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1、15个乒乓球等-事件的独立性及概率解解一、事件的独立性引例一、事件的独立性引例 一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概第二次摸到黑球的概率。率。例例A=A=第一次摸到黑球第一次摸到黑球 ，B=B=第二次摸到黑球第二次摸到黑球 则则 15个乒乓球等-事件的独立性及概率 设、为任意两个随机事件，如果设、为任意两个随机事件，如果（）（）（）（）即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件即事件发生的可能性不受事件的影
2、响，则称事件对于事件独立对于事件独立 显然，对于独立，则对于也独立显然，对于独立，则对于也独立，故称故称与相互独立与相互独立 事件的独立性事件的独立性 independencen定义定义15个乒乓球等-事件的独立性及概率事件的独立性事件的独立性 判别判别n事件与事件独立的充分必要条件是事件与事件独立的充分必要条件是证明证明n实际问题中，事件的独立性可根据问题的实实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断际意义来判断 如甲乙两人射击，如甲乙两人射击，“甲击中甲击中”与与“乙击中乙击中”可以可以认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立15个乒乓球等-
3、事件的独立性及概率例如例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩一个家庭中有男孩、又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩，对下列两种情形，对下列两种情形，讨论讨论A与与B的独立性：（的独立性：（1）家庭中有两个小孩；）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。解解 情形（情形（1）的样本空间为）的样本空间为 =（男男），（男女），（女男），（女女）（男男），（男女），（女男），（女女） 此种情形下，此种情形下，事件事件A、B是不独立的是不独立的。 15个乒乓
4、球等-事件的独立性及概率例如例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩一个家庭中有男孩、又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩，对下列两种情形，对下列两种情形，讨论讨论A与与B的独立性：（的独立性：（1）家庭中有两个小孩；）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。解解 情形（情形（2）的样本空间为）的样本空间为 =（男男男），（男（男男男），（男男男女），（女），（男男女男），（女女男），（女男男男男） （男男女女），（女女女），（女男女），（女女男），（
5、女女女）男女），（女女男），（女女女） 此种情形下，此种情形下，事件事件A、B是独立的是独立的。 15个乒乓球等-事件的独立性及概率15个乒乓球等-事件的独立性及概率n定理定理 下列四组事件，有相同的独立性：下列四组事件，有相同的独立性： 证明证明 若若A、B独立，则独立，则 所以，所以， 独立。独立。 15个乒乓球等-事件的独立性及概率n概念辨析概念辨析事件与事件独立事件与事件独立事件与事件互不相容事件与事件互不相容事件与事件为对立事件事件与事件为对立事件15个乒乓球等-事件的独立性及概率例例甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为率为0.6，乙击中目
6、标的概率为，乙击中目标的概率为0.5。试计算。试计算 1）两人都击中目标的概率；）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击）恰有一人击中目标的概率；中目标的概率；3）目标被击中的概率。）目标被击中的概率。解解 设设A表示表示“甲击中目标甲击中目标”，B表示表示“乙击中目标乙击中目标” 则则 15个乒乓球等-事件的独立性及概率如果事件如果事件A，B，C满足满足P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件则称事件A，B，C相互独立。相互独立。注注意意事件事件A，B，C相互独立与事件相互独立与事件A，B，C两两独两
7、两独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之不一定。不一定。有限多个事件的独立性有限多个事件的独立性 15个乒乓球等-事件的独立性及概率例例设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一个四面体标有号码一个四面体标有号码1 1，2 2，3 3，4 4。令。令A=A=第一个四面体的触地面为偶数第一个四面体的触地面为偶数 B=B=第二个四面体第二个四面体的触地面为的触地面为奇数奇数 C=C=两个四面体两个四面体的触地面的触地面同时同时为为奇数，或者同奇
8、数，或者同时为偶数时为偶数 试讨论试讨论A A、B B、C C的相互独立性。的相互独立性。15个乒乓球等-事件的独立性及概率A=第一个第一个为偶数为偶数；B=第二个第二个为奇数为奇数C=两个两个同时为奇数，或者同时为偶数同时为奇数，或者同时为偶数解解 试验的样本空间为试验的样本空间为 所以，所以，A、B、C两两独立两两独立，但，但总总起来讲不独立起来讲不独立。15个乒乓球等-事件的独立性及概率定义定义共有（共有（2n-n-1）个等式）个等式 15个乒乓球等-事件的独立性及概率对满足相互独立的多个事件，有对满足相互独立的多个事件，有15个乒乓球等-事件的独立性及概率 例例 加工某一种零件需要经过
9、三道工序，设三道工序的加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为次品率分别为2%2%，1%1%，5% 5% ，假设各道工序是互不影响，假设各道工序是互不影响的求加工出来的零件的次品率的求加工出来的零件的次品率 解解 设设1 1 ，2 2 ，3 3 分别表示第一、第二、第三道工分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：序出现次品，则依题意：1 ,1 ,2 ,2 ,3 3 相互独立，且相互独立，且 （1）2 % , （2）1% , （3）5% 又设表示加工出来的零件是次品又设表示加工出来的零件是次品, , 则则 A A1 12 23 3 方法方法 （用对立事件的概率关系）（用
10、对立事件的概率关系） 1(1 0.02)(1 0.01)(1 0.05) 0.0783 15个乒乓球等-事件的独立性及概率 将试验将试验E E重复进行重复进行n n次次, ,若各次试验的结果互不若各次试验的结果互不影响影响, ,则称这则称这n n次试验是相互独立的次试验是相互独立的. 设随机试验设随机试验E E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A:A及及 , ,且且P(A)=p,P(A)=p,在相同的条件下将在相同的条件下将E E重复进行重复进行n n次独立试验次独立试验, ,则称这一串试验为则称这一串试验为n n重贝努利试验重贝努利试验，简称贝努利试简称贝努利试验验( (Bernoull
11、i trialsBernoulli trials).).贝努利试验贝努利试验Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互独立的试验相互独立的试验n 贝努利试验贝努利试验15个乒乓球等-事件的独立性及概率例例 一批产品的次品率为一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，检验后放回，再取一个， 连取连取 4 次求次求 4 次中恰有次中恰有 2 次取到次品的概率次取到次品的概率 设设 恰好有恰好有 2 2 次取到次品次取到次品, , 取到次品，取到次品， 则则 取到正品取到正品 n分析分析n = 4 n = 4 的的 Bernou
12、lli Bernoulli 试验试验i i=第第i i次抽样抽到次品次抽样抽到次品 15个乒乓球等-事件的独立性及概率因为因为1 1，2 2，3 3，4 4 相互独立，所以相互独立，所以 四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有 15个乒乓球等-事件的独立性及概率贝努利定理贝努利定理 设在一次试验中事件发生的概率为设在一次试验中事件发生的概率为 p (0p0）的平行线，）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（la）的针，求）的针，求针与直线相交的概率。针与直线相交的概率。d2al解解 设针的中点离较近
13、直线的距离设针的中点离较近直线的距离为为d，针与较近直线的交角为，针与较近直线的交角为。则则d与与的可取值为的可取值为 0da , 0所求概率为所求概率为 针与直线相交针与直线相交 0dlsin da15个乒乓球等-事件的独立性及概率 将线段将线段ABAB任意分成三段任意分成三段ACAC、CDCD、DBDB，试求这，试求这三段可构成三角形的概率。三段可构成三角形的概率。n 讨论讨论A C D B 解解 如图，设如图，设AB长为长为1，AC长为长为x，CD长为长为y，则，则 DB长为长为1-x-y 于是于是x，y应满足应满足 设设A表示表示“三段可构成三角形三段可构成三角形” 则则A发生的充分必
14、要条件是发生的充分必要条件是 所以，所求概率为所以，所求概率为0.25 15个乒乓球等-事件的独立性及概率发报台分别以概率发报台分别以概率 0.6 0.6 和和 0.4 0.4发出信号发出信号“ “ ”和和“ “ ” ”， 由于通信系统受到干扰，当发出信由于通信系统受到干扰，当发出信号号“ “ ”时，收报台分别以概率时，收报台分别以概率 0.8 0.8 及及 0.2 0.2 收收到信号到信号 “ “ ”和和“ “ ” ”，同样，当发报台发，同样，当发报台发出信号出信号“ “ ” ”时，收报台分别以概率时，收报台分别以概率 0 .9 0 .9 和和0.1 0.1 收到信号收到信号“ “ ” ”和
15、和“ “ ”求求(1) (1) 收报台收到信号收报台收到信号“ “ ”的概率的概率(2(2） 当收报台收到信号当收报台收到信号“ “ ”时，发报台确系时，发报台确系发出信号发出信号“ “ ”的概率（的概率（P26P26练习练习2424）n 讨论讨论设设“发出信号发出信号.”为事件为事件A，“接收信号接收信号.”为为B 则则 15个乒乓球等-事件的独立性及概率 爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是 否携带爱滋病病毒否携带爱滋病病毒. .设这种试验的设这种试验的假阴性假阴性比例为比例为5%5% （即在携带病毒的人中，有（即在携带病毒的人中，有5%5%
16、的试验结果为阴的试验结果为阴 性），性），假阳性假阳性比例为比例为1%1%（即在不携带病毒的人中，（即在不携带病毒的人中， 有有1%1%的试验结果为阳性）的试验结果为阳性）. .据统计人群中携带病毒据统计人群中携带病毒者约占者约占11，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率人携带爱滋病毒的概率. .（P27P27练习练习3333）n 讨论讨论（贝叶斯公式）（贝叶斯公式） 符号引入：符号引入：“携带病毒携带病毒”为为A，“实验呈阳性实验呈阳性”为为B，则，则 求求 15个乒乓球等-事件的独立性及概率2 2， 在一盒子中装有在一盒子中装有1515
17、个乒乓球，其中有个乒乓球，其中有9 9个新球。个新球。在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第二次取出的三个球均为新球的概率。二次取出的三个球均为新球的概率。解解 设第一次取出的球为设第一次取出的球为“3新新”、“2新新1旧旧”、“1新新2旧旧” “3旧旧”分别为事件分别为事件A1、A2、A3、A4；“第二次取第二次取 出三个新球出三个新球”为事件为事件B，则，则15个乒乓球等-事件的独立性及概率 某工人照看三台机床，一个小时内某工人照看三台机床，一个小时内1号，号，2号，号，3号号机床需要照看的概率分别为机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之。设各机床之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1）没）没有一台机床需要照看的概率；有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要照）至少有一台不需要照看的概率；看的概率；3）至多有一台需要照看的概率）至多有一台需要照看的概率。解解 设设Ai表示表示“第第i台机床需要照看台机床需要照看”，（，（i=1，2，3）则则 P（A1）=0.3； P（A2）=0.2； P（A3）=0.1；15个乒乓球等-事件的独立性及概率
