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1、1 城市表层土壤重金属污染分析摘要本文通过对城市表层土壤受重金属污染的过程、实际情况和相关数据的分析，运用多种数学模型对问题进行求解。在求解第 1 问时运用 Matlab 软件编程绘出二维等高线图，建立图形模型。直观地给出了各金属元素的空间分布， 见正文第 6 页图 1。 根据内梅罗污染指数模型：2p最大平均pp对数据整合依次得到各功能区的指数值（见正文第8 页） ，再与背景值的指数值作比较得到生活区、工业区和交通区的污染程度较大，山区和公园绿地区的污染程度较小的结论，同时在第一问的基础下，生成了有关各元素浓度与功能区之间的统计直方图，建立统计模型，通过分析找到了重金属污染的主要原因为：工业污
2、染、交通污染和居民生活污染。污染程度较大的几种元素是：Cr、Cu 、Pb和 Zn。求解第三问时，将重金属在土壤中的传播等效为一种物质的紊流扩散，建立了菲克扩散模型：cmzyxFzcycxcDwczvczvcyvcxtc)()()()()(222222通过逐步降维和高斯分布得到反应传播特征函数：ExvyEzwevExhQyxc452002),(根据分布曲线特征并结合图1 找到了污染比较严重的几种元素污染源的位置为：Cr（3000，6000） ，Cu （2700，3500） ，Pb（2300，3500） ， Zn （3000，6000） 、Zn（9500，4500） 、Zn（13500，9500）
3、 。由于建立的菲克扩散模型时忽略了很多外在因素，为了更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集诸如当地的自然环境（降雨量，温度等），地质情况，自然危害（地震，泥石流等） ，人类活动因素的叠加，包括对资源的开发，人类对环境的破坏以及保护等信息。而对流- 弥散方程模型对扩散问题的研究是一个考虑了多方面因素逐步精确化的模型，所以在第四问中我们选择了建立对流- 弥散方程模型：),(),(),(),(),(2222ytyxCxtyxCDytyxCxtyxCvttyxC得到以下结论：空间相关性体现于：同一时刻空间上其他点对某一点的浓度都有影响，这种非局域性是的扩散过程加快，即随着空间分数阶阶数的减小，溶质
4、扩散速度越快。基于此可以更准确的反应出城市地质环境的演变模式。关键词 ： 内梅罗污染指数模型；菲克扩散模型；对流-弥散方程模型2 一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1 类区、 2 类区、 5 类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距
5、1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1 个采样点对表层土（ 010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2 公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件 1 列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2 列出了 8 种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3 列出了 8 种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数
6、据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、模型假设2.1 图表模型及内梅罗模型假设1、重金属污染物在在传播时不考虑海拔的影响。故重金属物质的空间分布于海拔无关。2、假设各功能区之间是连续的，不存在城区与非城区的过渡。3、 在计算内梅罗指数时仅考虑已知的八种元素，忽略其它元素对结果的影响。4、以题中所给背景值的内梅罗指数为标准值，而忽略内梅罗指数本身所赋予的评价环境污染程度的标准。2.2 、统计模型的假设1、在
7、采样测算的过程中所得的各数据之间没有相关性。3 2、假设背景值所提供的各重金属元素的浓度值为标准值、是可供参考比较的对象3、当某区中某种重金属的平均浓度高出背景值浓度的一倍以上认为是污染严重的。4、假设所采集的 319 份样品可以涵盖到整个城区，所以统计的局部结果可以用来描述整个市区的情况。2.3 、菲克扩散模型的假设1、假设重金属污染物在土壤中的传播为流体的扩散。2、假设重金属污染物向各个方向扩散的速率恒定且相等。3、假设重金属污染物被植物吸收及沉入到地表10cm以下的速率恒定。4、假设在传播过程中所受的影响可看成是一个可综合的单一因子。5、假设重金属污染物浓度在传播过程中产生了浓度场且该场
8、是连续的。6、污染源距地表的深度是定值0z ，因此不考虑海拔的影响。7、重金属污染物在土壤中运输时距地表的高度为定值，可忽略竖直方向的扩散。8、假设单位时间发生污染量为零即0CF。2.4 、对流 -弥散方程模型模型的假设1、假设渗透速度很小且方向不变。2、假设重金属物质传播过程中周围土壤及其他物质是均匀的。3、假设重金属物质的对流和弥散是一种相对稳定的状态，自身可变性小。三、符号说明P: 内梅罗综合环境污染指数；平均P：某单一元素的内梅罗指数的平均值；最大P：某单一元素的内梅罗指数的最大值；c：重金属物质的浓度；t : 重金属污染物传播的时间；4 xv : 重金属沿 x 方向扩散的速度；yv
9、: 重金属沿 y 方向扩散的速度；zv：重金属沿 z 方向扩散的速度；w：重金属被植物吸收及沉入地表10cm以下的速度；0w：重金属被植物吸收及沉入地表10cm以下的速度的理想化定值；v: 重金属沿 x、y、z 方向扩散的理想化相等速度；mD ：紊流扩散中分子扩散系数；CF: 单位时间发生的污染量；E: 污染物的传播系数；xE ：污染物沿 x 方向的传播系数；yE ：污染物沿 y 方向的传播系数；zE ：污染物沿 z 方向的传播系数；：分数阶数 ; Q: 污染源的污染量；0z ：污染源的距地表的竖直深度定值；h：污染物传播过程中距地表的深度设为定值；1c ：沿 x 方向浓度值；2c ：沿 y
10、方向浓度值；3c ：沿 z 方向浓度值；x、y：二维空间步长；D：散项系数；：时间微元；0c 、A、s、：常数。5 四、问题的分析与模型的建立4.1 分析与建模本题通过科学的方法对某城市城区的土壤地质环境进行了考察，得到一系列的数据。而题目要求我们以所给数据来表现出该城区各种金属元素的分布和重金属的污染情况，这让人很容易想到利用统计学的相关知识来对海量数据整合分析，从而得到所需答案。于是我们根据需要对附件中所给数据进行初步提取，以取样点的 x 值为横轴、以 y 值为纵轴、以一种重金属的浓度为等高线，运用Matlab 软件编程绘出二维等高线图，清晰地反映出重金属元素在城区的分布情况，这也就是我们
11、在解决第（ 1）问中的第一小问时所建立的图表模型。在解决该城区内不同区域重金属污染程度问题上，我们想到评价环境中某一物质指标的因子，于是我们建立了内梅罗环境污染指数模型，即：2最大平均PPP，通过此模型来分析该城区内不同区域重金属污染程度，这样第（1）问就求解结束。4.2 分析与建模第（2）问要求我们通过数据分析说明重金属污染的主要原因，显然在此种情况下运用数学表达式模型来直观反映污染原因是不太容易的，而运用数据统计图来反映这一抽象问题就可以将问题简化从而达到直观明了的效果，为此，我们建立了统计模型（见5.2 模型求解）。4.3 分析与建模重金属在土壤中传播，通常情况下是随着雨水在土壤中扩散，
12、所以我们把它的传播理解为一种流体的扩散，由于题目附件中给了我们x、y 和 z（海拔）的相关数据，所以我们以重金属沿x、y 和 z 三个方向的传播建立数学模型，同时我们知道重金属污染物在传播的过程中随着时间的推移, 大部分重金属都会存留在土壤中，因此它的浓度是随着离污染源距离越远而逐渐减小的，但总体上它是遵循物质守恒定律的，通过搜集资料发现，此问题就完全等效为了流体扩散的问题，把重金属理想化为流体，利用流体的相关知识我们建立以下菲克扩散的偏微分方程模型：cmzyxFzcycxcDwczvczvcyvcxtc)()()()()(2222221 6 其中),(tzyxcc4.4 、分析与建模重金属污
13、染物在土壤中的传播只是城市地质环境演变中的很小一部分，城市地质环境的演变中还会受到诸多因素的影响，如当地的自然环境（降雨量，温度等） ，地质情况，自然危害（地震，泥石流等），人类活动因素的叠加，包括对资源的开发，人类对环境的破坏以及保护，这些都会影响地质环境的演变。除此，科学的研究表明：物质在实际溶质的运移中客观存在着弥散的尺度效应，溶质粒子呈现反常扩散的现象。反常扩散本质上是非马尔科夫非局域性的运动，须考虑运动过程中的时间相关性和空间相关性。此时粒子的扩散运动不再是布朗运动，其平均平方位移是运移时间的非线性函。所以在考虑了这些许的外界因素，为了更好的研究城市地质环境的演变模式，我们对其建立对
14、流-弥散方程模型：),(),(),(),(),(2222ytyxCxtyxCDytyxCxtyxCvttyxC其中;0, 10DattyxC),(为Caputo分数阶导数：)1(),()10(),()()1(1),(0ttyxCdyxCtattyxCt式中表示：1)(xttex2 五、模型的分析与求解5.1 图表模型分析求解从附件数据中提取x、y 和八种重金属元素的浓度值，分别以x 值为横轴、以y 值为纵轴、以一种重金属的浓度为等高线，运用Matlab 软件编程（程序见附录）绘制出以下八种重金属污染物在该城区分布的二维等高线图1：00.511.522.5x 104020004000600080
15、00100001200014000160001800000.511.522.5x 1040200040006000800010000120001400016000180007 As 的分布图 Cd的分布图00.511.522.5x 10402000400060008000100001200014000160001800000.511.522.5x 104020004000600080001000012000140001600018000 Cr的分布图 Cu的分布图00.511.522.5x 10402000400060008000100001200014000160001800000.511.
16、522.5x 104020004000600080001000012000140001600018000 Hg的分布图 Ni的分布图00.511.522.5x 10402000400060008000100001200014000160001800000.511.522.5x 104020004000600080001000012000140001600018000 Pb的分布图 Zn的分布图图 1 这既是题目要求给出的8 种主要重金属元素在该城区的空间分布。8 在分析该城区内不同区域重金属的污染程度时，通过Excel 计算，得到表1如下所示：各功能区中各种重金属元素平均浓度一览表功能区As
17、( g/g) Cd (g/g) Cr ( g/g) Cu ( g/g) Hg ( g/g) Ni (g/g) Pb ( g/g) Zn ( g/g) 生活区6.27 0.29 69.02 49.40 0.09 18.34 69.11 237.01 工业区7.25 0.39 53.41 127.54 0.64 19.81 93.04 277.93 山区4.04 0.15 38.96 17.32 0.04 15.45 36.56 73.29 交通区5.71 0.36 58.05 62.21 0.45 17.62 63.53 242.85 公绿区6.26 0.28 43.64 30.19 0.11
18、15.29 60.71 154.24 表 1 由建立的内梅罗环境污染指数模型知，需要求出P平均和 P最大，由表可知：881iiPP平均，nZPP最大再有内梅罗环境污染指数公式：2最大平均PPP。代入相关数据计算可得五个功能区的内梅罗环境污染指数如表2 所示：功能区生活区工业区山区交通区公园绿地区内梅罗指数12.11 13.24 6.95 12.23 9.83 用同样的方法对附件中的背景值做相关计算得到背景值的内梅罗环境污染指数为6.67。将前 5 个功能区的指数值与背景值的指数值相比较可以看到生活区、工业区和交通区的污染程度较大，山区和公园绿地区的污染程度较小。到此，第（1）问的问题就得到了解
19、决。5.2 、统计模型的分析求解在模型一中通过统计计算得到表1，我们以 8 种重金属元素为横轴， 以各重金属元素的平均浓度含量为纵轴建立坐标系，通过Excel 图表工具自动生成条型直方图 2：9 图 2 （图中每五块条形区域从左至右以次表示生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区的表层土壤中某一种重金属的含量。）此外， 8 种主要重金属元素的背景值如表2：8 种主要重金属元素的背景值元素平均值标准偏差范围As ( g/g)3.6 0.9 1.85.4 Cd ( g/g)0.13 0.03 0.070.19 Cr ( g/g)31 9 1349 Cu ( g/g)13.2 3.6 6.020.4
20、 Hg ( g/g)0.035 0.008 0.0190.051 Ni ( g/g)12.3 3.8 4.719.9 Pb ( g/g)31 6 1943 Zn ( g/g)69 14 4197 表 2 在图表的基础下可以直观的得到以下结论：（1）Cr 在生活区和交通区的浓度较高，即其在这些区的分布较广。（2）Cu在生活区、工业区和交通区的分布较广。（3）Pb 、Zn 在生活区、工业区、交通区和公园绿地区的分布较广。（4）As、Cd 、Hg和 Ni 在各区的分布比背景值要略高一点，我们可以认为它为轻度污染。据此可以推测重金属污染的主要原因为：工业生产、交通和城区居民日常生活。现代社会科技飞速发
21、展，工业技术和交通的发展状况更是蒸蒸日上，但由此也引发了很严重的环境问题，工厂生产中产生大量的粉尘、工业废水和工业废弃物，这些物质被弃到自然界以后最终会随着雨水被存留到土壤中，此外机动车废气和生活生活垃圾的排放也使大量的重金属物质存留到土壤中。这些因素均使得土壤中的重金属含量大大增加。这已成为现在人们公认的土壤重金属污染的根本原因之一，所以这也充分证明了我们建立的统计分析模型所得到的结论的正确性。故重金属污染的主要原因为：工业污染、交通污染和居民生活污染。5.3 、菲克扩散模型的分析求解10 模型三中， 在我们求解此偏微分方程时我们引入Ex、Ey、EZ分属在三个坐标轴方向的紊流扩散系数，且0C
22、F, 由 Ex= Ey=10 EZ3 ，因为重金属污染物的紊流扩散系数远大于分子扩散系数即：ED m 。再由模型假设知：重金属污染物向各个方向传播速度恒定且相等。即：vvvvzyx。此外，被植物吸收及渗入地表10cm以下的速度恒定为0w 。故上述模型表达式可化为：）（2222220c101cc)(czyxEzcwzcycxcvt当土壤没有受到重金属污染时，它的重金属浓度值应该为背景值浓度，即浓度函数 C应该满足初始条件：),()0 ,(0zyxczyxc重金属污染物在土壤中向x,y,z三个方向传播将其等效成平板三维挡板原理，即假设有：),(),(),()0,(3210tzctyctxcczyx
23、c则模型方程可以分离为以下三个方程：021211xcExcvtc（1）022222ycEycvtc（2）010)(232303zcEzcwvtc（3）由（1） （2） （3）分别解得：),(11txcc),(22tycc),(33tzcc代入假设，由高斯分布得：EtvttwzvtyvtxeEthQtzyxc4)()()(32022)4(),(由于污染源的污染物在其周围是一种从小区域到大区域连续性的污染，故其产生的浓度场可看成是一种随着时间推移的浓度场的叠加，令222zyxs，11 由上式有：ExzwEyxsvttevshQtzyxdczyxc452)2(004),(),(lim此式可近似的表现
24、出污染物浓度与其空间位置的关系，又由于题中所给样品均是在地表 0 到 10cm之间所收集的，所以我们可以忽略竖直方向的扩散因此有：ExvyEzwevExhQzyxdcyxc452002),(),(这样就得到了浓度与x、y 之间的函数关系，这也就是重金属污染物在土壤中传播的特征方程，可以看出它是从高浓度向低浓度、由点源及面的传播的。同时，浓度越高说明该取样点理论上离污染源越近。由C的函数表达式我们可以看到它是一个正态分布函数，而任何一个正态分布函数总可以化为一个标准的正态分布函数，在一个标准的正态分布函数图像中可以看到它有且仅有一个极大值点。所以 8种重金属元素必定有8 个浓度极大值点， 即至少
25、每种元素有一个污染源， 而第（2）问的模型求解过程我们知道污染比较严重的元素为：Cr、Cu、Pb和 Zn四种，因此这里我们只确定这四种污染物的污染源，分别根据相应元素的相关数据绘出其正态分布图，再结合模型一的图象我们可以粗略确定出四种元素的污染源位置为：Cr（ 3000， 6000） ，Cu（ 2700， 3500） ，Pb（ 2300， 3500） ，Zn（3000，6000） 、 （9500，4500） 、 （13500，9500） 。当然，用相同的方法我们也可以粗略确定出其它几种污染较轻的元素的污染源的位置，此处不再给出。5.4 、对流弥散方程模型的分析求解我们运用数值法对二维时间分数阶
26、对流-弥散方程进行求解，记模型四中的两个 方 程 依 次 为 （ 1 ） 、 （ 2 ） ， 然 后 建 立 差 分 格 式 。 令, . . .2, 1 ,0(, . . . ) ;2 , 1 , 0(nntiixxi其中x和y为二位空间步长。对方程（ 1）有段项进行有限差分：)(),(),(),(1),(,xxtyxCtyxCxtyxCnjinjityxnji（3）)(),(),(),(1),(,yytyxCtyxCytyxCnjinjityxnji（4）)()(),(),(2),(),(2211),(22,xxtyxCtyxCtyxCxtyxCnjinjinjityxnji（5）)()(
27、),(),(2),(),(2211),(22,yytyxCtyxCtyxCytyxCnjinjinjityxnji（6）左端项则由式（ 2）变形为：12 tnjityxdtyxCtttyxCnji0),(),()()1 (1),(（7）进一步将式（ 7）右端离散得到：),(),()2(1),(),()2()(),(),()1(1)(),(),()1(1,111110111101),(11kjikjinkkjikjittnnjinjittnnkkjikjityxtyxCtyxCaknkntyxCtyxCadttyxCtyxCdttyxCtyxCttyxCkkkknji (8) 上式右端括号内第一
28、项为常数，记为A：并，考虑二位多空均匀介质稳定流条件下，式（1）可写为：22222),(),(),(),(),(ytyxCDxtyxCDytyxCvxtyxCvttyxCyyxxyyxx（9）将式（ 3）（4）（5）（6）（8）带入方程（ 9），得到显式差分格式：2112111111),(),(2),(),(),(2),(),(),(),(),(),(),()2(ytyxCtyxCtyxCDxtyxCtyxCtyxCDytyxCtyxCvxtyxCtyxCvAtyxCtyxCanjinjinjiyynjinjinjixxnjinjiyynjinjixxkjikji（10）这里着重研究方程的分数
29、阶项的所表征的反常扩散的性质，故而假设渗透速度很小且方向不变，因此对对流项的处理采用比较简单的应分格式。分数阶对流 - 弥散方程考虑了溶质运移的时空相关性。从而从理论上解释了实际中存在的尺度效应。空间相关性体现于：同一时刻空间上其他点对某一点的浓度都有影响，这种非局域性是的扩散过程加快，即随着空间分数阶阶数的减小，溶质扩散速度越快。 4 所以，本题中，通过污染源释放污染物，在土壤中随着土壤溶剂向外扩散，由对流 -弥散原理，在一定程度上可以很精确的测出某一地理位置上某种物质的含13 量，将其应用到对土壤污染物质的传播特征和污染源的确定上，就可以根据传播特征和污染源的位置情况，推测出城市地质环境的
30、演变过程，从而可以解决城市在保护地质环境上的问题。六、模型优缺点的分析优点：我们通过用MATLAB 画出实际坐标与各种金属元素浓度的等高线图，以及利用 EXCEL表格做出各区各种金属浓度的直方图，可以清楚地反映出各浓度的含量，以及各区之间的比较，从而对分析污染源的位置提供了良好的参考。在求解第三问时我们引入菲克扩散模型，把重金属在土壤中的传播等效为紊流扩散，建立了菲克扩散模型，得到一个函数表达式，把抽象的传播特征问题规律化、数学化，同时为了更精确的研究城市地质环境的演变模式我们在第四问中建立了对流- 弥散方程模型，使结果更精确化。缺点：我们在建立模型寻找污染源的位置时只是考虑相对理想化的模型，
31、并且运用了图文结合的方式，并没有严格意义上的客观性的结果，同时我们大量运用了图表，通过图表来反应实际问题，缺少很严密的数学表达式或方程，具有一定的主观性。参考文献1 窦国仁， 紊流力学，人民教育出版社， 1981 年出版。2 周璐莹、吴吉春、夏源，二维分数阶对流- 弥散方程的数值解，高校地质学报，第 15 卷第四期： 569-575 页，2009年 12 月。3 郭印，重金属污染物在天然河道中迁移分布的近似计算，中国知识网，2011年 9 月 10 日。4 周璐莹、吴吉春、夏源，二维分数阶对流- 弥散方程的数值解，高校地质学报，第 15 卷第四期： 569-575 页，2009年 12 月。1
32、4 附录: 某种元素的浓度值与x、y 生成二维等高线图的程序代码Z=9.84 8.50 4.69 9.62 4.49 1.77 9.39 7.41 3.50 3.50 4.49 18.38 10.74 8.94 6.14 16.58 11.45 6.05 7.12 5.51 7.41 6.69 5.51 6.69 6.14 5.72 4.90 2.00 5.62 5.10 8.72 7.41 8.00 9.81 5.93 5.51 2.34 21.87 6.47 6.56 5.00 11.68 4.69 4.90 14.08 4.29 8.72 4.79 2.38 10.53 9.17 7.5
33、6 8.23 8.67 4.90 4.29 3.69 5.00 6.35 8.23 8.67 5.20 10.27 3.11 7.84 6.35 9.35 2.77 5.72 7.78 10.99 4.90 7.56 9.35 4.58 4.29 5.83 6.26 5.51 6.91 6.26 8.90 7.34 6.91 10.74 6.47 3.11 9.13 6.47 4.38 5.93 8.06 7.34 3.30 4.79 4.17 7.20 5.41 3.30 5.00 3.89 2.77 7.78 5.72 5.51 7.56 3.77 30.13 5.62 7.41 6.91
34、 7.34 8.67 3.30 5.93 6.47 5.31 5.20 5.20 5.41 5.62 7.12 2.91 8.50 7.63 3.69 5.93 3.89 5.93 8.23 5.31 5.62 6.05 7.84 6.26 6.47 7.34 9.17 5.41 7.34 5.72 2.72 6.69 5.83 8.23 5.41 8.23 5.93 2.34 2.77 6.26 5.00 5.31 3.57 4.58 7.56 6.14 4.79 7.78 5.62 4.90 6.77 5.20 8.06 2.91 6.14 5.41 4.79 6.47 6.98 6.98
35、 4.17 10.97 6.05 6.91 5.20 2.91 5.41 7.12 5.41 6.56 7.56 3.17 3.50 9.58 4.69 6.91 4.58 4.17 3.30 4.38 6.77 3.97 3.69 6.47 6.26 6.77 3.69 6.14 4.17 4.49 23.72 5.62 2.53 3.89 5.41 3.17 6.56 5.72 6.69 4.49 2.34 7.12 2.91 6.05 6.47 6.35 4.69 3.30 5.93 5.62 3.11 6.05 5.20 6.47 8.23 4.79 5.20 2.91 3.97 4.
36、58 3.89 3.50 3.69 4.09 4.49 5.41 5.41 5.72 4.09 3.89 7.56 3.50 6.56 4.69 3.69 4.38 8.90 5.00 4.79 3.17 3.37 3.57 5.62 3.57 7.41 4.58 3.77 5.00 5.62 3.77 4.38 3.77 5.41 5.20 4.29 4.17 4.90 3.37 6.35 3.77 4.38 2.97 1.80 4.58 2.91 3.57 3.37 4.38 4.09 2.77 2.38 2.97 4.09 3.17 3.50 3.77 3.37 2.77 3.11 5.
37、62 2.91 4.69 2.34 3.57 3.11 4.90 4.29 2.53 3.97 1.61 3.17 2.72 2.72 3.17 1.96 2.72 8.00 2.53 2.72 2.34 2.77 1.96 2.91 2.97 3.37 3.17 1.61 1.77; x=3299 4592 10685 2383 3526 22193 3573 5481 9328 7004 8180 4948 10352 2883 5635 6869 4777 23359 10800 5062 2708 7458 9090 4026 5868 2427 26015 15801 8045 24
38、065 4153 7056 4020 111217747 7048 24153 4742 10599 8017 11646 9095 8457 9460 1647 8077 2933 23325 22624 5567 1500721018 10547 5006 11482 9319 18413 7906 1049 8866 17005 21703 7776 11678 6534 7304 7653 232383927 9036 18738 13797 17203 5438 13175 8049 17904 8079 2486 6837 9095 5382 15198 13277 9212124
39、00 13093 14065 17981 18470 27696 14298 10510 14844 14173 8904 10643 5734 4741 14862 245809178 5636 3469 10631 20282 10022 18134 18012 23664 14624 12734 12153 13920 22846 16872 1170222176 10395 16289 12632 17414 12746 17087 19968 10630 4233 11902 1373 10856 906212727 7912 74 15412 9237 14482 4043 189
40、54 10225 21439 12442 19072 15517 14318 10142 5101 21091 22965 12625 17765 13765 5394 15248 7612 9663 16569 12734 8403 15748 11730 20554 15467 3762 24702 5541 11563 9469 11958 19767 5664 12591 9277 16440 16823 11529 20215 9333 1662915810 0 11557 15952 12778 12641 26424 8394 7100 1369 12855 18438 5495
41、 9475 15092 6924 138553267 16387 19007 10210 20101 12696 18303 17962 17198 7093 23785 26416 24813 5451 16061 27823 6395 17144 13954 4678 17814 21418 24631 21766 16440 21072 11649 14269 8307 8446 6182 8622 15467 20591 19411 13244 17079 5291 5375 26073 16301 12644 25221 27700 10700 5985 24003 46842781
42、6 14177 10398 7106 19909 16947 20582 6423 26852 11415 16032 3518 15387 5314 10340 2026125021 16428 14405 5503 19501 22304 9296 1321 17734 25361 8629 14262 22046 25981 7405 2100614074 15140 16267 14325 21475 17008 18467 25461 14000 27177 14207 19041 22605 15658 6605 22535 25998 22674 20177 28654 2608
43、6 18993 27232 16607 21450 27380 26591 21684 23146 23198 17044 20983 15255 24685 26453 18556 18393 27346 19569 15 087 18906 14896 15 17075; y= 6018 4603 5528 3692 4357 12185 6213 6004 4311 6226 4496 7293 17133 3617 7965 7286 4897 532513282 4339 2295 8920 5365 3913 4904 3971 12078 3966 3052 7353 2299
44、8348 2990 16432 8260 460012450 7293 17980 7210 9381 16414 8991 8311 2728 6401 1767 16701 4818 6782 5535 5764 9591 8846 6354 6799 11721 3978 2127 13143 7212 6591 10613 8618 5641 5230 1952 6502 2110 17538 10921 9621 6218 3994 12238 5439 8287 0 5999 3490 3975 3012 10100 13204 11305 2060 4339 10987 1844
45、9 14411 11621 7418 15314 5519 11941 8868 4472 9659 6434 2524 13319 3299 133 2308 6472 8590 12204 10046 4414 9790 14004 10344 12336 5354 9149 2798 4480 5492 11203 10072 17949 15476 8450 11933 12961 8774 895 7709 731 14727 7639 7691 12840 781 12982 9872 12692 1895 4874 3821 11383 4329 8519 17034 13569
46、 1662 4080 9482 13535 16259 3561 1353 8631 9106 119381288 6055 4015 1075 15728 5532 11228 12080 2170 9522 2093 10298 2286 13313 8810 1653 1063 16148 13232 4207 11243 9951 14631 14481 2307 1787 1581 18397 5799 9560 8639 2035 2449 2357 8945 6539 1205 12000 6936 5696 3345 793 6609 11488 2789 10774 3024
47、 7385 12823 9810 1381 17643 6508 10799 2757 7352 14737 10443 9081 5615 3765 10707 10721 9422 12348 12068 10404 3515 12877 9726 11200 2005 10638 8658 13549 6934 7056 5894 7349 8643 8807 8299 14943 5795 11609 8184 2567 15286 1364 5581 6684 10360 9467 5300 7487 6548 8831 16114 2585 3061 2571 729 2060 1
48、764 7586 16290 9069 18032 1127 6091 10527 13102 1791 3629 6423 12086 15129 17634 1805110981 8819 16516 11101 11058 8666 8540 4775 17001 9834 8970 7771 9980 15769 14301 7594 37411293 7032 12173 17642 8755 11094 12371 14482 17365 7555 18202 13715 13101 15382 13523 10691 15862 5110 14278 5577 5588 9183 13331 7348 3512 16346 1603 12924; nx=linspace(min(x),max(x),200); ny=linspace(min(y),max(y),200); xx,yy=meshgrid(nx,ny); zz=griddata(x,y,z,xx,yy,v4); contour(xx,yy,zz) h = get(gca,children); set(h,color,k) 生成其它元素等高线图时只需改变元素浓度的值，其他代码一样。
