式拉氏反变换，得即写成矩阵形式式中，系数矩阵A为对角阵。对角线上的元素是传递函数 Gs的极点，即系统的特征值。b阵是元素全为 1 的n1 矩阵。求对角标准型模型的输出方程中 c 的构造对上式拉氏反变换，得如果系统的状态方程的A阵是对角阵，表示系统的各个变量之
6、间是解耦的。多变量的系统解耦是复杂系统实现准确控制的关键问题， 关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。系统的状态构造图如下图。例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换解：将G G(s s)用局部分式展开从而可得G(s)的极点1 1,1 2,1 3为互异的，求待定系数c ci i得对角标准型的转换为二对 SISO 系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型约当标准型的状态空间模型。此时模型的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即设系统具有一个重特征值1，其重数为 j，而其余为互异的特征值，记为j1,n，则传递函数可以用局部分式展开成.式中，待定系数c11,c12,c1j对应的是重极点的待定系数，其值为其余互异根的待定系数ci(i j 1, j 2,n)求法同前。画图示意状态变量的取法：画图示意状态变量的取法：例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型解：从系统地传递函数G G(s s)可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为j=2，有两个互异的极点，即12 3,3 2,4 1按局部分式展开求重极点对应的待定系数c c1i i求互异极点对应的待定系数c3,c4可得约当标准型的模型为.
