群的同构定理

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1、群的同构定理群的同构定理同态基本定理：设同态基本定理：设是群是群G到群到群G的一个同态满射，则的一个同态满射，则G用图表示：ker G。将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。定理定理 1 (1 (第一同构定理第一同构定理) ) 设设是群是群G到群到群G的一个满同态，且的一个满同态，且ker NNG，记，记(N) N，则，则GNGG，或，或N(G)(N)。当N ker时，(N) e，GGe G，第一同构定理退化N成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示：证明证明首先，由NG有N (N)G。作映射：(x)N，xN GN。:GNG，(xN)N以下验证是GN到G（1 1）N的一个同构映射。1aN

2、 bN(a,bG)a bN，于是是映射：设，则(a)1(b) (a1b)(N) N，从而(a)N (b)N，N即GN中的每个赔集在下的像唯一，因此确为GN到G的一个映射。（2）是满射：aNGN(a G)，因为是满射，所以存在aG，使得(a) a，从而存在aN GN，使得(aN) aN，即是满射。（3）是单射：设(aN) (bN)，即(a)N (b)N，从而(a1b) (a)1(b)N。但是满同态且(N) N，所以cN，使得(a1b) (c) (a1bc1) e a1bc1KerKer。于是由已知条件ker从而aN（4）又由于 N得得a1bc1N a1b a1bc1cN，bN，即是单射。(aN

3、bN) (ab)N) (ab)N (a)(b)N (a)N (b)N (aN)(bN)，所以是是GN到到G综上所述，是是GN的一个同态映射。N到到GNG的一个同构。所以NGN。作业：作业：P104P104 第第 4 4 题（题（提示：用同态基本定理） 。推论推论 1.1. 设设HG,NGNG且且N H，则，则H。GHN证明证明取自然同态:G GN，(a) aN，其核KerKer N。在第一同构定理中取G GN，取N为这里的H，并注意(H) HN，由第一同构定理得GHGNHN。例例 1 1设设H证明证明 由HG,KGG，证明，证明GHHK。HKHG,KGG HKGHG。又显然H。HK，直接由推论

4、得HKHKH注意注意：交换H,K的位置也可以得GHKGKHKK。定理定理 2 (2 (第二同构定理第二同构定理) ) 设设G是群，是群，H G，NG，则，则N)。HNH，且，且HNNH(H第二同构定理也可以用图表示：证明证明：由H G，NG有有HN G，且，且NHN。作映射:H HNN，(x) xN，xH，则显然是H到HNN的满同态。且KerKer x xH,(x) N x xH,xN N x xH,xN H于是由同态基本定理得H(H N，N)HNN。例例 2 2S3,S4设分别为设分别为 3 3 次、次、4 4 次对称群，次对称群，K4是是 KleinKlein 四元群，四元群，证明：证明：

5、证明证明首先K4S4K4 S3。S4（见前面） 。以下验证：S4 S3K4且S3K4e，再用第二同构定理即可得证。事实上，把S3中K4e成立。于是的每个置换看成保持 4 不动，则显然S3| S3| K4| 64 24。| S3K4| S3K4|又S3K4 S4且| S4| 24，所以S4 S3K4。于是由第二同构定理S4K4S3K4K4S3(S3K4)S3e S3。定理定理 3(3(第三同构定理第三同构定理) )设设G是群，且是群，且N（1 1）存在）存在G的唯一子群的唯一子群H（2 2）当）当HG，H GN，则，则G,H N， G,H N，使得，使得H HN；GGN时，存在时，存在G的唯一正

6、规子群的唯一正规子群H使得使得H HNG，且，且HNHN。第三同构定理表明：商群第三同构定理表明：商群GN的子群仍为商群，且呈的子群仍为商群，且呈HN的的形式，其中形式，其中H G,H N；而且；而且H是是G的正规子群当且仅当的正规子群当且仅当HN是是GN的正规子群。的正规子群。证明证明 （1）取自然同态:G GN，(a) aN，其核KerKer由上一节定理 4 知，在G的包含N的子群与GN的所有子群之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当H GN时， N。必然存在G的唯一的子群H G,H N与之对应，即(H) H。另一方面，根据的定义有(H) HN，所以H HN。（2）还是由上一节定理 4，当H规子群HN时，存在G的唯一的正G,H N，使得H HN。再由第一同构定理得GGH(G)(H)GNHN。