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1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率统计课程组概率统计课程组 概率统计是研究随机现象数量规律的数学概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科学科, 理论严谨理论严谨, 应用广泛应用广泛, 发展迅速发展迅速. 目前目前, 不不仅高等学校各专业都开设了这门课程仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程学好这门不易学好又不得不学的重要课程.概率论与数理统计概率论与数理统计前前言言 教材教材 概率论及其统
2、计应用概率论及其统计应用 主要教学参考书主要教学参考书汪忠志等编汪忠志等编合肥工业大学出版社合肥工业大学出版社 2005年年国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 统计学数学方法统计学数学方法H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业首位中科院院士首位中科院院士本学科的 A
3、B C概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规
4、律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预
5、测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种
6、应用. 但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与测都与 概率论概率论 紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在产品的抽样验收，新研制的药品能否在3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行 实验设计实验设计 和和数据处理；数据处理；临床中
7、应用，均需要用到临床中应用，均需要用到 假设检验；假设检验；5. 探讨太阳黑子的变化规律时，探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列时间序列7. 在生物学中研究群体的增长问题时在生物学中研究群体的增长问题时 提出提出了生灭型了生灭型 随机模型，随机模型，传染病流行问题要用到多传染病流行问题要用到多过程过程 来描述来描述;6. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫马尔可夫 分析分析方法非常有用方法非常有用;变量非线性变量非线性生灭过程；生灭过程；4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射火箭卫星的研制与发射8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、许多服务系统
8、，如电话通信、船舶装卸、都离不开都离不开 可靠性估计可靠性估计; 购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到模型来描述，其涉及到 的知识就是的知识就是 排队论排队论.目前，概率统计理论目前，概率统计理论 进入其他自然科学领进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域在社会科学领域 ，特，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用等问题，都大量采用 概率统计方法概率统计方法. 正如法国正如法国数学家数学家 拉普拉斯所说拉普拉斯所说 : “ 生活中最重要的
9、问题，生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率1.1 1.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 随机现象随机现象1.1.2 1.1.2 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 1.1.3 1.1.3 样本空间样本空间1.1.4 1.1.4 随机事件及其运算随机事件及其运算 生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题上只是概率的问题 . -拉普拉斯拉普拉斯 我又转
10、念，见日光之下，快跑的人未必能赢，我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战的未必得胜力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会是在乎当时的机会. -传道书传道书第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 概率论是研究随机现象的规律性的数学概率论是研究随机现象的规律性的数学分支，为了对随机现象的有关问题作出明确分支，为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其它数学学科一样，概率论的数学描述，像其它数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。本章重点介具有
11、自己的严格的体系和结构。本章重点介绍概率论的两个基本概念：绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率随机事件和概率。1.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 随机现象随机现象 客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为下必然出现的现象，称之为必然现象必然现象：另一类是在一定：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现随机现象象。 在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)x(t)，由二阶微分方程，由二阶微分方程
12、来描述，其中来描述，其中g g为为重力加速度，这是确定的，必然的。重力加速度，这是确定的，必然的。 随机现象随机现象掷一枚硬币掷一枚硬币, ,观察向上的面观察向上的面; ;下一个交易日观察股市的指数上升情况下一个交易日观察股市的指数上升情况; ;某人射击一次某人射击一次, ,考察命中环数考察命中环数; ;从一批产品中抽取一件从一批产品中抽取一件, ,考察其质量考察其质量; ;确定性现象确定性现象抛一石块抛一石块, ,观察结局观察结局; ;导体通电导体通电, ,考察温度考察温度; ;异性电菏放置一起异性电菏放置一起, ,观察其关系观察其关系; ;1.1.2 1.1.2 随机现象的统计规律性随机现
13、象的统计规律性 虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面正面”与与“反面反面”这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充充其量假定它可能是任意的实数。可见其量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能全部可能的结果的集合是已知的的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。且它会给我们的学习研究带来许多方便。 进行一次试验，如果其所
14、得结果不能完全预进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验随机试验，一般地，一个随机试验要具有下列特，一般地，一个随机试验要具有下列特点：点：（1 1） 可重复性：可重复性：试验原则上可在相同条件下试验原则上可在相同条件下 重复进行重复进行; ;（2 2） 可观察性可观察性：试验结果是可观察的，所有：试验结果是可观察的，所有 可能的结果是明确的；可能的结果是明确的；（3 3） 随机性随机性：每次试验将要出现的结果是不：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。确定的，事先无法准确预知。 由于随机现
15、象的结果事先无法预知，初看起由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。验所证明。 表表1.11.1抛掷硬币试验抛掷硬币试验试验者试验者抛硬币次数抛硬币次数出现正面次数出现正面次数出现正面频率出现正面频率BuffonDe MorganFellerPearson
16、PearsonLomanovskii404040921000012000240008064020482048497960191201239699 0.5069 0.50050.49790.50160.50050.4923表表1.11.1列出列出BuffonBuffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近正面出现的频率非常接近0.50.5，就是说，出现正面，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。与出现反面的机会差不多各占一半。 上面的试验的结果表明，在相同条件下
17、大量地上面的试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定频率的稳定性性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。律的数学学科。1.1.3 1.1.3 样本空间样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们因而一
18、个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为的全体，称为样本空间样本空间，习惯上分别用，习惯上分别用 与与 表示表示样本点与样本空间。样本点与样本空间。 例例1.1.11.1.1 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即况。其样本空间由四个样本点组成。即 = =（正，正）（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），（正，反），（反，正），（反，反） 。这里，比。这里，比如样本点如样本点 = =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。第二枚抛得反面。 例例1.1.21.1.2
19、观察某电话交换台在一天内收到的呼叫观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：次数，其样本点有可数无穷多个：i i次，次，i=0,1,2, i=0,1,2, , ,样本空间为样本空间为=0=0次，次，1 1次，次，2 2次次, , 例例1.1.31.1.3 连接射击直到命中为止。为了简洁地写连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以出其样本空间，我们约定以“0”“0”表示一次射击未中，表示一次射击未中，而以而以“1”“1”表示命中。则样本空间表示命中。则样本空间 =1 =1，0101，001001， 00010001， 例例1.1.41.1.4 观察一个新灯
20、泡的寿命，其样本点也有观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：无穷多个：t t小时，小时， 样本空间为：样本空间为：写出下列各个试验的样本空间写出下列各个试验的样本空间: :1 1 掷一枚均匀硬币，观察正面掷一枚均匀硬币，观察正面(H)(H)反面反面(T)(T)出现的情况；出现的情况；2.2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；3.3.某袋子中装有某袋子中装有5 5个球个球, ,其中其中3 3个红球个红球, ,编号编号A A、B B、 C, C,有有2 2 个黄球，编号个黄球，编号D D、F F，现从中任取一个球，现从中任取一个球, ,观察颜色观
21、察颜色. .若是观察编号呢？若是观察编号呢？课堂练习课堂练习4.4.袋中有编号为袋中有编号为1,2,3,n1,2,3,n的球的球, ,从中任取一个从中任取一个, ,观察球观察球的号码；的号码；5.5.从自然数从自然数 1,2,3,N(N 3) 1,2,3,N(N 3)中接连随意取三个中接连随意取三个, ,每取每取一个还原后再取下一个一个还原后再取下一个. .若是不还原呢？若是一次就取三若是不还原呢？若是一次就取三个呢？个呢？6.6.接连进行接连进行n n次射击次射击, ,记录命中次数记录命中次数. .若是记录若是记录n n次射击中次射击中命中的总环数呢？命中的总环数呢？7.7.观察某条交通干线
22、中某天交通事故的次数。观察某条交通干线中某天交通事故的次数。1.1.4 1.1.4 随机事件及其运算随机事件及其运算 我们时常会关心试验的某一部分可能结果是我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件随机事件，简称，简称事件事件。通常用大写的字母。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本点，为试验中出现的样本点，那么事件那么事件A A发生当且仅当发生当且仅当 时发生。由于样本时发生。由于样
23、本空间空间 包含了全部可能结果，因此在每次包含了全部可能结果，因此在每次试验中试验中 都会发生，故称都会发生，故称 为为必然事件必然事件。相反，。相反，空集空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生，不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称故称 为为不可能事件不可能事件。1.1.事件的包含事件的包含如果事件如果事件A A发生必然导致发生必然导致B B发生，即属于发生，即属于A A的每一的每一个样本点一定也属于个样本点一定也属于B B，则称，则称事件事件B B包含事件包含事件A A，或，或称称事件事件A A包含于事件包含于事件B B。记作。记作 2. 2.事件相等事件相等如果事件如果事件A A
24、包含事件包含事件B B，事件，事件B B也包含事件也包含事件A A，则，则称称事件事件A A与与B B相等相等。记作。记作 A=B A=B。 3.3.事件的并事件的并“事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生”这一事件称作这一事件称作事事件件A A与与B B的并的并，记作，记作4. 4. 事件的交事件的交 “ “ 事件事件A A与与B B都发生都发生”这一事件称作这一事件称作事件事件A A与与B B的的交交, ,记作记作 或或 。 5. 5. 事件的差事件的差“ “ 事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生”这一事件称作这一事件称作事件事件A A与与B B的差的差, , 记作记
25、作 A-B . A-B .事件事件A A与与B B不能同时发生，也就是说不能同时发生，也就是说ABAB是不可是不可能事件能事件, ,即即 ，则称，则称A A与与B B是是互不相容事件互不相容事件. . 6. 6. 互不相容事件互不相容事件 7. 7. 对立事件对立事件 “ “事件事件A A不发生不发生”这一事件称作事件这一事件称作事件A A的的对立事对立事件件，记作，记作 ，易见，易见， . . 8. 8.完备事件组完备事件组 则称则称 是一个完备事件组。显然，是一个完备事件组。显然，A A与与 构成一个构成一个完备事件组完备事件组。 为了帮组大家理解上述概念，现把集合论的有关结论为了帮组大家
26、理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：与事件的关系和运算的对应情况列举如下：表表1.21.2符号符号集合论集合论概率论概率论全集全集样本空间：必然事件样本空间：必然事件空集空集不可能事件不可能事件 中的点（或称元素）中的点（或称元素） 样本点样本点 单点集单点集 基本事件基本事件 的子集的子集A A事件事件A A集合集合A A包含在集合包含在集合B B中中事件事件A A包含于事件包含于事件B B中中集合集合A A与集合与集合B B相等相等事件事件A A与事件与事件B B相等相等集合集合A A与集合与集合B B的并的并事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有
27、一个发生集合集合A A与集合与集合B B的交的交事件事件A A与事件与事件B B同时发生同时发生集合集合A A的余集的余集事件事件A A的对立事件的对立事件集合集合A A与集合与集合B B的差的差事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生集合集合A A与与B B没有公共元素没有公共元素事件事件A A与与B B互不相容（互斥）互不相容（互斥）推广推广:注注:1.1.设事件设事件A=A=甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销 ， 则则A A的对立事件为（的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品均畅销； 甲种产
28、品滞销；甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.2.设设x x表示一个沿数轴做随机运动的质点位表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a| A=|x-a|,B=x-a,B=x-a(0(0） A=x A=x2020，B=x20B=x20 A=x A=x2222，B=xB=x1919课堂练习课堂练习A与与B对立对立A与与B互斥互斥思考题思考题: : 设设A A、B B、C C为任意三个事件为任意三个事件, ,试用它们试用它们表示下列事件表示下列事件: : (1) A (1) A、B B出现，出
29、现，C C不出现；不出现； (2) A (2) A、B B、C C中恰有一个出现；中恰有一个出现； (3) A (3) A、B B、C C中至多有一个出现；中至多有一个出现； (4) A (4) A、B B、C C中至少有一个出现中至少有一个出现. .解答解答:1.2 1.2 随机事件的概率随机事件的概率1.2.1 1.2.1 概率和频率概率和频率1.2.2 1.2.2 组合记数组合记数 1.2.3 1.2.3 古典概率古典概率1.2.4 1.2.4 几何概率几何概率1.2.5 1.2.5 主观概率主观概率1.2 1.2 随机的概率随机的概率1.2.1 1.2.1 概率和频率概率和频率 概率论
30、研究的是随机现象的统计规律性。对概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）小的量的描述（即数量化）.这种量的大小我们这种量的大小我们称为称为事件的概率事件的概率。 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。可以确定随机事件发生的可能性大小。 若随机事件若随
31、机事件A A在在 n n 次试验中发生了次试验中发生了m m 次，则量次，则量 称为事件称为事件A A在在n n 次试验中次试验中 发生的发生的频率频率，记作，记作 ，即：，即： . .它满足不等式：它满足不等式：如果如果A A是必然事件是必然事件, ,有有m=n,m=n,则则 ; ;如果如果A A是不是不 可能事件，有可能事件，有m=0,m=0,则则 ; ;就是说：就是说：必然事件的频率为必然事件的频率为1 1，不可能事件的频率为，不可能事件的频率为0 0。的客观规律性，它是事件的客观规律性，它是事件A在一次随机试验时发生可在一次随机试验时发生可能性大小的度量。能性大小的度量。随机事件随机事
32、件A发生的频率，总是在某个确定值发生的频率，总是在某个确定值p附近徘徊，附近徘徊，而且试验次数越多，事件而且试验次数越多，事件A的频率就越来越接近的频率就越来越接近p,数数p称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象的频率具有稳定性。一般地，在大量重复试验中，的频率具有稳定性。一般地，在大量重复试验中， 表表1-1可以看出，随着试验次数可以看出，随着试验次数n的增加的增加,A发生的频发生的频率围绕率围绕0.5这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件A发生发生投一枚硬币观察正面向上的次数投一枚硬币观察正面向上的
33、次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰( ( Buffon ) )投币投币 皮尔森( Pearson ) 投币如如: : Dewey G. Dewey G. 统计了约统计了约438023438023个英语单词个英语单词 中各字母出现的频率中各字母出现的频率, , 发现各字母出现发现各字母出现 的频率不同：的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C
34、: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006 概率的概率的统计定义：统计定义：在相同条件下重复进行的在相同条件下重复进行的 n 次次试验中试验中, 事件事件 A 发生的频率稳定地在
35、某一发生的频率稳定地在某一常数常数 p 附近摆动附近摆动, 且随且随 n 越大摆动幅度越越大摆动幅度越小小, 则称则称 p 为事件为事件 A 的概率的概率, 记作记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观优点：直观 易懂易懂缺点：粗糙缺点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用加法原理加法原理：完成一件事情有完成一件事情有n 类方法，第类方法，第 i 类类方法中有方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情种具体的方法，则完成这件事情共有共有 种不同的方法种不同的方法.乘法原理乘法原理：完成一件事情有完成一件事情有n 个步骤，第个步骤，第 i 个个步骤中有步骤中有 mi 种具体的方法，则完
36、成这件事情种具体的方法，则完成这件事情共有共有 种不同的方法种不同的方法.1.2.2 1.2.2 组合记数组合记数排列排列: : 从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个个 (不放不放 回地）按一定的次序排成一排不同的回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有排法共有全排列全排列:可重复排列可重复排列 : 从从 n 个不同的元素中可重复地个不同的元素中可重复地 取出取出 m 个排成一排个排成一排, 不同的排法有不同的排法有种种.组合组合: : 从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个个(不放不放 回地）组成一组，回地）组成一组， 不同的分法共有不同的分法共有重复组合
37、重复组合: 从从 n 个不同元素中每次取出一个，个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合次所得的组合称为重复组合，此种重复组合数共有称为重复组合，此种重复组合数共有例如例如: : 两批产品各两批产品各5050件件, ,其中次品各其中次品各5 5件件, ,从这两批产品中各从这两批产品中各抽取抽取1 1件件, ,(1)(1)两件都不是次品的选法有多少种两件都不是次品的选法有多少种? ?(2)(2)只有一件次品的选法有多少种只有一件次品的选法有多少种? ?解解 (1) (1) 用乘法原理用乘法原理, ,结果为结果为(2)(2)结合加法原理和乘法
38、原理得选法为结合加法原理和乘法原理得选法为: :(1)(1)古典概型古典概型 设设为试验为试验E E的样本空间，若的样本空间，若 （有限性）（有限性）只含有限个样本点只含有限个样本点; ; （等概性）（等概性）每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等; ; 则称则称E E为为古典概型古典概型。(2)(2)古典概型概率的定义古典概型概率的定义 设设E E为古典概型为古典概型,为为E E的样本空间的样本空间,A,A为任意一个事为任意一个事件，定义件，定义事件事件A A的概率的概率为为: :1.2.3 1.2.3 古典概率古典概率(1) (1) 古典概型的判断方法古典概型的判断方法（
39、有限性（有限性 、等概性）；、等概性）；(2) (2) 古典概率的计算步骤：古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点弄清试验与样本点; ; 数清样本空间与随机事件中的样本点数数清样本空间与随机事件中的样本点数; ; 列出比式进行计算。列出比式进行计算。注意注意: :概率的性质：概率的性质：q 非负性非负性规范性规范性q q 例例1.2.1.2. 将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：（1 1）两次掷得的点数之和为）两次掷得的点数之和为8 8；（；（2 2）第二次掷得）第二次掷得3 3点点. .表示表示“点数之和为点数之和为8”8”事件，事件，表示表示
40、“第二次掷得第二次掷得3 3点点”事件事件 解：解：设设所以所以则则例例1.2.1.2. 箱中有箱中有6 6个灯泡个灯泡, ,其中其中2 2个次品个次品4 4个正品个正品, ,有放回有放回地从中任取两次地从中任取两次, ,每次取一个每次取一个, ,试求下列事件的概率：试求下列事件的概率：（1 1）取到的两个都是次品）取到的两个都是次品; ;（2 2）取到的两个中正、次）取到的两个中正、次品各一个品各一个, ,（3 3）取到的两个中至少有一个正品）取到的两个中至少有一个正品. .解：解： 设设A =A =取到的两个都是次品取到的两个都是次品 ，B=B=取到的两个中取到的两个中正、次品各一个正、次
41、品各一个, C=, C=取到的两个中至少有一个正品取到的两个中至少有一个正品.（1 1）样本点总数为）样本点总数为6 62 2，事件，事件A A包含的样本点数为包含的样本点数为2 22 2，所以所以 P(A)=4/36=1/9 P(A)=4/36=1/9（2 2）事件）事件B B包含的样本点数为包含的样本点数为42+24=1642+24=16，所以所以P P（B B）=16/36=4/9=16/36=4/9（3 3）事件）事件C C包好的样本点数为包好的样本点数为6 62 2-22=32-22=32，所以P(C )=32/36=8/9 思考：思考：若改为无放回地抽取两次呢若改为无放回地抽取两次
42、呢? ? 若改为一次抽取两个呢？若改为一次抽取两个呢？(1)(1)几何概型几何概型 设设为试验为试验E E的样本空间，若的样本空间，若试验试验的样本空间是直线上某个区间，或者面、的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; ;每个样本点发生具有等可能性每个样本点发生具有等可能性 ; ; 则称则称E E为为几何概型几何概型。(2)(2)几何概型概率的定义几何概型概率的定义 设试验的每个样本点是等可能落入区域设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随上的随机点机点M M，且，且D D含在含在内内, ,则则M M点落入子域点落入
43、子域D(D(事件事件A)A)上上的概率为的概率为: :1.2.4 1.2.4 几何概型几何概型 ( (等可能概型的推广等可能概型的推广) )例例1.2.31.2.3 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率十分钟的概率. .9点点10点点10分钟分钟 及及 在在 是区间时，表示相应的长度；在是区间时，表示相应的长度；在 是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积注：注：几何概率的性质：几何概率的性质：q q 可列可加性可列
44、可加性: : 设设 非负性非负性规范性规范性q q 两两互不相容两两互不相容例例1.2.41.2.4 两船欲停靠同一个码头两船欲停靠同一个码头, , 设两船到达码头设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的是等可能的. .如果两船到达码头后需在码头停留的时如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是间分别是1 1 小时与小时与2 2 小时小时, ,试求在一昼夜内，任一船试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率到达时，需要等待空出码头的概率. .解解: : 设船设船1 1 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为 x x ，
45、0 0 x 24 x 24 船船2 2 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为 y y ，0 0 y y 24 0 , ) 0 , 则则 称称P(AB)/P(A)P(AB)/P(A) 为事件为事件 A A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B B 发生的发生的条件概率条件概率，记为，记为定义定义: :1.4.2 1.4.2 条件概率的定义条件概率的定义例例1.4.11.4.1 表表1.51.5给出乌龟的寿命表给出乌龟的寿命表. .寻求下面一些事件寻求下面一些事件的条件概率的条件概率. . 表表1.51.5乌龟的寿命表乌龟的寿命表年龄年龄( (岁岁) )存活概率存活概率年龄（岁）年龄（岁）存活概率存活
46、概率0 01.001.001401400.700.7020200.920.921601600.610.6140400.900.901801800.510.5160600.890.892002000.390.3980800.870.872202200.080.081001000.830.832402400.0040.0041201200.780.782602600.00030.0003 （1 1）活到）活到6060岁的乌龟再活岁的乌龟再活4040年的概率是多少？年的概率是多少？（2 2）2020岁的乌龟能活到岁的乌龟能活到9090岁的概率是多少岁的概率是多少? ?( (书书1414页页) )1.
47、4.3 1.4.3 条件概率的性质条件概率的性质q 非负性非负性q 规范性规范性 q 可列可加性可列可加性 q q q 利用条件概率求积事件的概率即利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式推广推广1.4.4 1.4.4 乘法公式乘法公式 某厂生产的灯泡能用某厂生产的灯泡能用10001000小时的概率为小时的概率为0.8, 0.8, 能用能用15001500小时的概率为小时的概率为0.4 , 0.4 , 求已用求已用10001000小小时的灯泡能用到时的灯泡能用到15001500小时的概率小时的概率. .解解 令令 A A 灯泡能用到灯泡能用到10001000小时小时 B B 灯泡能用到灯泡
48、能用到15001500小时小时所求概率为所求概率为例例1.4.21.4.2例例1.4.3 1.4.3 某批产品中，甲厂生产的产品占某批产品中，甲厂生产的产品占60%60%，已知，已知甲厂的产品的次品率为甲厂的产品的次品率为10%10%，从这批产品中随意的抽取，从这批产品中随意的抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。解解: :设设表示事件表示事件“产品是甲厂生产的产品是甲厂生产的”， 表示事件表示事件“产品是次品产品是次品” ” 由题设知由题设知根据乘法公式，有根据乘法公式，有例例1.4.41.4.4 一批产品一批产品100100件件7070件正品件正品
49、3030件次品件次品甲厂生产甲厂生产4040件件乙厂生产乙厂生产3030件件甲厂生产甲厂生产2020件件乙厂生产乙厂生产1010件件从中任取从中任取1 1件件, ,记记A=“A=“取到正品取到正品”,B=“”,B=“取到甲厂产品取到甲厂产品”, ”, 试计算试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解解: : 例例1.4.51.4.5 从混有从混有5 5张假钞的张假钞的2020张百元钞票中任意抽出张百元钞票中任意抽出2 2张张, , 将其中将其中1 1张放到验钞机上检验发现是假钞张放到验钞机上检验发现是假钞.
50、. 求求2 2 张都是假钞的概率张都是假钞的概率. . 解解: : 令令 A A 表示表示“抽到抽到2 2 张都是假钞张都是假钞”.”. B B表示表示“2 “2 张中至少有张中至少有1 1张假钞张假钞”则所求概率是则所求概率是 （而不是（而不是 ！）！）. .所以所以 例例4.4.64.4.6 盒中装有盒中装有5 5个产品个产品, , 其中其中3 3个一等品，个一等品，2 2个二个二等品等品, , 从中不放回地取产品从中不放回地取产品, , 每次每次1 1个个, , 求求: :（1 1）取两次，两次都取得一等品的概率）取两次，两次都取得一等品的概率; ;（2 2）取两次，第二次取得一等品的概
51、率）取两次，第二次取得一等品的概率; ;（3 3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率; ;（4 4）取两次，已知第二次取得一等品，求）取两次，已知第二次取得一等品，求: : 第一次取得的是二等品的概率第一次取得的是二等品的概率. .解解: : 令令 A Ai i 为第为第 i i 次取到一等品次取到一等品（1 1）(3)(3)提问：第三次才取得一等品的概率提问：第三次才取得一等品的概率, , 是是（2 2）直接解更简单）直接解更简单（2 2）(4)(4) 例例4.4.7 4.4.7 某人外出旅游两天某人外出旅游两天, , 需知道两天的天气情需知道两天的天气情况况
52、, , 据预报据预报, , 第一天下雨的概率为第一天下雨的概率为 0.6, 0.6,第二天下第二天下雨的概率为雨的概率为0.3, 0.3, 两天都下雨的概率为两天都下雨的概率为0.1. 0.1. 求求 第一天下雨时第一天下雨时, , 第二天不下雨的概率第二天不下雨的概率. .解解: : 设设A A1 1与与A A2 2 分别表示第一与第二天下雨分别表示第一与第二天下雨条件概率与无条件概率条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系之间的大小无确定关系上例中上例中若若一般地一般地 人人们们在在计计算算某某一一较较复复杂杂的的事事件件的的概概率率时时，有有时时根根据据事事件件在在不不同同情情况况或或不
53、不同同原原因因或或不不同同途途径径下下发发生生而而将将它它分分解解成成两两个个或或若若干干互互不不相相容容的的部部分分的的并并，分分别别计计算算概概率率，然然后后求求和和. .全全概概率率公公式式是是概概率率论论中中的的一一个个基基本本公公式式，它它使使一一个个复复杂杂事事件件的的概概率率计计算算问问题题化化繁繁就就简简，得以解决得以解决. . 例例4.4.8 4.4.8 人人们们为为了了了了解解一一支支股股票票未未来来一一定定时时期期内内价价格格的的变变化化，往往往往会会去去分分析析影影响响股股票票的的基基本本因因素素，比比如如利利率率的的变变化化. .现现在在假假设设人人们们经经分分析析估
54、估计计利利率率下下调调的的概率为概率为60%,60%,利率不变的概率利率不变的概率为为40%.40%.根据经验根据经验, ,人们人们1.4.5 1.4.5 全概率公式全概率公式估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为率为80%80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为率为40%40%，求该支股票将上涨的概率，求该支股票将上涨的概率. .解解: : 记为事件记为事件“利率下调利率下调”，那么即为，那么即为“利率不变利率不变” ” ，记为事件，记为事件“股票价格上涨股票价格上涨”.”.据题设知据题设
55、知 于是于是=60%80%+40%40%=64%=60%80%+40%40%=64%定义定义 把基本空间分为个事件，假如把基本空间分为个事件，假如（1 1）（2 2） 互不相容互不相容（3 3）则称事件组则称事件组 为基本空间的一个为基本空间的一个分割分割. .B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4B B5 5定定理理1.4.31.4.3 设设 是是基基本本空空间间 的的一一个个分割分割, ,则对则对 中任一事件中任一事件 ，有，有 上述公式称为上述公式称为全概率公式全概率公式. . 证明：由事件运算知（见图证明：由事件运算知（见图1.21.2） 由由 互互不不相相容容，可可导导出出
56、 亦亦 互不相容，再由可加性和乘法公式可得互不相容，再由可加性和乘法公式可得这个定理的运用关键在于寻找一个合适的分割，使诸这个定理的运用关键在于寻找一个合适的分割，使诸概率和条件概率容易求得概率和条件概率容易求得. .注注：在化学上，可以观察到与全概率公式相类似的下在化学上，可以观察到与全概率公式相类似的下述问题：假设我们有个烧杯，盛有同一种酸的不同浓述问题：假设我们有个烧杯，盛有同一种酸的不同浓度的溶液，总量为度的溶液，总量为1 1千克，设为第个烧杯的容积，为千克，设为第个烧杯的容积，为第个烧杯的溶液的浓度如果我们把全部溶液混合到第个烧杯的溶液的浓度如果我们把全部溶液混合到一起，并令表示混合
57、溶液的浓度，于是得到一起，并令表示混合溶液的浓度，于是得到例例4.4.94.4.9 ( (敏感性问题的调查敏感性问题的调查) ) 学生考试作弊会严重影学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所占比率体学生中所占比率P P是一件难事，这里关键是要设计一是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统个人秘密，
58、经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。两个问题。问题问题1 1：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前？日之前？问题问题2 2：你是否在考试时作过弊？：你是否在考试时作过弊？被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜色后再放回，若抽出白球则回答问题色后再放回，若抽出白球则回答问题1 1；若抽出红球则；若抽出红球则回答问题回答问题2 2，罐中只
59、有白球与红球，且红球的比率，罐中只有白球与红球，且红球的比率 是是已知的，即已知的，即 P( P(红球红球)=)= ， P( P(白球白球)=1- )=1- 被被调调查查者者无无论论回回答答问问题题1 1还还是是问问题题2 2，只只需需在在下下面面答答卷卷上上认认可可的的方方框框内内打打勾勾，然然后后将将答答卷卷放放入入一一只只密密封封的的投投票箱内票箱内. .是是 否否 答案答案上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾，球和在什么地方打勾， 如如果果向向被
60、被调调查查者者讲讲清清楚楚这这个个方方案案的的做做法法，并并严严格格执执行行，那那么么就就容容易易被被调调查查者者确确信信他他（她她）参参加加这这次次调调查查不不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查会泄露个人秘密，从而愿意参加调查. . 当当有有较较多多的的人人参参加加调调查查后后，就就可可以以打打开开投投票票箱箱进进行行统统计计. .设设有有 张张答答卷卷，其其中中 张张答答“是是”，于于是是回回答答“是是”的比率是的比率是 ，可用频率，可用频率 去估计，记为去估计，记为( (是是)= )= ， 这里答这里答“是是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题有两种情况：一种是摸到白球后回答问题1 1答
61、答“是是”，这是一个条件概率，它是，这是一个条件概率，它是“生日是否在生日是否在7 7月月1 1日之前日之前”的概率，一般认为是的概率，一般认为是0.50.5，即，即 ( (是是 )=0.5 )=0.5另一种是摸到红球后回答问题另一种是摸到红球后回答问题2 2答答“是是”，这，这也是一个条件概率，它不是别的，就是考试作弊同学也是一个条件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中所占比率在全体学生中所占比率 ，即，即( (是是 )= )= 最最后后利利用用全全概概率率公公式式把把上上述述各各项项概概率率（或或其其估计值）联系起来估计值）联系起来( (是是)= ()= (是白球是白球) ()
62、(白球白球)+ ()+ (是红球是红球) () (红球红球) )由此可获得感兴趣的比率由此可获得感兴趣的比率 = =注：注：像这类敏感性问题的调查是社会调查中的一像这类敏感性问题的调查是社会调查中的一类，如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、类，如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、学生中看黄色书籍的比率等都可以参照此方法组学生中看黄色书籍的比率等都可以参照此方法组织调查，获得感兴趣的比率织调查，获得感兴趣的比率. .上述公式称为上述公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式设设是随机试验是随机试验E E的样本空间的样本空间, ,事件组事件组 A A1 1,A,A2 2,A,An n满足满足: :则则
63、对于任何一个正概率事件对于任何一个正概率事件B B，有，有 1.4.6 1.4.6 贝叶斯贝叶斯(Bayes)(Bayes)公式公式在在实实际际应应用用中中用用于于解解决决下下面面类类型型的的问问题题. .假假设设事事件件组组 为为 为为基基本本空空间间 的的一一个个分分割割，并并且且假假设设已已知知它它们们的的概概率率 ，事事件件 在在随随机机试试验验中中不不能能或或没没有有直直接接观观察察到到，只只能能观观察察到到与与这这些些事事件件相相联联系系的的某某事事件件 , ,事事件件 必必与与事事件件 之之 一一相相伴伴随随而而出出现现，并并且且已已知知条条件件概概率率 . .假假设设在在试试验
64、验中中出出现现了了事事件件 , ,要要求求在在此此条条件件下下对对事事件件 出出现的可能性做出判断，即求出它们关于现的可能性做出判断，即求出它们关于 的条件概率的条件概率 , ,通通常常称称 为为 的的验验前前概概率率，而而称称 为为 的的验后概率验后概率. .例例4.4.10 4.4.10 每箱产品有每箱产品有1010件件, ,其中次品数从其中次品数从0 0到到2 2是等是等可能的可能的. .开箱检验时开箱检验时, ,从中依次抽取两件从中依次抽取两件( (不重复不重复),),如如果发现有次品果发现有次品, ,则拒收该箱产品则拒收该箱产品. .试计算试计算:(1):(1)一箱产品一箱产品通过验
65、收的概率通过验收的概率;(2);(2)已知该箱产品通过验收已知该箱产品通过验收, ,则该箱则该箱产品中有产品中有2 2个次品的概率个次品的概率. .解解(1) P(B)= P(A(1) P(B)= P(A0 0)P(B|A)P(B|A0 0) +P(A) +P(A1 1)P(B|A)P(B|A1 1)+ P(A)+ P(A2 2)P(B|A)P(B|A2 2) )B1BnAB1AB2ABn全概率公式全概率公式ABayes公式公式 全概率公式与全概率公式与Bayes 公式公式B2例例4.4.11 4.4.11 由于随机干扰由于随机干扰, , 在无线电通讯中发出信号在无线电通讯中发出信号“ ”,
66、“ ”, 收到信号收到信号“ ”,“ ”,“不清不清”,“ ” ”,“ ” 的的概率分别为概率分别为0.7, 0.2, 0.1; 0.7, 0.2, 0.1; 发出信号发出信号“ ”,“ ”,收到收到“ ”,“ ”,“不清不清”,“ ”,“ ”的概率分别为的概率分别为0.0, 0.0, 0.1, 0.9.0.1, 0.9.已知在发出的信号中已知在发出的信号中, “ ”, “ ”和和“ “ ”出现的概率分别为出现的概率分别为0.6 0.6 和和 0.4 , 0.4 , 试分析试分析, , 当收到当收到信号信号“不清不清”时时, , 原发信号为原发信号为“ ”“ ”还是还是“ ”“ ”的概率的概率
67、 哪个大？哪个大？解解: : 设原发信号为设原发信号为“ ” “ ” 为事件为事件 B B1 1 原发信号为原发信号为“ ”“ ”为事件为事件 B B2 2收到信号收到信号“不清不清” ” 为事件为事件 A A已知：已知：可见可见, , 当收到信号当收到信号“不清不清”时时, , 原发信号为原发信号为“ ”“ ”的可能性大的可能性大1.5 1.5 事件的独立性与相关性事件的独立性与相关性1.5.1 1.5.1 两个事件的独立性与相关性两个事件的独立性与相关性1.5.2 1.5.2 有限个事件的独立性有限个事件的独立性 1.5.3 1.5.3 相互独立事件的性质相互独立事件的性质1.5.4 Be
68、rnoulli1.5.4 Bernoulli概型概型例如例如 箱中装有箱中装有1010件产品件产品:7:7件正品件正品,3,3件次品件次品, ,甲买走甲买走1 1件件正品正品, ,乙要求另开一箱乙要求另开一箱, ,也买走也买走1 1件正品件正品. .记甲取到正品为事件记甲取到正品为事件A,A,乙取到正品为事件乙取到正品为事件B,B,则则由乘法公式即得由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)从问题的实际意义理解，就是说事件从问题的实际意义理解，就是说事件A A和事件和事件B B出现的出现的概率彼此不受影响概率彼此不受影响. .1.5.1 1.5.1 两个事件的独立性
69、与相关性两个事件的独立性与相关性定义定义: : 若事件若事件A A与与B B满足满足 P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=P(A)P(B), 则称则称A A与与B B相互独立，简称相互独立，简称A A与与B B独立独立。 推论推论1:1: A.B A.B为两个事件为两个事件, ,若若P(A)0,P(A)0, 则则A A与与B B独立等价于独立等价于P(B|A)=P(B).P(B|A)=P(B). 若若P(B)0,P(B)0, 则则A A与与B B独立等价于独立等价于P(A|B)=P(A).P(A|B)=P(A).证明：证明：A.BA.B独立独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)
70、P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B) P(B|A)=P(B)注意注意: :从直观上讲从直观上讲,A,A与与B B独立就是其中任何一个事件出独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响现的概率不受另一个事件出现与否的影响. .证明证明 不妨设不妨设A.BA.B独立独立, ,则则其他类似可证其他类似可证. . 推论推论2:2:在在 A A与与 B, B, 与与 B,A B,A与与 ，与，与 这四对事件中这四对事件中, , 若有一对独立若有一对独立, ,则另外三对也相互独立。则另外三对也相互独立。 注意注意: : 判断事件的独立性一般有
71、两种方法判断事件的独立性一般有两种方法: : 由定义判断由定义判断, ,是否满足公式是否满足公式; ; 由问题的性质从直观上去判断由问题的性质从直观上去判断. .例例1.5.11.5.1 某高校的一项调查表明：该校有某高校的一项调查表明：该校有30%30%的学生的学生 视力有缺陷视力有缺陷. 7%. 7%的学生听力有缺陷，的学生听力有缺陷，3%3%的学生视力与听的学生视力与听力都有缺陷，记力都有缺陷，记=“=“学生视力有缺陷学生视力有缺陷”，=“=“学生听力有缺陷学生听力有缺陷”，=“=“学生听力与视力都有缺陷学生听力与视力都有缺陷”，现在来研究下面三个问题：现在来研究下面三个问题：（1 1）
72、事件）事件与与是否独立？是否独立？ 由于由于 所以事件所以事件与与不独立，即该校学生视力与听力不独立，即该校学生视力与听力缺陷有关联缺陷有关联. .（2 2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺陷的概率是多少？陷的概率是多少？ 这要求计算条件概率这要求计算条件概率, ,由定义知由定义知（3 3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？陷的概率是多少？类似地可算条件概率类似地可算条件概率定义定义 设设称称 为事件为事件与与的的相关系数相关系数 定理定理1.5.11.5.1 (1) (1
73、)当且仅当当且仅当与与相互独立；相互独立； (3) (3) (2)(2); ;定义定义 (n (n个事件的相互独立性）个事件的相互独立性） 设有设有n n个事个事A A1 1,A,A2 2,A,An n, ,若对任何正整数若对任何正整数m(2mn)m(2mn)以及以及则称这则称这n n个事件相互独立个事件相互独立. .若上式仅对若上式仅对m=2m=2成立成立, ,则称这则称这n n个事件两两独立个事件两两独立. .注意注意: : 从直观上讲从直观上讲,n,n个事件相互独立就是其中任何一个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否个事件出现的概率不受其余一个或几个事
74、件出现与否的影响的影响. .1.5.2 1.5.2 有限个事件的独立性有限个事件的独立性例例1.5.2 1.5.2 随机投掷编号为随机投掷编号为 1 1 与与 2 2 的两个骰子事件的两个骰子事件 A A 表示表示1 1号骰子向上一面出现奇数号骰子向上一面出现奇数,B ,B 表示表示2 2号骰子向号骰子向上一面出现奇数上一面出现奇数,C ,C 表示两骰子出现的点数之和为奇表示两骰子出现的点数之和为奇数数. . 则则但但本例说明本例说明 不能由不能由 A, B, C A, B, C 两两独立两两独立A, B, C A, B, C 相互独立相互独立 1.5.3 1.5.3 相互独立事件的性质相互独
75、立事件的性质性质性质1 1 如果如果个事件个事件相互独立，则相互独立，则个事件改为相应的对立事个事件改为相应的对立事个事件仍然相互独立个事件仍然相互独立. .将其中任何将其中任何件，形成新的件，形成新的性质性质2 2 如果如果个事件个事件相互独立，则有相互独立，则有 例例1.5.31.5.3 三个元件串联的电路中三个元件串联的电路中, ,每个元件发生断电每个元件发生断电的概率依次为的概率依次为0.3,0.4,0.6,0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独且各元件是否断电相互独立立, ,求电路断电的概率是多少求电路断电的概率是多少? ?解解 设设A A1 1,A,A2 2,A,A3 3分
76、别表示第分别表示第1,2,31,2,3个元件断电个元件断电 , , A A表示电路断电表示电路断电, ,则则A A1 1,A,A2 2,A,A3 3相互独立相互独立,A= A,A= A1 1+A+A2 2+A+A3 3, ,P(A)=P(AP(A)=P(A1 1+A+A2 2+A+A3 3)=)=1-0.168=0.832=1-0.168=0.832例例1.5.4 1.5.4 已知事件已知事件 A, B, C A, B, C 相互独立相互独立, ,证明证明: :事件事件与与也相互独立也相互独立. .证证事件事件例例1.5.5 1.5.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为设每个人的血清中含肝炎
77、病毒的概率为0.4%, 0.4%, 求来自不同地区的求来自不同地区的100100个人的血清混合液中个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率含有肝炎病毒的概率. .解解: :设这设这100 100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为个人的血清混合液中含有肝炎病毒为 事件事件 A, A, 第第 i i 个人的血清中含有肝炎病毒为事个人的血清中含有肝炎病毒为事件件 A Ai i (i =1,2,100 ). (i =1,2,100 ). 则则若若B Bn n表示表示 n n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则 不能忽视小概率事件不能忽视小概率事件, , 小概率事件迟早要发
78、生小概率事件迟早要发生 一个元件一个元件( (或系统或系统) )能正常工作的概率称为元件能正常工作的概率称为元件( (或系统或系统) )的可靠性的可靠性. .系统由元件组成系统由元件组成, ,常见的元件连接方式：常见的元件连接方式：串联串联并联并联1 12 22 21 1 系统的可靠性问题系统的可靠性问题例例1.5.51.5.5设两系统都是由设两系统都是由 4 4 个元件组成个元件组成, ,每个元件正常工作每个元件正常工作的概率为的概率为 p p , , 每个元件是否正常工作相互独立每个元件是否正常工作相互独立. .两两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性系统的连接方式如下图所示，比较
79、两系统的可靠性. .A A1 1A A2 2B B2 2B B1 1S S1 1: :A1A2B2B1S2:例例1.5.61.5.6 某射手在相同条件下独立地进行某射手在相同条件下独立地进行5 5次射击次射击, ,每次每次击中目标的概率是击中目标的概率是0.6,0.6,求：概率最大的击中目标次数求：概率最大的击中目标次数. .解解 击中目标次数可能取值为击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,设设B Bi i(i=0,1,5)(i=0,1,5)表示击中目标表示击中目标i i次次, ,事件事件A Ai i表示第表示第i i次射中次射中,(i=1,2,.,5),(i=
80、1,2,.,5),则则A Ai i (i=1,2,.,5)(i=1,2,.,5)相互独立相互独立, ,P(BP(B0 0)=)=(1-0.6)=(1-0.6)5 5=0.4=0.45 5P(BP(B1 1)=)=50.6(1-0.6)=50.6(1-0.6)4 4例例1.5.6 1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行某射手在相同条件下独立地进行5 5次射击次射击, ,每次每次击中目标的概率是击中目标的概率是0.6,0.6,求：概率最大的击中目标次数求：概率最大的击中目标次数. .即即(i=0,1,2,3,4,5)(i=0,1,2,3,4,5)类推得类推得P(BP(B3 3) )P(BP(B4
81、 4) )P(BP(B5 5) )P(BP(B2 2) )解解 击中目标次数可能取值为击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,设设B Bi i(i=0,1,5)(i=0,1,5)表示击中目标表示击中目标i i次次, ,事件事件A Ai i表示第表示第i i次射中次射中,(i=1,2,.,5),(i=1,2,.,5),则则A Ai i (i=1,2,.,5)(i=1,2,.,5)相互独立相互独立, ,易计算：概率最大的击中目标次数为易计算：概率最大的击中目标次数为3.3.一般地：设射击次数为一般地：设射击次数为n n，每次射击击中目标，每次射击击中目标的概率为的概率
82、为p p，则：，则： 当（当（n+1n+1）p p为整数时，概率为整数时，概率最大的击中目标次数为最大的击中目标次数为(n+1)p(n+1)p和和(n+1)p-1;(n+1)p-1;当当（n+1n+1）p p不为整数时，概率最大的击中目标不为整数时，概率最大的击中目标次数为次数为(n+1)p(n+1)p的整数部分的整数部分. . 若某个试验由若某个试验由n n次基本试验构成次基本试验构成, ,且具有以下特点且具有以下特点: : (1) (1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败; ; (2) (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变每次
83、基本试验中每个结果出现的概率不变; ; (3) (3) 基本试验之间相互独立基本试验之间相互独立; ; (4) (4) 在相同条件下在相同条件下, ,试验可以重复进行试验可以重复进行. .则称此试验为独立重复试验或贝努里则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验; ;由由于该试验由于该试验由n n次基本试验构成次基本试验构成, ,故亦称之为故亦称之为n n重贝努里试验重贝努里试验. .贝努里公式贝努里公式 在在n n重贝努里试验中重贝努里试验中, ,如果如果“成功成功”在每在每次试验中出现的概率为次试验中出现的概率为p,p,令令B Bk k=“=“在在
84、n n 次试验中次试验中“成功成功”出现出现k k 次次”,”,则则1.5.4 Bernoulli1.5.4 Bernoulli概型概型例例1.5.71.5.7 同时掷四颗均匀的骰子同时掷四颗均匀的骰子, ,试计算试计算: : (1) (1) 恰有一颗是恰有一颗是6 6点的概率点的概率; ; (2) (2) 至少有一颗是至少有一颗是6 6点的概率点的概率. . 解解: : 这是一个这是一个4 4重贝努里试验重贝努里试验, , 掷每一颗骰子就是一个基本试验掷每一颗骰子就是一个基本试验. .每次基本试验中每次基本试验中6 6点出现的概率是点出现的概率是1/6,1/6,所以所以(1) (1) 恰有一
85、颗是恰有一颗是6 6点的概率为点的概率为(2) (2) 至少有一颗是至少有一颗是6 6点的概率为点的概率为 例例1.5.8 1.5.8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹炮弹, ,若有不少于若有不少于2 2发炮弹命中目标时发炮弹命中目标时, ,目标就被击目标就被击毁毁. .如果每门炮命中目标的概率为如果每门炮命中目标的概率为0.6, 0.6, 求目标被求目标被击毁的概率击毁的概率. . 解解 设一门炮击中目标为事件设一门炮击中目标为事件A, P(A) = 0.6A, P(A) = 0.6设目标被击毁为事件设目标被击毁为事件B B, , 则则解解: : 设取
86、出的设取出的5 5个数按由小到大排列为个数按由小到大排列为令令表示所求的事件表示所求的事件1,1,2,3,3;1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;1,1,2,3,4; 所取的所取的5 5个数字中至少有个数字中至少有3 3个数字不大于个数字不大于4 4例例1.5.9 1.5.9 从从1,2,1,2, , ,1010十个数字中有放回地任取十个数字中有放回地任取5 5个个数字数字, , 求取出的求取出的5 5个数字中按由小个数字中按由小 到大排列到大排列, , 中间中间的那个数等于的那个数等于 4 4 的概率的概率. .1,1,4,4,5;1,1,4,4,5;1,1,4,5,8;1,1,4,5,8;令令 A Ak k 表示所取的表示所取的5 5个数字中恰有个数字中恰有k k 个不大于个不大于4 4则则由于由于补充作业题补充作业题: : 某型号火炮的命中率为某型号火炮的命中率为0.80.8，现有一架敌机，现有一架敌机即将入侵，如果欲以即将入侵，如果欲以 99.9 % 99.9 % 的概率击中它，则的概率击中它，则需配备此型号火炮多少门？需配备此型号火炮多少门？解答解答: : 设需配备设需配备 n n 门此型号火炮门此型号火炮设事件设事件 表示第表示第 i i 门火炮击中敌机门火炮击中敌机故需配备故需配备 5 5 门此型号火炮门此型号火炮. .
