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1、高等数学方法 第一讲1唯有奋斗最风流!惜时如金2培根说培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。马克思马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学，才算真正发展了。伽利略认为伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，华罗庚华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。科学家语录科学家语录什么也看不清。勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。3华罗庚华罗庚 （1910 - 1985）“聪明在于勤奋聪明在于勤奋, , 天才在于积累天才在于积累”“学而优则用学而优则用, , 学而优则创学而优则创”“由薄到厚由薄到厚 , ,由厚到薄由厚到薄”注意问题注意问题：
2、认真听课，扼要记录，认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律多做题目，总结规律。4此刻打盹，你将做梦，学习时的痛苦是暂时的， 未学到的痛苦是终身的；学习这件事，不是缺乏时间，学习不是人生的全部，请享受无法回避的痛苦；哈佛图书馆的训诫哈佛图书馆的训诫但是人生的一部分;只有比别人更早，更勤奋的努力，此刻学习，你将圆梦；而是缺乏努力；学习也无法征服，还能做什么呢？才能尝到成功的滋味；5谁也不能随随便便成功，狗一样地学习，绅士一样地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛图书馆的训诫哈佛图书馆的训诫没有艰辛，便无所获。它来自彻底的自我管理和毅力；即使现在，对手也不停地翻动书页；6科学方法是打开科
3、学殿堂大门的科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的是由必然王国通向自由王国的桥梁桥梁。数学方法是数学的数学方法是数学的灵魂灵魂高等数学方法高等数学方法（上）（上）7参 考 书张晓宁、李安昌张晓宁、李安昌： 高等数学方法高等数学方法 中国矿业大学出版社，2002.8目目 录录第一讲第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法第二讲第二讲 研究函数与极限的基本方法第三讲第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用第四讲第四讲 导数应用的方法第五讲第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法第六讲第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法第七讲第七讲 试题类型及解题方
4、法分析9前言一一. 为什么要学为什么要学“高等数学方法高等数学方法 (参考前言第一段参考前言第一段)1. 科学方法的重要性科学方法的重要性科学科学是什么 , 为什么:技术技术做什么 , 怎么做:科学方法科学方法桥梁与钥匙。反映自然、 社会、思维的客观规律的分科的知识体系。进行物资资料生产所凭借的方法和能力。10数学数学思维的体操科学的语言生活的需要(思路思路)(表达表达)(应用应用)数学方法数学方法对数学规律的认识对数学规律的认识思维方法解题方法(是数学的灵魂是数学的灵魂)2. 数学方法的含义数学方法的含义11二二. “高等数学方法高等数学方法”的结构与学习方的结构与学习方法法(参考前言第二、
5、三段参考前言第二、三段)第一部分第一部分 (第一至第七章)每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题第二部分第二部分 (第八至第十一章)包括综述和提高(从古典数学向近代数学靠拢 )学习方法学习方法:1. 掌握数学内容和数学方法相结合；2. 重视分析问题和解决问题的方法；3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养。12第一讲第一讲 高等数学高等数学中的中的 分析问题分析问题 和和 解决问题解决问题 方法方法13一一. 数学模型及数学建模方法数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节第一节 )数学模型数学模型客观实际问题内在规律性的数学具有形式化形式化、符号化符号化、简洁化简洁化的特点.
6、是一种高度抽象的模型. 有狭义狭义和广义广义两种解释 .数学建模方法数学建模方法 实验归纳法 理论分析法 ( P514 )物理模型数学模型求解和分析结构.许多物理中的概念都要借助于高等数学中的数学结构才能说的清楚。14可无限逼近可无限逼近例如例如 , , 为什么用为什么用及语言定义极限语言定义极限 ? ? 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积A . .圆内接正n边形的面积为(正整数) , 当时, 有记作记作精度要求精度要求边数足够多边数足够多找出找出利用极限知识可求出 :15 测量圆面积测量圆面积直接观测量为r间接观测量为A.半径真值为面积真值为测量圆半径得计算圆面积为
7、任给精度要使寻找精度让记作16又如又如 , 为什么用增量比的极限定义导数为什么用增量比的极限定义导数 ?运动规律平 均 速 度瞬 时速度函数平 均 加速度瞬 时转动规律平 均 角速度瞬 时电量函数平 均 电流强度瞬 时质量分布平均线密度光滑曲线割 线 斜 率切 线抽象抽象: 定义导数( 描述变化率问题 )17再如再如 , 椅子稳定问题椅子稳定问题 (P515P516)假设假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 .建模建模:设 A , C 两脚与地面的距离之和为B , D 两脚与地面的距离之和为不妨设且对任意有证明存在使18证明证明: 设又由连续函数零点定理可知 , 存在使即又知所以思考思考:
8、 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?不妨设且对任意有证明存在使（转后，对角线互换）。提示提示：相邻两脚之和，并旋转1800。19二二 .几种常用的分析问题的方法几种常用的分析问题的方法 (P444-455)1. 简化方法简化方法 2. 直观分析法直观分析法3. 逆向分析法逆向分析法 4. 类比法类比法1. 简化方法简化方法复杂问题 简单问题分解法分解法变换法变换法换元法换元法递推法递推法转化法转化法20单调递减。 提示提示: 令则转化为讨论下述函数在 t 0 时单调递减 . 注意说明说明 1. 与具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值 2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的
9、简单例例1. 证明问题与单调性问题 . 函数链的单调性传递得出 . 如 P445例1.21 设, 求提示：将函数化为提示：将函数化为则例例2.222. 直观分析法直观分析法 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论. 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示. 有关几何应用画出图形找几何关系 . 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.23的图形关于例例1. 设定义在实数域上的函数直线及对称 , 试证为周期函数 . ( P.447 例例4 )直观分析直观分析:任取一个实数因此有是周期为的函数 .它关于直线的对称点为而关于直线的对称点为显然可猜想24的图形关于例例1. 设定义在实数域上的函数直线及对称
10、 , 试证为周期函数 . ( P.447 例例4 )证证:有因此是周期为的函数 .25拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点使思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导, 且证证: 问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立 . 证毕26例例2 证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数?分析分析:由图可知 , 设辅助函数(C 为任意常数 )都可使 F( x ) 在 a , b 上因此所设辅助函数不唯一 .满足罗
11、尔定理条件 ,27例例3.3.如何求函数的斜渐近线分析分析: : 由图可知, 若曲线有斜渐近线则必有从而28例如例如 , 求曲线的斜渐近线。解解:所以曲线有斜渐近线29的斜渐近线方程。解解 所求 斜渐近线方程为 2、求曲线2005考研考研30在上连续, 在内存在 , 连接两点的直线交曲线于且试证至少存在一点使提示提示:如图所示, 有在上应用Rolle定理。C对（ P118 题题7 ）例例4.4.已知31逆向思维反推 执果溯因反证 利用正命题与逆否命题等价，反例 找反例说明原命题不正确3. 逆向分析法逆向分析法多用于否命题。32设函数 在 0,1 上二阶可导 , 且证明至少存在一点 ,使 提示提
12、示: 设辅助函数在0,1上满足 Rolle 定理 ,可知有 , 再对 F(x) 在从结论入手, 注意到利用上用 Rolle 定理.例例1.33在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得提示提示:转化为证上满足 Lagrange 定理条件 ,使则只需证明可见只要对上用 Cauchy 中值定理.( P450,考研考研98 )由于在则有及在例例2. 设函数34无实根.( P451 例例7 )提示提示:用反证法. 假设有实根代入上式两边异号上式两边异号, 矛盾, 假设不真!利用显然则有例例3. 证明方程35高等数学方法主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞 第二讲36 类比是找相似性, 是发现问题和解决问题
13、的重要方法。 4. 类比方法类比方法37计算极限提示提示:类比下列极限例例 1( P453 例例9)38计算极限提示提示:类比下列极限例例 1( P453 例例9)39练练 习习(1)(2)求下列极限 :提示：如例1类推40练练 习习(3)求下列极限 :( 提示 :41利用Lagrange 微分中值定理易推出 :若在 a , b 上严格单调增加严格单调增加 , 则例例2. 证明下列不等式 :42提示提示: 将不等式改写为设易证若在 a , b 上严格单调增加严格单调增加 , 则43提示提示: 设易证若在 a , b 上严格单调增加严格单调增加 , 则44说明说明: 类似应用 Cauchy 中值
14、定理易推出若则利用此不等式可证明很多有用的不等式 . 例如提示提示: 原式可为令易证在 严格单调增加 .只需证45在 严格单调增加 .易证令即则46三三. .几种常用的证题方法几种常用的证题方法1.分析综合法分析综合法2. 设辅助函数法设辅助函数法3. 反证法反证法 证明题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型通过“执果溯因”寻找证明的途径,利用“由因导果”写出证明过程.1. 分析综合法分析综合法47设 为正实数,试证提示提示:为上的上凹函数在 上，( P473 例例12 )例例1.满足48在 上可导, 且 , 证明至少存在一点 使提示提示: 方法方法1因为可考虑对函数在区间
15、 a , b 上用 Cauchy 中值定理 .( P81 例例10 )例例2 设49例例2 设一点 使提示提示:令 方法方法2故可考虑对问题等价于证明Rolle 中值定理.在 a , b 区间上用在 上可导, 且 , 证明至少存在即50利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如:寻找辅助函数一般用逆向分析法. 通过设辅助函数, 利用微分或积分中值定理 证明等式或方程零点的存在. 通过讨论辅助函数的单调性或最值,证明 相关不等式.2. 设辅助函数方法设辅助函数方法51例例1. 设在 上连续且可导, 并有 n 个不同的零点证明证明: 对任意常数 a ,在 上至少有 提示提示: 设辅助函数
16、在上用 Rolle 定理 . n -1 个不同的零点.52设函数 和 在 上二阶可导, 且提示提示:只要证且依据乘积导数法则想到设辅助函数(用反证法)再证明 上满足 Rolle 定理条件试证至少存在一点使( P475 例例15,考研考研95 )例例 2.即53例例3. 设在 上二阶可导,且证明: 存在 使提示提示: 只需证即证:设辅助函数证明在 a , b 上满足Rolle 定理 .54设 , 求证提示提示:方法方法1. 设设证明它在单调增增;方法方法2. 设设证明它在单调减减。例例4.553. 反证法反证法反证法是一种逆向分析方法, 是通过否定命题的结论 , 引导出与题设条件或已知结论矛盾的
17、结果来证明明原命题的正确性.反证法多适用于直接推证时已有知识点较少或比较困难的命题. 如果所证结论中含有“不可能不可能”、“不存在不存在”、 “至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”、“大于大于” 或或 “小小于于” 等字眼时 , 一般多考虑用反证法.56常用几个的初等函数公式常用几个的初等函数公式5758例例1.证明 不存在 ( 为自然数).提示提示: 假设则矛盾( P474 例例13)59设 在 上存在二阶导数, 且又试证在 内提示提示:假设存在使则由 R0lle 定理, 有 使再对在上用 Rolle 定理, 就有使矛盾矛盾 !( P474 例例14)例例2.60例例3. 设函数在 内连续 , 且证明在 内至少有一点满足提示提示: 用反证法.假设对于所有都有令则 F(x) 在 内连续且不变号.若则即于是与题设矛盾 .（几何上与x轴无交点。）61
