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1、天津大学船舶与海洋工程天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第二课件结构力学课件第二课件1 2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分梁的弯曲微分方程式及其积分基本概念：基本概念： 梁：梁：单跨梁：单跨梁：基本假设：基本假设：平断面假设。（在纯弯曲条件下严格满足）平断面假设。（在纯弯曲条件下严格满足）符号法则：符号法则：梁的挠度梁的挠度v 向下为正。向下为正。梁的断面转角梁的断面转角dv/dx顺时针方向为正。顺时针方向为正。梁断面的弯矩梁断面的弯矩M 在左断面逆时针方向为正，右断面顺时在左断面逆时针方向为正，右断面顺时 方向为正。方向为正。梁端面的剪力梁端面的剪力N 在左断面向下为正，在右断面向上为正。
2、在左断面向下为正，在右断面向上为正。本节寻求梁挠度曲线方程式的基本方法：初参数法本节寻求梁挠度曲线方程式的基本方法：初参数法仅在两端有支座支持的梁，称之为仅在两端有支座支持的梁，称之为“单跨梁单跨梁”。受横向外载荷作用而发生弯曲变形的杆件。受横向外载荷作用而发生弯曲变形的杆件。分析分析Oblxyq(x)POblxyacxd现应用这个概念于在跨度中受现应用这个概念于在跨度中受集中力作用的梁。集中力作用的梁。mPOxbcyad综上所述，如图综上所述，如图对于一般荷重作对于一般荷重作用下的挠曲线方用下的挠曲线方程式可表示如下：程式可表示如下：q(x)m由由 2-2 梁的支座及边界条件梁的支座及边界条
3、件自由支持在刚性支座上自由支持在刚性支座上如图：如图：刚性固定在刚性支座上刚性固定在刚性支座上如图如图: RR弹性支座弹性支座vvAA左端断面：左端断面：右端断面：右端断面：l弹性支座边界条件为：弹性支座边界条件为：l自由支持在弹性支座自由支持在弹性支座 上的边界条件为：上的边界条件为：l刚性固定在弹性支座刚性固定在弹性支座 上的边界条件为：上的边界条件为：弹性固定端弹性固定端MM等等价价于于节点受到的力节点受到的力梁受到的力大小相等方向相反梁受到的力大小相等方向相反MM柔度系数：单位弯矩引起的转动角度。柔度系数：单位弯矩引起的转动角度。刚度系数：单位位移引起的力矩刚度系数：单位位移引起的力矩
4、l左端断面：左端断面：l右端断面：右端断面：l弹性固定端边界条件为弹性固定端边界条件为：l梁端弹性固定在刚性支座上：梁端弹性固定在刚性支座上：l弹性固定在弹性支座上：弹性固定在弹性支座上：l如果如果 ，表示是完全自由端，表示是完全自由端qOylx例例1 如图，求两端自由支如图，求两端自由支持在刚性支座上，受均布持在刚性支座上，受均布荷重作用的梁的挠曲线荷重作用的梁的挠曲线解：解：边界条件：边界条件：该题特点：静定结构，可直接得到节点上的约束反力：该题特点：静定结构，可直接得到节点上的约束反力：讨论：本梁约束的特点、位移的特点、内力分布的特点讨论：本梁约束的特点、位移的特点、内力分布的特点若梁两
5、端为自由支持在弹性支座的边界，挠曲线及内力分布如何？若梁两端为自由支持在弹性支座的边界，挠曲线及内力分布如何？若改变梁两端弹性支座的刚度系数或柔度系数，挠曲线及内力分布如何？若改变梁两端弹性支座的刚度系数或柔度系数，挠曲线及内力分布如何？PAxy 例例2 如图，如图， 求受集中力作用的求受集中力作用的单跨梁的挠曲线方程式。梁的单跨梁的挠曲线方程式。梁的左端为弹性固定端，柔性系数左端为弹性固定端，柔性系数为为 ；梁的右端；梁的右端为弹性支座，柔性系数为为弹性支座，柔性系数为解：解：x=0处的边界条件为处的边界条件为:x=l处的边界条件为处的边界条件为:=0讨论：梁为超静定结构，弹性固定端及弹性支
6、座的柔度系数变化讨论：梁为超静定结构，弹性固定端及弹性支座的柔度系数变化 对位移及梁内力分布会产生什么影响？对位移及梁内力分布会产生什么影响？xyl例例3 如图，如图，两端刚性固定的两端刚性固定的梁，不受外荷重，当其由支梁，不受外荷重，当其由支座发生位移座发生位移 时，求其挠曲时，求其挠曲线与断面弯矩与剪力。线与断面弯矩与剪力。因左端为刚性固定，因左端为刚性固定，故故 所以：所以：当当x=L时，时，故故解得：解得：挠曲线方程式为：挠曲线方程式为：梁两端剪力均为：梁两端剪力均为：梁两端弯矩均为：梁两端弯矩均为：讨论弯矩图与剪力图的分布特点讨论弯矩图与剪力图的分布特点 2-3 梁的弯曲要素表及应力
7、计算梁的弯曲要素表及应力计算单跨梁的弯曲要素表单跨梁的弯曲要素表 由于目前梁的弯曲公式是在小变形与材料符合胡克定律的前由于目前梁的弯曲公式是在小变形与材料符合胡克定律的前提下导得的，所以梁的弯曲要素与梁上的外载荷成正比，或梁的提下导得的，所以梁的弯曲要素与梁上的外载荷成正比，或梁的弯曲要素与外力成线性关系。这样，如果梁上受到几种不同的外弯曲要素与外力成线性关系。这样，如果梁上受到几种不同的外力作用时，就可以用力作用时，就可以用 “叠加原理叠加原理”（Principle of superposition)来来进行计算。进行计算。PvM例例1 如图，求梁中点挠度、端点如图，求梁中点挠度、端点转角并
8、画出梁的弯矩图、剪力图。转角并画出梁的弯矩图、剪力图。梁上所受的外力为集中外弯矩梁上所受的外力为集中外弯矩m及及集中力集中力P,并已知并已知m= 0.2Pl。解：解：将此梁分为一个仅受外弯矩将此梁分为一个仅受外弯矩m的梁及一个仅受集中力的梁及一个仅受集中力P的梁，的梁，叠加起叠加起来得：来得：Pvmv1v2m0.15Pl0.2Pl0.2Pl0.25Pl0.7P0.3P0.2P0.5P0.5PPQ例例2 如图，计算一端刚性固定另一端自如图，计算一端刚性固定另一端自由支持梁的中点挠度，右端转由支持梁的中点挠度，右端转 角并画出角并画出梁的弯矩、剪力图。梁的弯矩、剪力图。解：解：PPQMPQPQM弯
9、矩图弯矩图剪力图剪力图m例例3 计算如图两端刚性固计算如图两端刚性固定梁的弯曲要素定梁的弯曲要素解：解：mM1M2AP例例4 计算如图一端弹性固定，计算如图一端弹性固定，另一端弹性支座梁的中点挠另一端弹性支座梁的中点挠度、端点转角并画出弯矩、度、端点转角并画出弯矩、剪力图。剪力图。v1Pm已知已知解：解：先求出弹性固先求出弹性固定段弯矩：定段弯矩：梁化为：梁化为：v1APPm梁的应力梁的应力l断面距中性轴断面距中性轴y处的正应力为处的正应力为l如下图梁的剪应力产生的原因如下图梁的剪应力产生的原因 矩形断面：矩形断面：式中：式中：圆断面：圆断面：矩形断面：矩形断面：的的薄壁断面：薄壁断面：(a)剪流剪流(b)S图图从而从而中性轴处剪中性轴处剪应力最大：应力最大：yyzzs(a)剪流剪流(b)S图图工字形断面工字形断面最大剪应力为：最大剪应力为：具有对称轴的闭口薄壁盒形断面具有对称轴的闭口薄壁盒形断面Aw为腹板面积为腹板面积结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！32
