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1、5.6平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律2.4平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律复习思考复习思考:向量的加法向量的加法向量的减法向量的减法实数与向量的乘法实数与向量的乘法两个向量的数量积两个向量的数量积运算结果运算结果向量向量向量向量向量向量？平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律物理意义下的物理意义下的“功功”sF一个物体在力一个物体在力F
2、的作用下产生的位移的作用下产生的位移s,那么力那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？其中力其中力F和位移和位移s 是向量，是向量，是是F 与与s 的夹角，而功是的夹角，而功是数量数量.平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律两两个个非非零零向向量量的的夹夹角角两个非零向量两个非零向量a a 和和b b ，作作，则，则叫做向量叫做向量a a 和和b b 的夹角的夹角OABabOABba若若，a与与b同同向向OABba若若，a与与b反向反向OABab若若，a与与b垂直，垂直，记作记作平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义
3、已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即，即0平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律（1）两向量的数量积两向量的数量积结果是一个结果是一个数量数量，符号由夹角决定，符号由夹角决定.（3）a b不能写成不能写成ab，ab表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算与以往运算法则的区别及注意点与以往运算法则的区别及注意点（2）前面所提到的力所做的功）前面所提到的力所做的功,就是力就是力
4、F与其作用下物体与其作用下物体产生的位移产生的位移S的数量积的数量积F S.而向量的而向量的加法和减法加法和减法的结果还是一个的结果还是一个向量向量.平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律例题讲解例题讲解例1已知|a a |=5, |b b |=|=4，a a与b b 的夹 角 ，求a a b b.解：解：a b =|a | |b |cos平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律练习练习1.已知已知|p |=8,|q |=6,向量向量p 和和q 的夹角是的夹角是60,求求p q.练习练习2.设设|a|=12,|b|=9,a b=54,求向量求向量a和和b的夹角的夹角 .| b
5、 | cos的几何图形及其表示的几何意义的几何图形及其表示的几何意义,|b|cos叫向量叫向量b在在a方向上的投影方向上的投影为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0平面向量数量积平面向量数量积 a b的几何意义的几何意义向量向量a 与与b 的数量积等于的数量积等于a 的长度的长度|a| 与与b 在在a 的方向上的投影的方向上的投影| b | cos的积的积.数数量量积积的的性性质质平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律设设a ,b都是非零向量都是非零向量,e是与是与b方向相同的单位向量方向相同的单位向量, 是是a与与e
6、的夹角的夹角,则则（1 1）e a=a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) ) （3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b =|a | |b |， 当当a 与与b 反向时反向时, , a b =|a | |b |. . 特别地特别地 ( (用于计算向量的模用于计算向量的模) )（5）|a b| |a | |b |（4）( (用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角) )5.数量积的运算律：数量积的运算律：平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律数数量量积积运运算算律律？练练习习.判判断断正正误误1 1若若a = =
7、0，则对任一向量则对任一向量b ，有有 a b = = 02若若a 0，则对任一非零向量则对任一非零向量b ,有有 a b03 3若若a 00，a b b = =0，则则 b = = 0.4 4若若a b= =0，则则a 、 b中至少有一中至少有一 个个 为为 05 5若若b 0，a b= = b c，则则 a=c.6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a = =0时成时成 立立7对任意向量对任意向量a ,有有平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律例3求证： (1) (ab)2 a22abb2； (2) (ab)(ab)a2b2例4已知|a|6，|b|
8、4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)例5已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当 且仅当k为何值时，向量akb与 akb互相垂直？例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为i和j，若ab=2i8j，ab=8i16j， 求ab例例7 设设 和和 是夹角为是夹角为 的两个单位向量，且的两个单位向量，且 ， ，试求的值，试求的值 2.4平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律小结小结:(1)向量的数量积的物理模型是力的做功向量的数量积的物理模型是力的做功.(2)a b 的结果是个数量的结果是个数量.(3)利用数量积可以求两向量的夹角利用数量积可以求两向量的夹角,特别是可以判定垂直特别是可以判定垂直.(4)二向量的夹角范围二向量的夹角范围0,.(5)五条性质要掌握五条性质要掌握.2.4平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律作业作业:1.课本课本P121习题习题5.6第第2题题,第第3题题,第第6题题
