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1、椭圆的定义和椭圆的定义和标准方程标准方程宁波市鄞州职教中心学校宁波市鄞州职教中心学校 数学组数学组 匡志新匡志新 2003 2003年年1010月月1515日日, ,神州神州5 5号飞船升空号飞船升空, ,实实现了中国人进入太空的梦想现了中国人进入太空的梦想, ,大家思考过没大家思考过没有有, , 飞船是沿着一条什么样的轨迹飞行呢飞船是沿着一条什么样的轨迹飞行呢? ?引入引入引入引入引入引入观察生活中的图形观察生活中的图形:茶杯口茶杯口引入引入椭圆这些都是引入引入复习与回顾复习与回顾回忆圆的定义? 平面内平面内, ,到定点的距离到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆等于定长的点的轨迹是圆. .回忆
2、求圆的方程的步骤:(1)建系设点；(2)写出集合；(3)列方程；(4)化简；(5)修正与检验.新授新授平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。F1F2M新授新授当当2a=|F1F2|时，此时时，此时M点的轨迹为点的轨迹为线段线段F1F2当当2a|F1F2|时，此时的轨迹时，此时的轨迹椭圆椭圆F1F2MF1F2F1F2以两定点所在直线为以两定点所在直线为x轴，两定点的中点轴，两定点的中点为原点建立坐标系，如图。为原点建立坐标系，如图。设设M（x, y）为椭圆上任意一点，为椭圆上任意一点，设椭圆的焦距
3、为设椭圆的焦距为2c，M与与F1，F2的的距离之和为距离之和为2a。由椭圆的定义，椭圆说是集合由椭圆的定义，椭圆说是集合则有则有：移项得移项得两边平方得两边平方得移项化简得移项化简得两边平方两边平方化简得化简得椭圆的标椭圆的标准方程准方程新授新授F1F2Mxyo表示焦点在表示焦点在x轴，焦点为轴，焦点为F1（-c,0），），F2（c,0）,c2 = a2 - b2的椭圆的标准方程。的椭圆的标准方程。如果是以如果是以F1，F2所在直线为所在直线为y轴，建立直角坐标系，所求出的轴，建立直角坐标系，所求出的椭圆的标准方程又是什么呢？椭圆的标准方程又是什么呢？表示焦点在表示焦点在y轴，焦点为轴，焦点为
4、F1（0, -c），），F2（0, c）,c2 = a2 - b2的椭圆的标准方程。的椭圆的标准方程。这也是椭圆这也是椭圆的标准方程的标准方程F2F1Mxyo新授新授F1F2MxyOxyoF2F1M表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）表示焦点在y轴，焦点为F1（0, -c），F2（0, c）归纳小结：归纳小结：1、椭圆的标准方程有两种：焦点在、椭圆的标准方程有两种：焦点在x轴或焦点在轴或焦点在y轴轴,且两焦且两焦点的中点为坐标原点点的中点为坐标原点.2、由椭圆的标准方程看出，焦点所在的位置可由方程中含、由椭圆的标准方程看出，焦点所在的位置可由方程中含x、y项的分母的大小来确定
5、，分母大的项对应的字母所在的轴项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴。就是焦点所在的轴。3、a、b、c始终满足始终满足a2 b2 = c2，并且总是并且总是ab0, ac0新授新授（1）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（）、（4，0），），椭圆上的一点椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于到焦点的距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（），（0，2），），并且椭圆经过点（并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。）。F1F2MxyOxyoF2F1M表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）表
6、示焦点在y轴，焦点为F1（0, -c），F2（0, c）求适合下列条件的椭圆的标准方程。解解：（：（1）因为椭圆的焦点在）因为椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为轴上，故可设它的标准方程为由已知，由已知，2a=10, 2c=8故可得，故可得，a=5c=4,b=3求得椭圆的标准方程为求得椭圆的标准方程为：例题例题（1）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（）、（4，0），），椭圆上的一点椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于到焦点的距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（），（0，2），），并且椭圆经过点（并且椭圆经过点（-3
7、/2，5/2）。）。F1F2MxyOxyoF2F1M表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）表示焦点在y轴，焦点为F1（0, -c），F2（0, c）1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。、求适合下列条件的椭圆的标准方程。解解：（：（2）因椭圆的焦点在）因椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的标准方程为轴上，故可设椭圆的标准方程为由椭圆的定义与两点间距离公式可求得由椭圆的定义与两点间距离公式可求得2a=由已知，由已知，c=2，并可求得并可求得b=6例题例题F1F2MxyO表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）表示焦点在y轴，焦点为F1（0, -c），F2（0, c）xyo
8、F2F1M练习练习1、椭圆、椭圆 的焦距是的焦距是 ，焦点坐标，焦点坐标是是 。2、动点、动点P到两个定点到两个定点F1（-4，0）、）、F2（4，0）的距离之和）的距离之和为为8，则，则P点的轨迹为点的轨迹为A、椭圆、椭圆B、线段、线段F1F2C、直线、直线F1F2D、不能确定、不能确定练习练习F1F2MxyO表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）表示焦点在y轴，焦点为F1（0, -c），F2（0, c）xyoF2F1M3、如果椭圆、如果椭圆 上一点上一点P到焦点到焦点F1的距离为的距离为6，则点则点P到另一焦点到另一焦点F2的距离为的距离为 。4、椭圆、椭圆mx2+ny2=
9、-mn，（，（mn0）的焦点坐标是）的焦点坐标是 。练习练习F1F2MxyO表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）表示焦点在y轴，焦点为F1（0, -c），F2（0, c）xyoF2F1M5、方程、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则k的取值的取值范围是范围是A、（、（0，+）B、（、（0，2）C、（、（1，+ ）D、（、（0，1）6、方程、方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则k的取值范围为的取值范围为 .若去掉焦点在若去掉焦点在y轴上的条件轴上的条件呢呢?若去掉焦点在若去掉焦点在y轴上的条件轴上的条件呢呢?练习练习1、本节课学习了圆锥曲线中的椭圆的形成及定义。、本节课学习了圆锥曲线中的椭圆的形成及定义。2、通过椭圆的定义推出了椭圆的标准方程。椭圆的标准、通过椭圆的定义推出了椭圆的标准方程。椭圆的标准方程有两种，一种焦点在方程有两种，一种焦点在x 轴，一种焦点在轴，一种焦点在y轴。轴。3、给出了椭圆的标准方程焦点位置的判断方法。、给出了椭圆的标准方程焦点位置的判断方法。4、椭圆的标准方程主要是利用待定系数法求出、椭圆的标准方程主要是利用待定系数法求出a、b的值的值从而求出椭圆的标准方程。从而求出椭圆的标准方程。小结小结作业布置作业布置
