《中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等（试卷部分）课件1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等（试卷部分）课件1（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 图形的认识4.2三角形及其全等中考数学中考数学(河南专用)(2016河南,22,10分)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示).图1(2)应用点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等五年中考A组 2014-2018年河南中考题组五年中考边三角形ACE,连接CD,BE.请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;直接写出线段BE长的最大值.图2(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),
2、点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,BPM=90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.解析解析(1)CB延长线上;a+b.(2分)(2)DC=BE.理由如下:ABD和ACE为等边三角形,AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60.BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB.(5分)CADEAB.DC=BE.(6分)BE长的最大值是4.(8分)(3)AM的最大值为3+2,点P的坐标为(2-,).(10分)【提示】如图a,构造BNPMAP,则NB=AM.由(1)知,当点N在BA的延长线上时,NB取得最大值(如图b).易得AN= 2,AM=NB= 3 + 2.过点P作P
3、Ex轴于E,PE=AE=,P( 2 -,).思路分析思路分析(1)当AC为线段AB与BC的和时,线段AC的长取得最大值.(2)依据条件判定CADEAB,得出DC=BE.当CD的长度等于BD+BC时,线段BE取得最大值.(3)类比第(2)问的图形,构造出全等三角形,结合等腰直角三角形的有关性质求解.评析评析本题属类比探究题,主要考查三角形的全等,等边三角形的性质.考点一三角形的相关概念考点一三角形的相关概念B组 2014-2018年全国中考题组1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是()答案答案A三角形具有稳定性.故选A.2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,
4、以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的 度 数 是()A.70B.44C.34D.24答案答案C由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C.3.(2016江苏南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7答案答案C由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形.设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且abc2,则三角形为锐角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形.32+4262,长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角
5、形,故选C.4.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60,则BFC=()A.118B.119C.120D.121答案答案C在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78.BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC=ABC=21,FCB=ACB=39,BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.评析评析本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题.5.(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于.答案答案6解析
6、解析D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位线.BC=2DE,DE=3,BC=6.6.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”.如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角.求证:BAE+CBF+ACD=360.证法1:,BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3).,BAE+CBF+ACD=540-180=360.请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.解析解析BAE+1=CBF+2=ACD+3=180;1+2+3=180.证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD.APBD,CBF=
7、PAB,ACD=EAP.BAE+PAB+EAP=360,BAE+CBF+ACD=360.(8分)1.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE= PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS考点二三角形全等考点二三角形全等答案答案D因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(S
8、SS),故选D.2.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是.答案答案解析解析ABOADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB=90,ACBD,正确.AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABCADC,正确.ABCADC,CB=CD,正确.DA与DC不一定相等,不正确.3.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.答案答案3解析解析根据题图的特征
9、以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所以题图中有3对全等三角形.4.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.证明证明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.(2分)AB=CD,ABHDCG,AH=DG,AG=DH.(5分)思路分析思路分析首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.归纳总结归纳总结全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据
10、已知条件恰当选择判定定理.当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.5.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.图1图2解析解析(1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC,ACB+ACD=
11、DCE+ACD,即BCD=ACE,ACEBCD,AE=BD.(2)ACBDCE,AONDOM,AOBDOE,NCBMCE.6.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证:ABCDEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.解析解析(1)证明:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即BC=EF.(3分)又AB=DE,AC=DF,ABCDEF.(5分)(2)ABDE,ACDF.(7分)理由:ABCDEF,ABC=DEF,ACB=DFE.ABDE,ACDF.(9分)评析评析本题考查全等
12、三角形的判定与性质,根据条件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性质得到对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系.7.(2014江苏南京,27,11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对B进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当B是直角时,ABCDEF.(1)如图,在ABC
13、和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据,可以知道RtABCRtDEF.第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF.(2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABCDEF.第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等.(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请你用尺规在图中作出DEF,使DEF和ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若,则ABCDEF.解析解析(1
14、)HL.(2分)(2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.ABC、DEF都是钝角,G、H分别在AB、DE的延长线上.CGAG,FHDH,CGA=FHD=90.CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH.在BCG和EFH中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,BCGEFH.CG=FH.又AC=DF,RtACGRtDFH.A=D.在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABCDEF.(6分) 图(3)如图,DEF就是所求作的三角形.图(9分)(4)本题答案不唯一,下列解法供参考.BA.(11分)考
15、点一三角形的相关概念考点一三角形的相关概念C组 教师专用题组1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,3,5答案答案C三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合,故选C.2.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是()A.6B.3C.2D.11答案答案A设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A.3.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
16、步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分BADC.SABC=BCAHD.AB=AD答案答案A由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD的垂直平分线上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.4.(2015广东广州,10,3分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的 周 长 为()A.10B.14C.10或14D.8或10答案答案B把2代入方程得m=
17、4,解方程x2-8x+12=0得另外一个根是6;根据三角形三边之间的关系可知:当6是腰,2是底边时,周长是6+6+2=14;当2是腰,6是底边时,2+26,不能构成三角形,ABC的周长是14,故选B.评析评析本题考查了一元二次方程的解法,三角形三边之间的关系,等腰三角形的性质等知识,属于容易题.5.(2014江苏连云港,6,3分)如图,若ABC和DEF的面积分别为S1、S2,则()A.S1=S2B.S1=S2C.S1=S2D.S1=S2答案答案C过点A作AMBC于点M,过点D作DNEF交FE的延长线于点N,S1=BCAM=85sin40,S2=EFDN=58sin40,所以S1=S2,故选C.
18、6.(2014河北,12,3分)如图,已知ABC(ACBC),用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合 要 求 的 作 图 痕 迹 是()答案答案D由选项A可得PB=AB,所以BC=AB+PC;由选项B可得PA=PC,所以BC=PB+PA;由选项C可得PC=AC,所以BC=PB+AC;由选项D可得PB=PA,所以BC=PA+PC.故选D.7.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为.答案答案16解析解析x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0,x1=3,x2=7,3+3=6,3不能作为该三角形的第
19、三边长,三角形的第三边长为7,三角形的周长为3+6+7=16.8.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为.答案答案80解析解析等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.9.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分ABC的周长,则DE的长是.答案答案解析解析延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,
20、ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH=AC,AF=AC=,DE=AF=.思路分析思路分析延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从而求得DE的长.解题技巧解题技巧对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线性质来解答.10.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为m.答案答案100解析解析AM=AC,BN=BC,AB是CMN
21、的中位线,AB=MN,MN=200m,AB=100m.11.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数为.答案答案64解析解析BD平分ABC,CE平分ACB,1=ABC,2=ACB,又ABC+ACB=180-A,21+22=180-A=128,1+2=64.12.(2014江西,14,3分)在RtABC中,A=90,有一个锐角为60,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且ABP=30,则CP的长为.答案答案2或4或6解析解析图1中,ABC=60,BC=6,则AB=3,AC=3,又ABP=30,则AP=,所以CP=2
22、或CP=4;图2中,ACB=60,ABP=30,CBP是等边三角形,CP=CB=6.图1图213.(2015天津,18,3分)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF.(1)如图,当BE=时,计算AE+AF的值等于;(2)当AE+AF取得最小值时,请在如图所示的网格中,用的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置是如何找到的(不要求证明).答案答案(1);(2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G.连接AG,与BD相交于点F.线段A
23、E,AF即为所求.解析解析(1)由题图可知,AD=4,AB=3,则DB=5,因为BE=,BE=DF,所以DF=,所以F是RtABD斜边BD的中点,所以AF=BD=.因为AE=,所以AE+AF=.(2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G.连接AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求思路提示思路提示在求两条线段长度之和的最小值时,常用方法是利用两点之间线段最短,题中E、F均为动点,不能直接应用两点之间线段最短这一结论,可考虑利用三角形全等把AE+AF转化为两个定点到一个动点的距离之和.先考虑一条边为AF的AFD
24、.因为ADBC,所以FDA=DBC,设D点关于BC的对称点为H,则有HBC=DBC=FDA,因为AD=4,为了在BH上找一点P到B的距离也等于4,可取格点K,连接CK,设BH与CK相交于P,则有BP=4.在AFD与PEB中,所以AFDPEB,所以AF=PE,故AF+AE=PE+AE,要使PE+AE有最小值,则连接AP,AP与BC的交点就是要求的点E.与找E点类似,要找到符合条件的点F,考虑一条边为AE的ABE,想法构造一个与ABE全等的三角形,取格点M,连接DM,易知DMDF,为了在DM上找一点G,使DG=AB=3,取格点N,连接CN,设DM与CN相交于G,则DG=AB=3,在ABE与GDF中
25、,所以ABEGDF,所以GF=AE,故AE+AF=GF+AF,要使GF+AF最小,只要连接AG,AG与BD交于F,则F就是所求使得AE+AF最小的点F.14.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)解析解析如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点.证明如下:ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90.BAC=90,AQP+ABQ=90.ABQ=PBD,BPD=AQP.BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.15.(2016广东,
26、19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.解析解析(1)如图.(2分)E点,DE即为所求.(3分)(2)DE是ABC的中位线,且DE=4,BC=2DE=24=8.(6分)评析评析本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.1.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上考点二考点
27、二 三角形全等三角形全等答案答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.2.(2018湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.证明证明BE=CF,BF=CE.在ABF和DCE中,ABFDCE.AFB=DEC,GF=GE.3.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中
28、,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.证明证明1=2,1+DAC=2+DAC,即BAC=DAE,(1分)在ABC和ADE中,(3分)ABCADE(ASA),(5分)BC=DE.(6分)(其他证法参照此标准给分)4.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=.(1)求证:APMBPN;(2)当MN=2BN时,求的度数;(3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.解析解析(1)证明:P为AB中点,PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APMBPN.(2)由(
29、1)得PM=PN,MN=2PN,MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形,BPN和BNP都为锐角,又B=50,40BPN90,即4090.思路分析思路分析(1)根据ASA可证明:APMBPN;(2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果;(3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.方法归纳方法归纳证明三角形全等的一般
30、思路:2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.5.(2017云南,15,6分)如图,点E、C在线段BF上,BE=CF,AB=DE,AC=DF.求证:ABC=DEF.证明证明BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在ABC与DEF中,ABCDEF,ABC=DEF.6.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D
31、.证明证明BE=CF,BE+EF=CF+EF.BF=CE.(2分)又B=C,AB=DC,ABFDCE.(4分)A=D.(5分)7.(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.解析解析CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB.证明:CE=BF,CF=BE.在CDF和BAE中,CDFBAE,CD=BA,C=B,CDBA.思路分析思路分析先证明CDFBAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系.易错警示易错警示CD与AB之间的位置关系是平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得
32、到CD与AB之间的一种关系.8.(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.证明证明CEDF,ACE=D.(3分)在ACE和FDB中,EC=BD,ACE=D,AC=FD,(5分)ACEFDB.(6分)AE=FB.(7分)9.(2016福建福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC.求证:BAC=DAC.证明证明在ABC与ADC中,ABCADC(SSS).BAC=DAC.10.(2016湖北武汉,18,8分)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证ABDE.
33、证明证明BE=CF,BC=EF.(2分)在ABC和DEF中,(5分)ABCDEF(SSS).(6分)B=DEF,ABDE.(8分)11.(2016四川南充,19,8分)已知ABN和ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:M=N.证明证明(1)在ABD和ACE中,ABDACE(SAS).(3分)BD=CE.(4分)(2)ABDACE,ADB=AEC.(5分)又MDO=ADB,NEO=AEC,MDO=NEO.(6分)MOD=NOE,(7分)180-MDO-MOD=180-NEO-NOE,即M=N.(8分)评析评析本题考查了全等三角形的判定与性质,要根
34、据题意选择合适的判定方法.12.(2015福建福州,19,8分)如图,1=2,3=4,求证:AC=AD.证明证明3=4,ABC=ABD.在ABC和ABD中,ABCABD(ASA).AC=AD.13.(2015重庆,20,7分)如图,在ABD和FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,B=E.求证:ADB=FCE.证明证明BC=DE,BC+CD=DE+CD,即DB=CE.(3分)又AB=FE,B=E,ABDFEC.(6分)ADB=FCE.(7分)14.(2015陕西,19,7分)如图,在ABC中,AB=AC.作ADAB交BC的延长线于点D,作AEBD、CEAC,且AE、C
35、E相交于点E.求证:AD=CE.证明证明AEBD,EAC=ACB.AB=AC,B=ACB.EAC=B.(4分)又BAD=ACE=90,ABDCAE.(6分)AD=CE.(7分)15.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD平分BAC;(2)若BC=6,BAC=50,求、的长度之和(结果保留).解析解析(1)证明:由题意可知BD=CD,在ABD和ACD中,ABDACD(SSS).BAD=CAD,即AD平分BAC.(2)AB=AC,BAC
36、=50,ABC=ACB=65.BD=CD=BC,BDC为等边三角形.DBC=DCB=60,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD=6.的长度=的长度=.、的长度之和为+=.16.(2014陕西,18,6分)如图,在RtABC中,ABC=90.点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EFAC,分别交AC于点E、CB的延长线于点F.求证:AB=BF.证明证明EFAC,F+C=90.A+C=90,F=A.(3分)又FBD=ABC,DB=BC,FBDABC.AB=BF.(6分)17.(2014江苏苏州,23,6分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,
37、将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,连接EF.(1)求证:BCDFCE;(2)若EFCD,求BDC的度数.解析解析(1)证明:CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,CD=CE,DCE=90.ACB=90,BCD=90-ACD=FCE.在BCD和FCE中,BCDFCE.(2)由BCDFCE得BDC=E.EFCD,E=180-DCE=90.BDC=90.评析评析本题考查全等三角形的判定及性质,平行线的性质,属容易题.考点一三角形的相关概念考点一三角形的相关概念(2017江苏无锡一模,9)如图,用四条线段首尾相接连成一个框架,其中AB=12,BC=14,CD=18,DA=24,则A、B、
38、C、D任 意 两 点 之 间 的 最 长 距 离 为()A.24B.26C.32D.36三年模拟A组 20162018年模拟基础题组答案答案C已知AB=12,BC=14,CD=18,DA=24;选12+14、18、24作为三角形,则三边长分别为26、18、24;26-241826+24,能构成三角形,此时两个端点间的最长距离为26.选12、14+18、24作为三角形,则三边长分别为12、32、24;32-241232+24,能构成三角形,此时两个端点间的最大距离为32.选12、14、18+24作为三角形,则三边长分别为12、14、42;1242-14,不能构成三角形.故选C.1.(2016新乡
39、二模,4)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出AOB=AOB的依据是()A.SSSB.SASC.AASD.ASA考点二三角形全等考点二三角形全等答案答案A由题意知,OC=OD=OC=OD,CD=CD,所以OCDOCD,依据是SSS,故AOB=AOB.故选A.2.(2016郑州一模,8)已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到E,使CE=2,连接DE,动点F从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BCCDDA向终点A运动.设点F的运动时间为t秒,当t为秒时,ABF和 DCE全等()A.1B.1或3C.1或7D.3或7答案答案C当点F在BC上,且满足BF=CE=2时,在ABF
40、和DCE中,BF=CE,ABF=DCE=90,AB=DC,ABFDCE(SAS),此时点F运动的路程BF=2,t=22=1.(见图1) 图1当点F在AD上,且满足AF=CE=2时,在BAF和DCE中,AB=CD,BAF=DCE=90,AF=CE,BAFDCE(SAS),此时点F运动的路程为BC+CD+DF=6+4+4=14,t=142=7.(见图2)图2当点F在CD上时,不存在全等.t=1或7,故选C.3.(2018安阳一模,22)如图,点A是直线PQ上一动点,BCPQ,垂足为C,线段AB的垂直平分线DE交PCB的角平分线于点E,交AB于点D.连接AE,BE.(1)如图1,AE与BE的数量关系
41、是;过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N,通过证明AEMBEN,可知AE与BE的位置关系是.(2)当点A在点C的下方如图2所示的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)当点A位于如图3的位置时,过点A作AFCB交PCB的平分线于点F,设AC=a,CB=b,请直接写出EF的长(用含a,b的式子表示).图2图1图3解析解析(1)相等;垂直.(2)成立.理由如下:过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N,如图所示.PQBC,四边形MCNE是矩形,MEN=90.CE是PCB的平分线,ME=EN.又ED是AB的垂直平分线,AE=BE,AMEBNE,MEA=NEB.MEA+AEN=90,NE
42、B+AEN=90,AEBE.综上,AE=BE,AEBE.(3)EF=(b-a).4.(2017河北邯郸一模,21)已知:如图,ABC和EFC都是等腰直角三角形,ACB=ECF=90,点E在AB边上.(1)求证:ACEBCF;(2)若BFE=60,求AEC的度数.解析解析(1)证明:ABC和EFC都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CF.ACB=ECF=90,ACE+ECB=ECB+BCF,ACE=BCF.ACEBCF(SAS).(2)ECF是等腰直角三角形,ECF=90,CEF=CFE=45.BFE=60,BFC=BFE+CFE=105.ACEBCF,AEC=BFC=105.B组201620
43、18年模拟提升题组(时间:25分钟分值:30分)一、选择题（每题3分，共6分）1.(2018商丘一模,5)如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,ABOC,DC与OB交于点E,则DEO的 度 数 为()A.85B.70C.75D.60答案答案C由题意得,B=30,C=45,因为ABOC,所以BOC=B=30.所以DEO=BOC+C=30+45=75.故选C.思路分析思路分析本题考查角的性质,平行线的性质,三角形外角定理,属基础题.2.(2017安阳一模,8)如图,已知ABC,按如下步骤作图:先分别以A,B两点为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN;再分
44、别以B,C两点为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,GH与MN交于点P.若BAC=66,则BPC等于()A.66B.99C.132D.114答案答案C由作图知MN,GH分别是AB,BC边的垂直平分线,连接PA,则PA=PB=PC,PAB,PAC为等腰三角形.PAB=PBA,PAC=PCA.APB=180-2PAB,APC=180-2PAC,APB+APC=360-2BAC=228,BPC=360-(APB+APC)=132,故选C.3.(2018安阳一模,12)如图,ABC中,B=35,BCA=75,请依据尺规作图的作图痕迹,计算=.二、填空题(共3分)答案答案7
45、5解析解析B=35,BCA=75,BAC=70.由作图痕迹可知,AD是BAC的角平分线,CAD=BAC=35.由作图痕迹可知,EF是线段BC的垂直平分线,BCF=B=35,ACF=ACB-BCF=40,=CAD+ACF=75.思路分析思路分析根据三角形的内角和得出BAC=70,由角平分线的定义求出CAD的度数,再由EF是线段AC的垂直平分线得出B=BCF,最后得出的度数.4.(2018濮阳一模,22)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,B+ADC=180,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD上,EAF=BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系.(1)思路梳理将ABE绕点
46、A逆时针旋转至ADG,使AB与AD重合,由B+ADC=180,得FDG=180,即点F,D,G三点共线,易证AFG,故EF,BE,DF之间的数量关系为;(2)类比引申如图2,在图1的条件下,若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上,EAF=BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明;(3)联想拓展如图3,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D,E均在边BC上,且DAE=45,若BD=1,EC=2,则DE的长为.三、解答题(共21分)解析解析(1)AFE,EF=BE+DF.(2)EF,BE,DF之间的数量关系是EF=DF-BE.证明:将ABE
47、绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到ADE,如图(1)所示,则ABEADE,DAE=BAE,AE=AE,DE=BE,ADE=ABE.ABC+ADC=180,ABC+ABE=180,ADE=ADC,即E,D,F三点共线.又EAF=BAD,EAF=BAD-(BAF+DAE)=BAD-(BAF+BAE)=BAD-EAF=BAD,EAF=EAF.在AEF和AEF中,AEFAEF(SAS),FE=FE.又FE=DF-DE,EF=DF-BE.(3).提示:将ABD绕点A逆时针旋转至ACD,使AB与AC重合,连接ED,如图(2)所示,由(1)得,AEDAED,DE=DE.ACB=B=ACD=45,ECD
48、=90.在RtECD中,ED=,即DE=.思路分析思路分析本题以旋转变换为背景考查全等三角形的判定和性质.(1)由题意得AFGAFE,易得EF=BE+DF;(2)将ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到ADE,证明AEFAEF,根据全等三角形的性质解答;(3)将ABD绕点A逆时针旋转至ACD,使AB与AC重合,连接ED,根据全等三角形的性质、勾股定理计算得解.5.(2016安阳二模,22)数学课上老师提出了如下问题:如图1,ABC是等边三角形,点D在AC的延长线上,且CD=DE,ECBC(ECBC),连接BE,点F是BE的中点,连接AF,DF.试问:AF与DF有怎样的位置关系?DAF的
49、度数是多少?(1)尝试探究小明解决上述问题时,尝试探索的思路是:延长DF到点G,使GF=DF,连接BG(如图2),然后证明DEFGBF,再证明AG=AD,从而得出结论.根据小明的思路和你的探索,你认为:AF与DF的位置关系是;DAF的度数为.(2)解决问题若将图1中的CDE绕点C顺时针旋转,使点E落在BC边上,其他条件不变(如图3),请判断(1)中你得到的结论是否仍然成立.若成立,请说明理由;若不成立,请给出新的结论,并加以证明.解析解析(1)AFDF;30.(4分)(2)(1)中的结论仍然成立,理由如下:延长DF到点G,使GF=DF,连接BG,AG,如图.点F是BE的中点,BF=EF.在BF
50、G和EFD中,BFGEFD.(6分)GB=DE,GBF=DEF.DE=DC,GB=DC.ABC是等边三角形,AB=AC,BAC=ABC=ACB=60,由(1)知,DEC=DCE=30,GBF=DEF=150.ABG=GBF-ABC=150-60=90.ACD=ACB+DCE=60+30=90.GBA=ACD.在ABG和ACD中,ABGACD.(8分)AG=AD,GAB=DAC.GAD=60,ADG为等边三角形.又GF=DF,AFDF,DAF=30.(10分)思路分析思路分析(1)根据等边三角形的性质和F是BE的中点,构造全等三角形,得出结论;(2)类比(1)中的证明方法,构造BFGEFD,再证ABGACD,得出AGD为等边三角形,从而解决问题.
