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1、屈曲分析屈曲分析Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual1、结构稳定性背景很多结构需要评价它们的结构稳定性，细柱体、压杆和真空罐都是稳定性非常重要的结构的例子。在不稳定性(屈曲)的开始, 在载荷没有实质性变化的情况下(除了一个小的载荷扰动), 结构的位移将有一个非常大的变化u。FF稳定稳定不稳定不稳定Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual1、结构稳定性背景当增加轴向载荷(F)时, 一个理想化
2、的端部固定的柱体将呈现下述行为。uF 分叉点分叉点稳定平衡稳定平衡中性平衡中性平衡不稳定平衡不稳定平衡FcrFFuAdvanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual1、结构稳定性背景分叉点分叉点 是载荷历程中的一点, 该点可能存在两个分支解。在理想化的端部固定柱体的情况下, 在临界载荷(Fcr)下, 柱体可向左或向右屈曲，因此可能存在两个载荷路径。 在实际结构中, 几何缺陷的存在或力的扰动(P 0) 将决定载荷路径的方向。FFuPAdvanced Contact & FastenersAdvanced
3、Contact & FastenersTraining Manual1、结构稳定性背景稳定、不稳定及中性平衡考虑下图所示球的平衡，若表面向上凹, 平衡是稳定的, 扰动时, 球返回初始位置。若表面向下凹, 平衡是不稳定的, 扰动时, 球将滚开。若表面是平的, 球处于中性平衡, 扰动时, 钢球将保持在新的位置。 稳定稳定 不稳定不稳定 中性中性临界载荷当 F Fcr 时, 柱体处于不稳定平衡状态, 任何扰动力将引起坍塌。 当 F = Fcr 时, 柱体处于中性平衡状态，把这个力定义为临界载荷。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & Fasten
4、ersTraining Manual1、结构稳定性背景极限载荷在实际结构中, 很难达到临界载荷，因为扰动和非线性行为, 低于临界载荷时结构通常变得不稳定。uF 分叉点分叉点Fcr实际的结构响应实际的结构响应, 低于临界载低于临界载荷时出现不稳定性。荷时出现不稳定性。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual2、线性特征值屈曲前屈曲和坍塌载荷分析的分析技术包括:线性特征值屈曲非线性屈曲分析Fu理想载荷路径理想载荷路径有缺陷结构的载荷路径有缺陷结构的载荷路径 前屈曲前屈曲线性特征线性特征 值屈曲值屈
5、曲非线性屈曲非线性屈曲特征值屈曲分析 预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度(分叉点)特征值公式决定结构的分叉点，该方法与线弹性屈曲分析的教科书所述方法一致。Euler 柱体的特征值屈曲解与经典Euler 解吻合。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual2、线性特征值屈曲然而, 缺陷和非线性行为阻止大多数实际结构达到理想的弹性屈曲强度，特征值屈曲一般产生非保守 解, 使用时应谨慎。理想载荷路径理想载荷路径有缺陷结构的载荷路径有缺陷结构的载荷路径Fu 前屈曲前屈曲 分叉点分叉点极限载荷尽管特征值
6、屈曲一般产生非保守的结果, 线性屈曲分析仍有两个优点:-相对不费时(快捷)的分析。-为了提供更真实的结果, 屈曲模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual2、线性特征值屈曲线性屈曲分析基于经典的特征值问题。为推导特征值问题, 首先求解线弹性前屈曲载荷状态 P0 的载荷-位移关系，即给定 P0 求解 Keu0= P0 得到u0 =施加载荷 P0 的位移结果s s =与u0对应的应力假设前屈曲位移很小, 在任意 状态下(P, u, s) 增量平衡方程由下式给
7、出D DP = Ke + K s s(s s)D Du式中Ke = 弹性刚度矩阵Ks s (s s)=某应力状态 s s 下计算的初始应力矩阵Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual2、线性特征值屈曲假设前屈曲行为是一个外加载荷 P0 的线性函数,P = lP0u = lu0s = ls0 则可得Ks(s) = lKs(s0)因此, 整个前屈曲范围 内的增量平衡方程变为P = Ke + lKs(s0)u在不稳定性开始 (屈曲载荷Pcr) 时, 在 P 0 的情况下, 结构会出现一个变形 u。把
8、上述表达式 (P 0) 代入前面的前屈曲范围内 的增量平衡方程, 则有Ke + lKs(s0)u = 0上述关系代表经典的特征值问题。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual2、线性特征值屈曲为了满足前面的关系, 必须有:detKe + lKs(s0) = 0在 n 个自由度的有限元模型中, 上述方程产生 l (特征值) 的 n阶多项式，这种情况下特征向量 un 表示屈曲时叠加到系统上的变形，由计算出的 l 最小值给定弹性临界载荷Pcr。Advanced Contact & Fasteners
9、Advanced Contact & FastenersTraining Manual2、线性特征值屈曲Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲下图为一般的非线性载荷变形曲线，该图说明理想载荷路径、有缺陷结构的载荷路径和该结构的实际动态响应。Fu理想载荷路径理想载荷路径有缺陷结构的载荷路径有缺陷结构的载荷路径 实际动态响应实际动态响应前屈曲前屈曲后屈曲后屈曲理想静态行理想静态行为为 分叉点分叉点极限点极限点Advanced Contact & FastenersAdvanc
10、ed Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲有几种分析技术用于计算结构的非线性 静力变形响应，这些技术包括:-载荷控制-位移控制-弧长法载荷控制:如下图所示, 考虑浅拱的快速通过分析，当以增量载荷 (F) 求解该问题时, 求解采用载荷控制来完成。FFFFappu用载荷控制能达到用载荷控制能达到Fapp吗？吗？Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲载荷控制:使用 Newton-Raphson 载荷控制的困难是求解不能通过不稳
11、定点。在不稳定点 (Fcr), 切线刚度矩阵 KT 是奇异的，使用载荷控制, Newton-Raphson 法不收敛。然而, 该类型的分析对描述结构的前屈曲 行为是有用的。FappuFcrKT = 0使用载荷控制只有Fcr 可达到。KT 0Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲位移控制:当拱由增量位移加载时, 与力相反, 采用位移控制 进行求解。位移控制的优点是, 除 Fcr外, 它产生一个稳定的解。(强加的位移在不稳定点提供一个附加约束。)FappuUYUYUY用位移控
12、制用位移控制 能够达到能够达到 Fapp. ( 此时此时 Fapp是强是强加的位移加的位移 UY处的反作处的反作用力。用力。)Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲位移控制:位移控制的缺点是只有在知道施加什么位移时才适用! 如果拱上施加压力载荷, 而不是集中力, 位移控制不可能使用。P对于较复杂的载荷状态, 一般也不清楚施加什么位移。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manua
13、l3、非线性特征值屈曲弧长法:弧长法 是一种求解方法, 用于获得不稳定性问题 (KT 0) 或负的切线刚度 (KT 0) 的数值稳定解。弧长法可用于比例载荷 的静态 问题。尽管弧长法能求解复杂的力-变形响应问题, 但它最适合求解没有突然分叉点的平滑响应问题。FuAdvanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲弧长法:弧长法同时求解载荷和位移, 与 Newton-Raphson 法相似，然而,引入了一个附加的未知项-载荷因子l (-1 l 1)。力平衡方程可重写为,KTu = l F
14、a - Fnr为了容纳附加的未知项, 必须引入一个约束方程-弧长 ，弧长把载荷因子 l 和 弧长迭代中的位移增量 u 相联系。注意若去除约束 , 则弧长法简化为全 Newton-Raphson 法。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲弧长法:观察弧长法和 (完全) Newton-Raphson 法的区别的另一种方法是, Newton-Raphson 法在每一子步使用一个固定的 外加载荷矢量Fa，而弧长法在每一子步使用一个可变的 载荷矢量 lFa。Fu1234Newton
15、-Raphson 法Fu弧长法弧长法1234Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲弧长法:通过圆弧, 弧长法把增量载荷因子 l与增量位移 u 相联系，图示为全 Newton-Raphson弧长法的增量载荷因子 l 和增量位移u。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲弧长法:通过强加弧长迭代以得到沿与平衡路径相交的圆弧收敛, 能够获得经历零或负的刚度行
16、为的结构的解。Fu平衡路径平衡路径ririririri 弧长半径弧长半径 收敛的子步收敛的子步Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲三个非线性屈曲技术的总结:载荷控制、位移控制和弧长法总结如下，这是用于求解非线性静态屈曲问题的三个技术。另一种方法是，可以通过动力学来求解屈曲问题, 后面将讨论。Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲非线性屈曲 分析采用
17、逐渐增加载荷的非线性静态分析, 以搜索在哪个载荷水平下结构开始变得不稳定。使用非线性屈曲分析, 可以包括初始缺陷、塑性行为、接触、大变形响应及其它非线性行为。分叉点分叉点, 特征值屈曲特征值屈曲非线性屈曲非线性屈曲uFAdvanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲非线性屈曲分析的目的是得到第一个极限点(解开始变得不稳定前载荷的最大值)。弧长法能够用于下面的后屈曲行为。非线性屈曲比特征值屈曲更精确, 因此推荐用于设计或结构的评价。uF弧长法弧长法非线性屈曲非线性屈曲第一个极限点第一个极限点Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、非线性特征值屈曲Advanced Contact & FastenersAdvanced Contact & FastenersTraining Manual3、屈曲分析实例
