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1、怎样粗线条地描述怎样粗线条地描述怎样粗线条地描述怎样粗线条地描述r.vr.vr.vr.v 的特性的特性的特性的特性简单明了、特征鲜明、直观实用简单明了、特征鲜明、直观实用简单明了、特征鲜明、直观实用简单明了、特征鲜明、直观实用1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2 2/32/32 甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100100100100发发发发子弹，成绩如下：子弹，成绩如下：子弹，成绩如下：子弹，成绩如下：怎样评估两人的成绩？怎样评估两人的成绩？
2、怎样评估两人的成绩？怎样评估两人的成绩？甲：甲：甲：甲：每枪平均环数为每枪平均环数为每枪平均环数为每枪平均环数为可见甲的射击水平比乙略好可见甲的射击水平比乙略好可见甲的射击水平比乙略好可见甲的射击水平比乙略好甲：甲：甲：甲：乙：乙：乙：乙：环数环数环数环数次数次数次数次数次数次数次数次数环数环数环数环数两人的总环数分别为两人的总环数分别为两人的总环数分别为两人的总环数分别为( ( ( (环环环环) ) ) )乙乙乙乙：( ( ( (环环环环) ) ) )甲：甲：甲：甲：乙乙乙乙：( ( ( (环环环环) ) ) )( ( ( (环环环环) ) ) )平均环数平均环数平均环数平均环数1 1 数学
3、期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3 3/32/32某班级某课程考试的平均成绩某班级某课程考试的平均成绩某班级某课程考试的平均成绩某班级某课程考试的平均成绩电子产品的平均无故障时间电子产品的平均无故障时间电子产品的平均无故障时间电子产品的平均无故障时间某地区的日平均气温和日平均降水量某地区的日平均气温和日平均降水量某地区的日平均气温和日平均降水量某地区的日平均气温和日平均降水量某地区水稻的平均亩产量某地区水稻的平均亩产量某地区水稻的平均亩产量某地区水稻的平均亩产量某地区的家庭平均年收入某地区的家庭平均年收入某地区的家庭平均年收入某地区的家庭平均年收入怎样定义怎样定义
4、怎样定义怎样定义 r.vr.vr.vr.v 的平均值概念的平均值概念的平均值概念的平均值概念某国家国民的平均寿命某国家国民的平均寿命某国家国民的平均寿命某国家国民的平均寿命1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4 4/32/32 甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100100100100发发发发子弹，成绩如下：子弹，成绩如下：子弹，成绩如下：子弹，成绩如下：怎样评估两人的成绩？怎样评估两人的成绩？怎样评估两人的成绩？怎样评估两人的成绩？即平均环数为即
5、平均环数为即平均环数为即平均环数为甲：甲：甲：甲：乙：乙：乙：乙：环数环数环数环数次数次数次数次数次数次数次数次数环数环数环数环数记甲每枪击中的环数为记甲每枪击中的环数为记甲每枪击中的环数为记甲每枪击中的环数为 因为射击次数因为射击次数因为射击次数因为射击次数较多较多较多较多, , , ,故可认为故可认为故可认为故可认为 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为则甲射手每枪平均环数为则甲射手每枪平均环数为则甲射手每枪平均环数为则甲射手每枪平均环数为 1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征5 5/32/32( ( ( (期望期望期望期望、均值均值均值均值) )
6、 ) )设设设设 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为若级数若级数若级数若级数则称则称则称则称为为为为 的的的的数学期望数学期望数学期望数学期望 “数学期望数学期望数学期望数学期望”是历史上沿用下来的一个名词，可理是历史上沿用下来的一个名词，可理是历史上沿用下来的一个名词，可理是历史上沿用下来的一个名词，可理解为在数学上对解为在数学上对解为在数学上对解为在数学上对 r.vr.vr.vr.v 进行计算期望得到的值进行计算期望得到的值进行计算期望得到的值进行计算期望得到的值, , , ,即平均即平均即平均即平均值值值值 1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征
7、6 6/32/32 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式的方式的方式的方式. . . .付款额根据使用寿命付款额根据使用寿命付款额根据使用寿命付款额根据使用寿命 来确定：来确定：来确定：来确定：寿命寿命寿命寿命( ( ( (年年年年) ) ) )付款付款( ( ( (元元元元) ) ) )试求该商店出售一台电器的平均收费额试求该商店出售一台电器的平均收费额试求该商店出售一台电器的平均收费额试求该商店出售一台电器的平均收费额假设假设假设假设设设设设出售一台电器
8、的收费额为出售一台电器的收费额为出售一台电器的收费额为出售一台电器的收费额为, , , ,分布律为分布律为分布律为分布律为即即即即参数为参数为参数为参数为1010的指数分布密度函数为的指数分布密度函数为的指数分布密度函数为的指数分布密度函数为即商店出售一台电器平均收费额为即商店出售一台电器平均收费额为即商店出售一台电器平均收费额为即商店出售一台电器平均收费额为 元元元元1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征7 7/32/32求求求求设设设设的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为的均值为的均值为的均值为的均值为令令令令1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随
9、机变量的数字特征随机变量的数字特征8 8/32/32求求求求设设设设令令令令特别令特别令特别令特别令 则有则有则有则有1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征9 9/32/32在数学期望的定义中，为什么要求在数学期望的定义中，为什么要求在数学期望的定义中，为什么要求在数学期望的定义中，为什么要求由高等数学知由高等数学知由高等数学知由高等数学知收敛收敛收敛收敛且且且且 与与与与 出现的先后位置无关！出现的先后位置无关！出现的先后位置无关！出现的先后位置无关！则称则称则称则称 不存在不存在不存在不存在若若若若1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征
10、随机变量的数字特征1010/32/32( ( ( (期望期望期望期望、均值均值均值均值) ) ) )设设设设 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为若级数若级数若级数若级数则称则称则称则称为为为为 的的的的数学期望数学期望数学期望数学期望则则则则设设设设则则则则设设设设1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1111/32/32则称则称则称则称设设设设 的概率密度函数为的概率密度函数为的概率密度函数为的概率密度函数为 若若若若( ( ( (期望期望期望期望、均值均值均值均值) ) ) )为为为为 的的的的数学期望数学期望数学期望数学期望则称则称则称则称 不存
11、在不存在不存在不存在若若若若注意离散型和连续型注意离散型和连续型注意离散型和连续型注意离散型和连续型情形的形式一致性情形的形式一致性情形的形式一致性情形的形式一致性1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1212/32/32求求求求设设设设的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为其它其它其它其它从直观上看从直观上看从直观上看从直观上看 ？1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1313/32/32求求求求设设设设从直观上看从直观上看从直观上看从直观上看 ？奇函数奇函数奇函数奇函数1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随
12、机变量的数字特征随机变量的数字特征1414/32/32即该元器件的平均寿命为即该元器件的平均寿命为即该元器件的平均寿命为即该元器件的平均寿命为设某元器件的寿命设某元器件的寿命设某元器件的寿命设某元器件的寿命 服从指数分布服从指数分布服从指数分布服从指数分布, , , ,其密度为其密度为其密度为其密度为求求求求 的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1515/32/32如果某产品的平均寿命为如果某产品的平均寿命为如果某产品的平均寿命为如果某产品的平均寿命为 在航空、航天、军事、医疗等领域，通常要求元器件在航空、航天、军事
13、、医疗等领域，通常要求元器件在航空、航天、军事、医疗等领域，通常要求元器件在航空、航天、军事、医疗等领域，通常要求元器件达达达达 9 9 9 9 级以上，这意味着该元器件的平均寿命至少为级以上，这意味着该元器件的平均寿命至少为级以上，这意味着该元器件的平均寿命至少为级以上，这意味着该元器件的平均寿命至少为 由一万个由一万个由一万个由一万个 9 9 级元器件组成的电子设备的级元器件组成的电子设备的级元器件组成的电子设备的级元器件组成的电子设备的平均寿命为多少年？平均寿命为多少年？平均寿命为多少年？平均寿命为多少年？( ( ( (小时小时小时小时) ) ) )则称该产品为则称该产品为则称该产品为则
14、称该产品为“ 级级级级”产品产品产品产品 越大越大越大越大( ( ( (级别越高级别越高级别越高级别越高),),),),失效率失效率失效率失效率 越低越低越低越低, , , ,则产品的平均寿命越长则产品的平均寿命越长则产品的平均寿命越长则产品的平均寿命越长, , , , 可靠性越高可靠性越高可靠性越高可靠性越高. . . . ( ( ( (年年年年) ) ) )1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1616/32/32设每个铁环能承受的最大拉力分别为设每个铁环能承受的最大拉力分别为设每个铁环能承受的最大拉力分别为设每个铁环能承受的最大拉力分别为整条铁链能承受
15、的最大拉力为整条铁链能承受的最大拉力为整条铁链能承受的最大拉力为整条铁链能承受的最大拉力为 一一一一条条条条铁铁铁铁链链链链由由由由 个个个个相相相相同同同同的的的的铁铁铁铁环环环环构构构构成成成成，铁铁铁铁链链链链两两两两端端端端受受受受到到到到大大大大小小小小相相相相等等等等、方方方方向向向向相相相相反反反反的的的的拉拉拉拉力力力力 设设设设单单单单个个个个铁铁铁铁环环环环不不不不被被被被拉拉拉拉断断断断所所所所能能能能承承承承受的最大拉力为受的最大拉力为受的最大拉力为受的最大拉力为 其密度为其密度为其密度为其密度为试求铁链能承受的平均最大拉力试求铁链能承受的平均最大拉力试求铁链能承受的平
16、均最大拉力试求铁链能承受的平均最大拉力. . . .独立同分布于独立同分布于独立同分布于独立同分布于 则则则则其分布函数为其分布函数为其分布函数为其分布函数为密度函数为密度函数为密度函数为密度函数为可见可见可见可见 服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布的指数分布的指数分布, , , ,故故故故即铁链能承受的平均即铁链能承受的平均即铁链能承受的平均即铁链能承受的平均( ( ( (最大最大最大最大) ) ) )拉力为拉力为拉力为拉力为1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1717/32/32设设设设 服从服从服从服从分布分布分布分布,
17、, , ,其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为计算计算计算计算奇函数奇函数奇函数奇函数 , , , ,对称区间对称区间对称区间对称区间不存在不存在不存在不存在. . . .故故故故因为因为因为因为1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1818/32/32习题习题习题习题：2 2、3 3、4 4、5 51 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1919/32/32飞机机翼受到的压力为飞机机翼受到的压力为飞机机翼受到的压力为飞机机翼受到的压力为设已知设已知设已知设已知其中其中其中其中 是风速是风速是风速是风速 是常数是
18、常数是常数是常数, , , ,问问问问机翼受到的平均压力多大机翼受到的平均压力多大机翼受到的平均压力多大机翼受到的平均压力多大？则要求则要求则要求则要求( ( ( (概率函数概率函数概率函数概率函数) ) ) )( ( ( (普通函数普通函数普通函数普通函数) ) ) )设设设设 单调增单调增单调增单调增, , , ,其反函数为其反函数为其反函数为其反函数为 则则则则令令该结果对一般的该结果对一般的该结果对一般的该结果对一般的分布和函数也成立分布和函数也成立分布和函数也成立分布和函数也成立1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2020/32/32设设设设 为
19、普通函数为普通函数为普通函数为普通函数, , , ,则则则则设设设设 为离散型为离散型为离散型为离散型r.vr.vr.vr.v, , , ,其分布律为其分布律为其分布律为其分布律为则则则则若若若若设设设设 为连续型为连续型为连续型为连续型r.vr.vr.vr.v, , , ,其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为则则则则若若若若注意二者的注意二者的注意二者的注意二者的形式一致性形式一致性形式一致性形式一致性1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2121/32/32设风速设风速设风速设风速 设飞机机翼受到的正压力设飞机机翼受到的正压力设飞机机翼受到的
20、正压力设飞机机翼受到的正压力与风速的关系是与风速的关系是与风速的关系是与风速的关系是常数常数常数常数 求求求求的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为其它其它其它其它即飞机机翼受到的平均正压力为即飞机机翼受到的平均正压力为即飞机机翼受到的平均正压力为即飞机机翼受到的平均正压力为1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2222/32/32于是于是于是于是, , , ,则则则则过平面上点过平面上点过平面上点过平面上点 任作一条直线任作一条直线任作一条直线任作一条直线 求由坐标原点求由坐标原点求由坐标原点求由坐标原点到直线到直线到直线到直线 的距离的距离的距
21、离的距离 的平均值的平均值的平均值的平均值. . . .设设 与与与与 轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为故原点到直线故原点到直线故原点到直线故原点到直线 的平均距离为的平均距离为的平均距离为的平均距离为1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2323/32/32 一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的市场需求量市场需求量市场需求量市场需求量 ( ( ( (单位单位单位单位: : : :吨吨吨吨),),),),每出售一吨原料每
22、出售一吨原料每出售一吨原料每出售一吨原料, , , ,公司可获利公司可获利公司可获利公司可获利1 1 1 1千元千元千元千元, , , ,若积压一吨若积压一吨若积压一吨若积压一吨, , , ,则公司要损失则公司要损失则公司要损失则公司要损失0.50.50.50.5千元。问千元。问千元。问千元。问公司应该组织多少货源公司应该组织多少货源公司应该组织多少货源公司应该组织多少货源, , , ,可以使收益最大可以使收益最大可以使收益最大可以使收益最大? ? ? ?于是公司的平均获利为于是公司的平均获利为于是公司的平均获利为于是公司的平均获利为设公司应组织货源设公司应组织货源设公司应组织货源设公司应组织
23、货源 吨吨吨吨, , , ,则应有则应有则应有则应有又设公司获利又设公司获利又设公司获利又设公司获利 千千千千元元元元, , , ,则则则则 是市场需求量是市场需求量是市场需求量是市场需求量 的函数的函数的函数的函数, , , ,且且且且令令令令，解得，解得，解得，解得故公司应该组织故公司应该组织故公司应该组织故公司应该组织433.3433.3433.3433.3吨货源吨货源吨货源吨货源, , , ,可使平均收益最大可使平均收益最大可使平均收益最大可使平均收益最大. . . .1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2424/32/32设设设设 为二元函数为二
24、元函数为二元函数为二元函数, , , ,则则则则设设设设 的联合分布律为的联合分布律为的联合分布律为的联合分布律为则则则则若若若若则则则则若若若若设设设设 的联合密度为的联合密度为的联合密度为的联合密度为1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2525/32/32求求求求由推广的定理有由推广的定理有由推广的定理有由推广的定理有设设设设服从圆域服从圆域服从圆域服从圆域上的均匀分布上的均匀分布上的均匀分布上的均匀分布, , , ,从直观上看该从直观上看该从直观上看该从直观上看该结果的合理性结果的合理性结果的合理性结果的合理性1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随
25、机变量的数字特征随机变量的数字特征2626/32/32对连续型对连续型对连续型对连续型 r.vr.vr.vr.v 进行证明进行证明进行证明进行证明. . . .设设设设 为为为为r.vr.vr.vr.v，则有，则有，则有，则有设设设设, , , ,则则则则设设设设 为常数为常数为常数为常数, , , ,则则则则设设设设则则则则设设设设 相互独立相互独立相互独立相互独立, , , ,则有则有则有则有对连续型对连续型对连续型对连续型 r.vr.vr.vr.v 进行证明进行证明进行证明进行证明. . . . 设设设设独立独立独立独立若若若若, , , ,则则则则设设设设为常数为常数为常数为常数为为为
26、为r.vr.vr.vr.v, , , ,则则则则相互独立相互独立相互独立相互独立, , , ,则则则则 设设设设1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2727/32/32设设设设 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为试求试求试求试求三角形三角形三角形三角形区域区域区域区域1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2828/32/32引引入入入入r.vr.vr.vr.v 一民航客车载有一民航客车载有一民航客车载有一民航客车载有20202020位旅客自机场开出，沿途有十位旅客自机场开出，沿途有十位旅客自机场开出，沿途有
27、十位旅客自机场开出，沿途有十个停靠站个停靠站个停靠站个停靠站, , , ,如达到一个车站时没有乘客下车就不停车如达到一个车站时没有乘客下车就不停车如达到一个车站时没有乘客下车就不停车如达到一个车站时没有乘客下车就不停车. . . .以以以以表示停车的次数表示停车的次数表示停车的次数表示停车的次数, , , ,求求求求 ( ( ( (假定每位旅客在任一车站下车假定每位旅客在任一车站下车假定每位旅客在任一车站下车假定每位旅客在任一车站下车是等可能的是等可能的是等可能的是等可能的, , , ,且各旅客是否下车相互独立且各旅客是否下车相互独立且各旅客是否下车相互独立且各旅客是否下车相互独立).).).
28、).第第第第 站有人下车站有人下车站有人下车站有人下车第第第第 站没人下车站没人下车站没人下车站没人下车位乘客在第位乘客在第位乘客在第位乘客在第 i i 站都不下车站都不下车站都不下车站都不下车, , , ,从而从而从而从而易知易知易知易知1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2929/32/32 旅游团的旅游团的旅游团的旅游团的 个游客出酒店时都将自己房间的钥匙个游客出酒店时都将自己房间的钥匙个游客出酒店时都将自己房间的钥匙个游客出酒店时都将自己房间的钥匙交给了导游交给了导游交给了导游交给了导游. . . .回到酒店后回到酒店后回到酒店后回到酒店后, ,
29、, ,每人从导游处任取一把钥匙去开每人从导游处任取一把钥匙去开每人从导游处任取一把钥匙去开每人从导游处任取一把钥匙去开自己房间的门自己房间的门自己房间的门自己房间的门. . . .试问平均有多少人能开打房门。试问平均有多少人能开打房门。试问平均有多少人能开打房门。试问平均有多少人能开打房门。故能开打房门的平均人数为故能开打房门的平均人数为故能开打房门的平均人数为故能开打房门的平均人数为则能打开房门的人数为则能打开房门的人数为则能打开房门的人数为则能打开房门的人数为令令第第第第 人能打开房门人能打开房门人能打开房门人能打开房门第第第第 人不能打开房门人不能打开房门人不能打开房门人不能打开房门且且
30、且且1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3030/32/32. . . .故故故故 设设设设 件产品中有件产品中有件产品中有件产品中有 件次品件次品件次品件次品, , , ,在该批产品中任意取在该批产品中任意取在该批产品中任意取在该批产品中任意取件件件件, , , ,记记记记 表示取出的次品个数表示取出的次品个数表示取出的次品个数表示取出的次品个数, , , ,求求求求 的分布律为的分布律为称称称称 服从服从服从服从超几何分布超几何分布超几何分布超几何分布直接求和很难直接求和很难直接求和很难直接求和很难令令第第第第 件取出次品件取出次品件取出次品件取出次品
31、第第第第 件取出正品件取出正品件取出正品件取出正品, , , ,故故故故因为因为因为因为则则则则从而求得公式从而求得公式从而求得公式从而求得公式注：无放回取样，且注：无放回取样，且注：无放回取样，且注：无放回取样，且产品件数不一定很大产品件数不一定很大产品件数不一定很大产品件数不一定很大构造适当的概率模构造适当的概率模构造适当的概率模构造适当的概率模型求复杂公式的值型求复杂公式的值型求复杂公式的值型求复杂公式的值是常用的数学技巧是常用的数学技巧是常用的数学技巧是常用的数学技巧1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3131/32/32怎样利用怎样利用怎样利用怎
32、样利用r.vr.vr.vr.v的分解方法求解的分解方法求解的分解方法求解的分解方法求解？ 有有有有3 3 3 3只球，只球，只球，只球，4 4 4 4只盒子，盒子编号为只盒子，盒子编号为只盒子，盒子编号为只盒子，盒子编号为1,2,3,4.1,2,3,4.1,2,3,4.1,2,3,4.将球逐将球逐将球逐将球逐个独立随机地放入个独立随机地放入个独立随机地放入个独立随机地放入4 4 4 4只盒子中去只盒子中去只盒子中去只盒子中去. . . . 以以以以 表示其中至少有一只表示其中至少有一只表示其中至少有一只表示其中至少有一只球的盒子的最小号码，试求球的盒子的最小号码，试求球的盒子的最小号码，试求球
33、的盒子的最小号码，试求的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为令令第第第第 号球所进盒子的号码号球所进盒子的号码号球所进盒子的号码号球所进盒子的号码独立独立独立独立, , , ,且且且且显然显然显然显然依次对依次对依次对依次对 计数计数计数计数1 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3232/32/32 掷一颗骰子直到所有点掷一颗骰子直到所有点掷一颗骰子直到所有点掷一颗骰子直到所有点数全部出现为止，求所需投数全部出现为止，求所需投数全部出现为止，求所需投数全部出现为止，求所需投掷次数掷次数掷次数掷次数 Y Y 的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望. . . .从直观上看从直观上看从直观上看从直观上看猜想猜想6 61 1 数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3333/32/32ENDEND7 7 7 7、8 8 8 8、9 9 9 9、13131313
