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1、丘成桐教授丘成桐教授美美 國國 哈哈 佛佛 大大 學學 數數 學學 系系 教教 授授 香香 港港 中中 文文 大大 學學 數數 學學 講講 座座 教教 授授香香 港港 中中 文文 大大 學學 數數 學學 科科 學學 研研 究究 所所 所所 長長菲菲 爾爾 茲茲 獎獎 得得 獎獎 人人 今日很高興的在這裏和公開大學的同學談談我自己對數學服務社會的看法。公開大學這麼多年來訓練了許多有上進心的青年，使我欽佩，在五十年代，除了香港大學外，沒有一家政府承認的大學，中文大學前身的崇基、新亞、聯合和當時的浸會學院吸收了香港很多人材，當時無論老師和學生都很窮苦，但是以後卻成為社會的中堅份子。我想公開大學的學生
2、也會成為香港的人材，為二十一世紀的新中國服務。這十多年來，香港、中國和整個亞洲社會都逐漸轉型，尤其是中國改革開放以後，香港社會所需要的人材更多姿多采。亞洲各國要與全世界的經濟、文化、科學接軌，而中國大陸和日本會領導亞洲的發展，所以香港的青年也應當訓練自己來適應這個趨勢。沒有辦法迎接這個新時代來臨的青年恐怕要吃虧。縱觀全世界大學訓練人材的最基本要求乃是語文和數學，所有美國大學都看SAT的成績，而SAT中最基本的乃是這兩門學問的考試。這為的是甚麼呢？語文訓練使我們能夠表達自己的意思，數學訓練讓我們具有推理的能力，沒有這兩種能力，我們實在很難說我們是具有文化氣息的現代人。很多人對於數學不切實際的看法
3、，以為數學家都躲在象牙塔裏，不食人間煙火，這是極為錯誤的看法。事實上，整個智識型的現代社會極度需要經濟、工程、管理等等方面的人材，而在現代化的前提下，這些人材都需要相當程度的數學訓練。一般來說，數學訓練分兩個層次，一個層次是在象牙塔裏的為了追求純真純美的研究，表面上這些研究與實用毫無關係，從前我們知道這些研究十多年或數十年後總會有大的用場，但是近二十多年來，我們發覺純數學和應用的距離愈來愈縮小距離了。數學的第二個層次就是在各行業上的應用，這是今天演講的主題。二十一世紀的重要科學二十一世紀的重要科學w訊息科學訊息科學w生命科學生命科學w能源科學能源科學w材料科學材料科學w環境科學環境科學w經濟金
4、融科學經濟金融科學它們之間的它們之間的橋樑、溝通橋樑、溝通就是數學就是數學近年的科技發展近年的科技發展 都需要很多數學的支援都需要很多數學的支援 醫學素描，生物色素分佈醫學素描，生物色素分佈( (豹紋、虎紋豹紋、虎紋) )，DNADNA結構，量結構，量子物理，材料科學，子物理，材料科學，半導體半導體，財經科學，大型晶體結，財經科學，大型晶體結構，構，互聯網互聯網 Radon Transform, Diffusion Equation, Knot Theory, Gauge Theory, Mathematics Computation on Quantum Mechanics, Many Bo
5、dy Model, Inverse Problems數學研究對科學的貢獻數學研究對科學的貢獻美國政府美國政府Labor Dept. 關於關於大學畢業生報告的一段話大學畢業生報告的一段話Other (non-mathematics) occupations that require extensive knowledge of mathematics include actuary, statistician, computer programmer, system analyst, system engineer, operation research analyst. A strong ba
6、ckground in mathematics also facilitates employment in engineering, economics, finance, and physics.其他需要其他需要深入數學知識深入數學知識的行業包括精算、的行業包括精算、統計師、程式編寫、系統分析、系統工統計師、程式編寫、系統分析、系統工程、運籌分析等。而程、運籌分析等。而數學基礎良好數學基礎良好往往往往有助於發展工程、經濟、財務及物理等有助於發展工程、經濟、財務及物理等事業。事業。美國政府美國政府Labor Dept. 關於關於大學畢業生報告的一段話大學畢業生報告的一段話數學為基礎的多元發展
7、數學為基礎的多元發展從事其他學科研究從事其他學科研究的的，包括包括：電子計算、經濟、統計、財務、風險管理、電子計算、經濟、統計、財務、風險管理、社科、哲學社科、哲學 還有從事非學術研究的各行業的還有從事非學術研究的各行業的 圖像壓縮圖像壓縮數據保安數據保安數學與社會數學與社會物流物流風險管理風險管理數據壓縮數據壓縮 (JPEG 2000)小波小波 (Wavelet) 壓縮壓縮如果如果 A 是平滑的，那麼是平滑的，那麼 Di 就很小就很小Si = A 的的平滑平滑部份部份Di = A 的的高頻高頻部份部份A一個信號和它的小波變換一個信號和它的小波變換原始信號原始信號變換後信號變換後信號Di 0
8、圖像是平滑的圖像是平滑的 壓縮壓縮 = 刪除小的刪除小的 Di小波小波壓縮：壓縮：考慮以下考慮以下 16 個數字：個數字：A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1S1 = 3, 7, 11, 15, 15, 11, 7, 3D1 = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1兩兩相加：兩兩相加：A = S1 D1兩兩相減：兩兩相減：對對S1重複剛才的程序：重複剛才的程序：S2 = 10, 26, 26, 10 D2 = 4, 4, 4, 4對對S2重複剛才的程序：重複剛才的程序：S3 = 36, 36D3 = 16, 16S1 =
9、S2 D2S2 = S3 D3最後，我們有最後，我們有S4 = 72，D4 = 0S3 = S4 D4以魚骨來表示：以魚骨來表示：因此因此A = S4 D1 D2 D3 D4 JPEG (Fourier) 對對 JPEG 2000 (小波小波)未經壓縮處理的原有圖像的大小為 15 MBytes再壓縮幾何訊息的壓縮幾何訊息的壓縮w將三維圖形影射到球上將三維圖形影射到球上w在球上找一組互相垂直的多項式在球上找一組互相垂直的多項式 ( ( 球球面調和多項式面調和多項式 ) )w將三維訊息由這組多項式展開將三維訊息由這組多項式展開w壓縮訊息只要保持其中足夠多的多項壓縮訊息只要保持其中足夠多的多項式式圖
10、像影射到圓球體上圖像影射到圓球體上壓縮壓縮 256 256 倍後的圖像倍後的圖像原來的圖像原來的圖像數據保安數據保安數學與社會數學與社會RSA 公鑰密碼公鑰密碼w傳統密碼需要大量密鑰以至密鑰的分傳統密碼需要大量密鑰以至密鑰的分配及管理極為困難配及管理極為困難w現代保密的常用做法是由現代保密的常用做法是由 RivestRivest, , ShamirShamir, , AdlemanAdleman 於於19781978年提出年提出w安全性是基於大整數分解安全性是基於大整數分解 ( ( 已知是一已知是一個計算來說極為困難的個計算來說極為困難的問題問題 ) )w加加密鑰可以公開因此稱為公鑰密碼密鑰可
11、以公開因此稱為公鑰密碼解密算法依賴數論中的解密算法依賴數論中的 Fermat 定理定理破破解解 RSA 密密碼碼的的主主要要方方法法大大數數分分解解是是數論中一個重要課題數論中一個重要課題現現今今最最快快的的全全面面性性大大數數分分解解算算法法依依次次為為：二二次次域域篩篩法法，數數域域篩篩法法，橢橢圓圓曲曲線法均建基於深刻的數學上線法均建基於深刻的數學上RSA 公鑰密碼的數學公鑰密碼的數學n = 63,978,486,879,527,143,858,831,415,041一個例子一個例子我們取我們取公鑰公鑰 e = 1193 = 1193及及國防部要傳遞以下重要訊息：國防部要傳遞以下重要訊息
12、：WE_ARE_UNDER_ATTACK_LAUNCH_THE_MISSILE_NOW29個數位轉化為一個轉化為一個84位的位的數字：數字：230500011805002114040518000120200103110012012114030800200805001309191909120500141523將它分為3個28位的數字：M1 = 2305000118050021140405180001M2 = 2020010311001201211403080020M3 = 0805001309191909120500141523加密後變成：C1 = 10605469435950032478675
13、69919C2 = 2485275951856773770355929250C3 = 13101173280250715817550140912前述的前述的 n 是兩個大素數是兩個大素數 p 和和 q 的乘積的乘積要要破破解解密密碼碼必必須須找找到到 p 和和 q，大大數數分分解就派上用場解就派上用場n = 63,978,486,879,527,143,858,831,415,041 = p q = 440,334,654,777,631 145,295,143,558,111取取 r = (p-1) (q-1) = 63,978,486,879,526,558,229,033,679,300
14、用公鑰用公鑰 e 算出一個算出一個密密鑰鑰 d 滿足滿足e d 1 (mod r) , 1 d rd = 30,568,095,156,186,201,333,234,581,057解密算法解密算法：Cd (Me)d M (mod n)原文原文這個大數經過十七年才給人用二二次域篩法分解出來次域篩法分解出來349052951084765094914784961990389813341776463849338784399082057732769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533 RSA 於 1977 年提出用n
15、= RSA-129 =114381625757888867669235779976146612010218296721242362562561842935706935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541在在2002年年，三三位位印印度度數數學學家家，Agrawal, Kayak 和和 Saxena 發發現現如如何何用用快快速速方方法法來來決決定定一一個個大大整整數數是是素素數數的的方方法法。這這個個方方法法有有助助於於上上述述 RSA 中中因因子子分分解解的的問問題題。主主要的觀念如下：要的觀念如下： 設設 p 為為
16、奇奇正正整整數數，而而 a 為為任任一一與與 p 無無公公約約數的整數，則數的整數，則 p 為素數的充份必要條件為為素數的充份必要條件為(x-a)p = xp - a (mod p)三三位位印印度度數數學學家家發發現現去去驗驗證證上上述述的的條條件件的的最佳手法為找到另一正整數最佳手法為找到另一正整數 r，使得，使得(x-a)p = xp - a (mod xr-1, p)這這個個計計算算極極為為快快速速，只只須須大大約約 r2 log p 步步的的計算即可。計算即可。數學與社會數學與社會物流貨物及訊息傳輸的數量和容量，都正在貨物及訊息傳輸的數量和容量，都正在急劇上升，令目前的網絡架構設施不勝
17、急劇上升，令目前的網絡架構設施不勝負荷，引致用戶不勝其煩負荷，引致用戶不勝其煩互聯網之應用日益廣泛互聯網之應用日益廣泛如：電子商貿、網上電台等如：電子商貿、網上電台等物流與物流與互聯網絡互聯網絡 國際及中港商貿國際及中港商貿 (CEPA, 9+2) ) JIT 以減少存倉成本以減少存倉成本 到達時間到達時間離開時間離開時間尺寸尺寸貨運大樓貨運大樓普通貨物普通貨物超大貨物超大貨物香港空運貨站中的貨物香港空運貨站中的貨物傳輸傳輸航機班次和容量航機班次和容量重量重量BCDS BCDS & & BSSBSS Oversize Oversize StackStack裝載裝載/拆卸拆卸貨物貨物服務時間服務
18、時間自自動化貨物處理及貯存動化貨物處理及貯存系統系統超前時間超前時間服務時間服務時間服務時間服務時間路徑的取捨路徑的取捨1. 1.以最短路徑傳遞貨物及訊息以最短路徑傳遞貨物及訊息假如網絡暢通無阻，我們會以最短路徑假如網絡暢通無阻，我們會以最短路徑傳遞貨物及訊息，節省傳遞時間傳遞貨物及訊息，節省傳遞時間2. 2.減低擠塞減低擠塞若網絡十分擠塞，我們需要尋找別的路若網絡十分擠塞，我們需要尋找別的路徑，避免擠進閉塞的路徑徑，避免擠進閉塞的路徑排隊論排隊論 ( (Queuing Theory)Queuing Theory) 如何建立一個有效的數學模型？如何建立一個有效的數學模型？ 預算不同地域、不同時
19、間網絡的使用預算不同地域、不同時間網絡的使用量量 預算貨物及訊息的到達時間和大小預算貨物及訊息的到達時間和大小 避免眾多貨物及訊息在同一時間擠進單一避免眾多貨物及訊息在同一時間擠進單一伺伺 服器或同一地域內服器或同一地域內圖論圖論 ( (Graph Theory)Graph Theory)在網絡上尋找最短路徑在網絡上尋找最短路徑尋找所有發送人與接受者之間的可行路徑尋找所有發送人與接受者之間的可行路徑國際互聯網絡11312公開大學公開大學中文大學中文大學44253758246782111141由中文大學往公開大學的由中文大學往公開大學的最短路徑最短路徑一個數學家創富的故事一個數學家創富的故事F.
20、 Thomson Leighton麻省理工學院應用數學麻省理工學院應用數學系教授系教授Akamai Technologies Incorporate (網路數據快網路數據快遞服務商遞服務商) 的創辦人的創辦人市場總值逾廿多億美元市場總值逾廿多億美元 Akamai 的成功之道的成功之道傳統的網絡架傳統的網絡架構構 單一訊息來源單一訊息來源 網絡呈樹狀形態網絡呈樹狀形態若某一伺服器發生故若某一伺服器發生故障，其分枝將會癱瘓，障，其分枝將會癱瘓，訊息將無法傳遞至使訊息將無法傳遞至使用者用者系統在首次發出訊息時，系統在首次發出訊息時，會將訊息複製及傳播至網會將訊息複製及傳播至網絡邊緣絡邊緣無間斷地傳遞
21、訊息至全世無間斷地傳遞訊息至全世界每一個角落界每一個角落若部份伺服器、甚至網絡中樞若部份伺服器、甚至網絡中樞發生故障，發生故障，AkamaiAkamai 仍能在鄰近仍能在鄰近的伺服器內提取使用者所需的的伺服器內提取使用者所需的訊息訊息AkamaiAkamai 分配系統分配系統利用圖論、運籌學計算伺服器的利用圖論、運籌學計算伺服器的最佳擺放位置最佳擺放位置Akamai 的網絡覆蓋全球的網絡覆蓋全球 54 個國家個國家數學與社會數學與社會風險管理風險管理風險管理風險管理甚麼叫風險甚麼叫風險 (Risk)？一一般般來來說說，風風險險是是關關乎乎災災難難發發生生的的可能性。可能性。災難的例子：災難的例
22、子： 911 事件事件 (紐約紐約) SARS 地震地震風險可以定義作由災難而導致損失的或風險可以定義作由災難而導致損失的或然率，這個觀念可以用統計學上的然率，這個觀念可以用統計學上的標準標準偏差偏差 (Standard Deviation) 來描述。現在來描述。現在我們來解釋客觀風險我們來解釋客觀風險 (Objective Risk) 這這個觀點。個觀點。年份年份12345區域區域 171110913區域區域 216410128例例如如，某某保保險險公公司司一一年年接接受受 1000 次次火火險險的的投投保保，由由過過去去 5 年年的的數數據據得得知知在在兩個不同區域有如下數據：兩個不同區域
23、有如下數據：在在這這兩兩區區域域上上，平平均均值值為為 10，所所以以損損失失的的概概率率為為 10/1000 = 0.01，可可是是在在這這兩兩個個不不同同區區域域有有不不同同的的標標準準偏偏差差，在在第第一一個個區域為區域為 2，在第二個區域為，在第二個區域為 4。正態分佈正態分佈 (Normal Distribution)例子：學生某次測驗成績的分佈例子：學生某次測驗成績的分佈平均值+3個標準偏差-3個標準偏差正態分佈主要取決於兩個參數：正態分佈主要取決於兩個參數：平均值和標準偏差平均值和標準偏差現在假定出事事件的發生分佈為正態分佈。現在假定出事事件的發生分佈為正態分佈。在區域一，它會有
24、平均值在區域一，它會有平均值 10 和標準偏差和標準偏差 2。在區域二，它會有平均值在區域二，它會有平均值 10 和標準偏差和標準偏差 4。於於是是，在在區區域域一一，我我們們應應當當預預期期明明年年的的數數量量會在會在 10 2 x 2 = 6, 14 中間。中間。在區域二，則為在區域二，則為 10 2 x 4 = 2, 18 中間。中間。所以在第一區域，可能發生的事件為所以在第一區域，可能發生的事件為 8 件。件。 在第二區域，可能發生的事件為在第二區域，可能發生的事件為16件。件。客觀風險客觀風險雖雖然然可可能能發發生生的的或或然然率率在在區區域域一一和和區區域域二二是是一一樣樣的的，但
25、但是是區區域域一一的的風風險險為為 8/2 x 1/10 = 0.4，而而區區域域二二為為 16/2 x 1/10 = 0.8，所所以以我我們們知知道道第第二區域比第一區域風險為大。二區域比第一區域風險為大。現現在在假假設設保保險險人人數數增增加加一一百百倍倍，由由一一千千人增加到一萬人，則預期事件會增加為人增加到一萬人，則預期事件會增加為100 x 10 = 1000。但第一區域的標準偏差則為但第一區域的標準偏差則為 而第二區域的標準偏差則改為而第二區域的標準偏差則改為 因因此此，對對區區域域一一，發發生生的的事事件件會會在在 1,000 2 x 20 = 960, 1040 中間，而客觀風
26、險等於中間，而客觀風險等於 0.04。對對區區域域二二，則則會會在在 1,000 2 x 40 = 920, 1080 中間，而客觀風險為中間，而客觀風險為 0.08。可可見見當當數數目目增增加加後後，客客觀觀風風險險大大量量減減少少，這這是是 Law of Large Number 的一部份。的一部份。保險業保險業保保險險業業的的做做法法乃乃是是將將個個人人的的風風險險分分散散到到眾眾人身上。人身上。當當人人數數夠夠多多時時，我我們們對對損損失失的的或或然然率率會會估估計得較為準確計得較為準確，而使得公司風險減少。而使得公司風險減少。但但這這些些都都由由所所謂謂 Law of Large N
27、umber 得得出出的的結結果果，我我們們必必須須由由假假設設每每次次損損失失的的事事件互不相關，不能預測並且並非人為的。件互不相關，不能預測並且並非人為的。金融科學裏面的數學：金融科學裏面的數學：在在對對沖沖基基金金中中有有不不同同的的手手法法來來減減少少投投資資風風險險，因因此此華華爾爾街街有有大大量量的的數數學學家家來來幫幫忙忙他他們們處處理理數數學學的的問問題題，最最有有名名的是的是 Black-Scholes 方程的創作。方程的創作。歐式期權歐式期權在對沖基金裏有一種方法，叫在對沖基金裏有一種方法，叫歐式期權歐式期權。投資者買投資者買歐式認購期權歐式認購期權，假定假定 T 個月為個月
28、為到期日到期日，屆時用，屆時用 $K 的價位的價位買入買入股票。股票。假假如如 T 個個月月後後，該該股股票票值值 ST ，則則這這個個期期權權的的價價值值為為 c = max (0, ST - K)，但但我我們們不不知知 ST 。如如果果在在短短時時間間內內，我我們們假假定定相相對對的的股股票票價價錢錢是是某某種種隨隨機機過過程程，如如：布布朗朗運運動過程動過程 (Brownian motion process)。我們發現我們發現 c 可以用方程式計算，是由可以用方程式計算，是由Fischer Black、Myron Scholes 和和 Robert Merton 在在 1973 年得到的
29、公式。年得到的公式。他們發現：他們發現：其其中中E是是一一個個隨隨機機積積分分，由由數數學學家家Weiner、Ito 等人發展出來的工具。等人發展出來的工具。數數學學在在社社會會科科學學上上的的應應用用在在上上述述的的例例子子已已經經是是多多姿姿多多采采，但但是是還還有有很很多多各各種種更更重重要要的的應應用用還還待待數數學學家家去去大力開發。大力開發。例例如如 Data mining 。這這幾幾年年來來文文獻獻和和在在網網上上的的數數據據可可能能是是人人類類有有史史以以來來知知識識文文獻獻的的總總和和，如如何何有有效效的的處處理理這這些些數數據據將將會會是是社社會會學、歷史學和種種不同科學的
30、前沿問題。學、歷史學和種種不同科學的前沿問題。有有些些海海底底地地層層的的數數據據就就使使得得油油公公司司發發現現新新的油田。的油田。所所有有數數學學的的應應用用都都是是建建立立在在一一個個良良好好的的數數學學基基礎礎上上，對對數數學學沒沒有有深深入入的的瞭瞭解解而而企企圖圖得得到到由由數數學學導導致致的的果果實實，即即使使可可能能，也也是是表面工夫。以下的圖表是其中一個表面工夫。以下的圖表是其中一個例子：例子： 辦研究宜有長遠眼光辦研究宜有長遠眼光不應急功近利不應急功近利橢圓曲線橢圓曲線沒沒有捷徑有捷徑編碼理論編碼理論素素數分解數分解互聯網保安互聯網保安純數學純數學應用數學應用數學技術科學技術科學
