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1、6.4 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如如右图右图所示所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从虽然都是从A点点单调上升到单调上升到B点，但它们的弯曲方向却点，但它们的弯曲方向却不一样。不一样。 L1 是是“凹凹(上凸上凸)”弧，弧，L2是是“凸凸(下凸下凸)”弧弧 ，L3既有凸既有凸弧，也有凹弧，这和我们日弧，
2、也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一常习惯对凹凸的称呼是不一致的。致的。K切=f(x)0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方. .凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方.K切=f(x)0y单调递减x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo几何特征y=f(x)连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点. .一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的如何研究曲线的弯曲方向弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方(凹凹函数函数)图形上任意弧段
3、位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方(凸凸函数函数)的值分别是曲线的凹凸与拐点定义 若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.xyo123abxyo123ab几何特征凸凸型曲线型曲线: :切线的斜率随着切线的斜率随着X X的增大而增大的增大而增大. .凹凹型曲线型曲线: :切线的斜率随着切线的斜率随着X X的增大而减小的增大而减小. .x1x2x3x1x2x3二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定证明证明分别应用分别应用L定理，得定理，得两式相减，得两式相减，得由由假设假设这就这就证明了证明了同理可证（同理可证（1）注注定理的结论可推广到任意区间上定理的结论可推广到任意区间上例例1 1解解注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .2.2.拐点的求法拐点的求法例例2 2解解凸的凸的凹的凹的凸的凸的拐点拐点拐点拐点解解注意注意: :解例例5求求曲线曲线的的拐点拐点解解是是拐点拐点例例6Jensen不等式不等式证证由由Taylor公式，得公式，得各式乘以各式乘以再再相加，得相加，得=1=1思考题思考题思考题解答思考题解答例例
