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1、 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 （一）教学目标 1. 知识与技能： 掌握2 ,2 ,2SCT公式的推导，明确的取值范围, 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明. 2. 过程与方法： 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力, 通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力. 3. 情感态度与价值观： 引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. （二）教学重点 二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用. （三）教学难点 理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学过的同角三角函数的
2、基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用. （四）前置性作业 1 阅读教材132 页至134 页，了解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其应用并作简单的提纲. 2 回顾两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并说明角的取值范围. 3 你能利用两角和与差的三角函数公式推导出sin 2 ,cos 2 ,tan 2的公式吗，并说明角的取值范围？ 4 在以上得到的二倍角的余弦公式2cos中，如果要求表示式中只含的正弦（余弦）那么能得到怎样的公式？ 【 小组活动】 5 你能对二倍角公式做那些变形，试着写一写？ 6 你能借助“22sincos1”推出正弦余弦二倍角公式与正切单角的关系吗？ （五）教学过程 创设情景
3、我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，请同学们 2 回顾两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并说明角的取值范围 cos()coscossinsin sin()sincoscossin tantan1tantan)tan( 且 ,4k1 ,()224kkkZ 即1 ,()242kkkZ且时才成立，否则不成立 二倍角公式的推导 3 你能利用两角和与差的三角函数公式推导出sin 2 ,cos 2 ,tan 2的公式吗，并说明角的取值范围？ 在()()(),SCT 中，令， 就可以求出sin 2 ,cos 2 ,tan 2的表达式，对应的表达式为： sincoscossinsin2sin co
4、ssin2 sinsincoscoscos2cos 22sincos 2tan1tan2tantan1tantan)tan(tan2 即： cossin22sin 22sincos2cos. 2tan1tan2tan2 问 若利用22sin22sincostan2cos2cossin，如何用tan表示tan 2？ 公式22 ,CS中， 角可以是任意角，但公式2T只有当21tan0,tan和tan 2 有意义，即tan1 ，tan和tan 2有意义的时候才成立. 即 ,4k1 ,()224kkkZ 即1 ,()242kkkZ且时才成立，否则不成立. 注 “倍”是描述两个数量之间的关系的，如 与
5、2 是单角与二倍角关系. 例如2 与 4 ，与2，63与等都满足这种关系. 4 在以上得到的二倍角的余弦公式2cos中，如果要求表示式中只含的正弦（余弦）那么能得到怎样的公式？ 对于22s i nc o s2c o s可利用公式1cossin22变形可得：22cos1sin，22sin1cos 这样，1cos2cos1cossincos2cos22222 22222sin21sin1cossincos2cos因此，2cos还可以变形为下述表达形式： 1cos22cos2 2sin212cos 利用二倍角公式求值 例 1 已知sin2=135,4 2,求 sin4,cos4,tan4的值. 解
6、:由42,得22 . 又sin2=135, cos2=a2sin12=1312)135(12. 于是sin4=sin2(2)=2sin2cos2=2135(1312)=169120; cos4=cos2(2)=1-2sin22=1-2(135)2=129119; tan4=aa4cos4sin=(-169120)119169=119120. 【 小组活动】 5 你能对二倍角公式做那些变形，试着写一写？ 2sin21cossin, sin22sincos ,1cos2sincos222 2cossin212,212coscos2,22cos1sin2 tan2）tan1（2tan2 6 你能借助
7、“22sincos1”推出正弦余弦二倍角公式与正切单角的关系吗？ 222tan1tan2cossincossin2cossincossin22sin 22222222tan1tan1cossinsincossincos2cos 变式训练 练习1 不查表求下列各式的值 (1)15cos15sin, (2)8sin8cos22, (3)5 .22tan15 .22tan22, (4)75sin212 解 : (1)15cos15sin=214130sin, (2)8sin8cos22224cos, (3)5 .22tan15 .22tan22145tan, (4)75sin21223150cos
8、例 2 在ABC中 ,cosA=54,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值. 解：方法一:在ABC 中 ,由 cosA=54,0A ,得 sinA=.53)54(1cos122A 所以tanA=AAcossin=5345=43, tan2A=724)43(1432tan1tan222AA 又 tanB=2, 所以tan2B=.342122tan1tan222BB 于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan2tan12tan2tanBABA 方法二:在ABC 中 ,由 cosA=54,0A ,得 sinA=.53)54(1cos122A 所以tanA=AAco
9、ssin5345=43.又 tanB=2, 所以tan(A+B)=2112431243tantan1tantanBABA 于是tan(2A+2B)=tan2(A+B) =.11744)211(1)211(2)(tan1)tan(222BABA 练习2 化简：.4sin4cos14sin4cos1aaaa 解：原式aaaaaa2cos2sin22sin22cos2sin22cos222 =)2cos2(sin2sin2)2sin2(cos2cos2aaaaaa =cot2. 利用二倍角公式证明 例 3：证明恒等式 2sin 2sintan .2cos22sincos 证明恒等式有哪些途径：一是由
10、左边证到右边或者从右边证到左边,二是从繁到简,三是左右归一. 证明：左边=2222sincossin2(cossin)2sincos =sin (2cos1)tancos (2cos1) =右边. 练习3 证明2cos2sin12cos2sin1=tan . 证明:方法一: 左 =) 1cos21 (cossin2)cos211 (cossin2)2cos1 (2sin)2cos1 (2sin22 =22coscossincos1cossin =22coscossinsincossin )cos(sincos)sin(cossin=tan =右 . 所以,原式成立. 方法二: 左 =22222222222cos22sinsin22sinsincos2sincossincossinsincossin =)cos(sincos2)cos(sinsin2=tan =右 . （六） 课时小结 本节课主要学了哪些内容，你有什么收获？ (七）课后作业 层次一：练习B 1,2 习题3-2 B 1. 层次二：练习B 1,2,3 习题3-2 B 1,3(1)(2)(3). (八）课后反思
