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1、第7章 有限长单位脉冲响应 第7章 有限长单位脉冲响应 7.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点 7.2 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 7.3 用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器 7.4 等波纹线性相位滤波器等波纹线性相位滤波器7.5 FIR滤波器和滤波器和IIR滤波器的比较滤波器的比较7.6 数字滤波器的应用数字滤波器的应用第7章 有限长单位脉冲响应 7.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点 如果FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是实序列,且满足偶对称或奇对称的条件， 即h(n)=h(N-1-n)则滤波器就具有严格的线性相位特
2、点。 第7章 有限长单位脉冲响应 7.1.1 线性相位特性线性相位特性(1) 先看h(n)偶对称的情况: h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 （7-1）其系统函数为 将m=N-1-n代入 第7章 有限长单位脉冲响应 即 上式改写成 （7-2）（7-3）h(n)偶对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 滤波器的频率响应为 （7-4） 可以看到，上式的以内全部是标量，如果我们将频率响应用相位函数()及幅度函数H()表示 （7-5）h(n)偶对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 那么有： （7-6） （7-7） 式(7-6)的幅度函数H()是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是的偶对称函数和
3、周期函数; 而|H(ej)|取值大于等于零, 两者在某些值上相位相差。式(7-7)的相位函数()具有严格的线性相位，如图7-1所示。 h(n)偶对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 图 7-1 h(n)偶对称时 线性相位特性 h(n)偶对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 数字滤波器的群延迟()定义为 （7-8） 式中，grd(groupdelay)为群延迟函数。由式（7-8）可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时， 它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。(2)(2)再看再看
4、h h( (n n) )奇对称的情况奇对称的情况: : h(n)= - h(N-1-n) 0nN-1 （7-9） h(n)偶对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 其系统函数为 因此 H(z)= - z-(N-1)H(z-1) （7-10） h(n)奇对称的情况奇对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 同样可以改写成 （7-11） h(n)奇对称的情况奇对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 其频率响应为 （7-12） 所以有: （7-13）（7-14）h(n)奇对称的情况奇对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 幅度函数H()可以包括正值、负值和零，而且是的奇对称函数和周期函数。如图7-2所示。当h
5、(n)为奇对称时，FIR滤波器不仅有(N-1)/2 个采样的延时， 还产生一个90的相移。这种使所有频率的相移皆为90的网络，称为移相器，或称正交变换网络。它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的理论和实际意义。 当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络。 h(n)奇对称的情况奇对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 图 7-2 h(n)奇对称时线性相位特性 h(n)奇对称的情况奇对称的情况第7章 有限长单位脉冲响应 7.1.2 幅度响应特性幅度响应特性 1. 第一种类型：第一种类型： h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数为奇数从h(n)偶对称的幅度函数
6、式（7-6） 可以看出，不但h(n)对于(N-1)/2 呈偶对称，而且 也对(N-1)/2 呈偶对称，即: 第7章 有限长单位脉冲响应 由上，幅度函数就可以表示为 再进行一次换元，即令 ，则上式可改写为 h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数为奇数第7章 有限长单位脉冲响应 可表示为 （7-15） 式中: （7-16a） n=1,2,3,(N-1)/2 （7-16b） 按照式（7-15），由于式中cos(n)项对=0,2皆为偶对称，因此幅度函数H()对于=0, ，2也呈偶对称。 h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数为奇数第7章 有限长单位脉冲响应 2. 第二种类型：第二种类型：h(n)为偶对称，
7、为偶对称，N为偶数为偶数 推导过程和前面N为奇数相似，不同点是由于N为偶数，因此式（7-6）中无单独项，全部可以两两合并得 令，代入上式可得 因此 （7-17） 第7章 有限长单位脉冲响应 式中: n=1,2, 3, , N/2 （7-18） 按照式（7-17），当=时， ，余弦项对=呈奇对称，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 处必然有一个零点，而且H()对=呈奇对称。 当=0或2时， 或-1，余弦项对=0, 2为偶对称，幅度函数H()对于=0, 2也呈偶对称。 如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 h(n)为偶对称，为偶对称，N为偶
8、数为偶数第7章 有限长单位脉冲响应 因此，, 即h(n)奇对称时，中间项一定为零。此外，在幅度函数式（7-13）中， 也对(N-1)/2 呈奇对称。 3. 第三种类型：第三种类型： h(n)为奇对称，为奇对称，N为奇数为奇数将h(n)奇对称的幅度函数式（7-13）重写如下： 由于h(n)对于(N-1)/2 呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-1)/2时， 第7章 有限长单位脉冲响应 因此，在中第n项和第(N-1-n)项是相等的，将这两两相等的项合并，共合并为(N-1)/2， 即 h(n)为奇对称，为奇对称，N为奇数为奇数第7章 有限长单位脉冲响应 令 ， 则上式可改写为 即
9、式中: n=1, 2, 3, , (N-1)/2 （7-20） （7-19） h(n)为奇对称，为奇对称，N为奇数为奇数第7章 有限长单位脉冲响应 由于sin(n)在=0, , 2处都为零，并对这些点呈奇对称， 因此幅度函数H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上都有零点，且H()对于=0,2也呈奇对称。 如果数字滤波器在=0, , 2处不为零，例如低通滤波器、 高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计， 除非不考虑这些频率点上的值。 h(n)为奇对称，为奇对称，N为奇数为奇数第7章 有限长单位脉冲响应 4. 第四种类型：第四种类型：h(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数
10、和前面情况3推导类似，不同点是由于N为偶数，因此式（7-13）中无单独项，全部可以两两合并得 令， 则有 第7章 有限长单位脉冲响应 因此 式中: （7-22） （7-21） 由式（7-21），当=0, 2时， ，且对=0, 2呈奇对称，因此H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1 处有一个零点，且H()对=0, 2也呈奇对称。 h(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数第7章 有限长单位脉冲响应 当=时， 或1，则 对=呈偶对称，幅度函数H()对于=也呈偶对称。 如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、 带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 最后, 将这四种线性相位FI
11、R滤波器的特性示于表7-1中。 h(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数第7章 有限长单位脉冲响应 表表7-1 四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器 第7章 有限长单位脉冲响应 表表7-1 四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器 第7章 有限长单位脉冲响应 7.1.3 线性相位线性相位FIR滤波器的零点位置滤波器的零点位置 由式（7-2）与式（7-10）可以看到， 线性相位FIR滤波器的系统函数有以下特点： H(z)= z -(N-1) H(z-1) （7-23） 因此，若z=zi是H(z)的零点，即H(zi)=0，则它的倒数z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零点，因为H(zi-1)=z
12、i (N-1) H(zi)=0; 而且当h(n)是实数时，H(z)的零点必成共轭对出现，所以z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零点，因而线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。这种互为倒数的共轭对有四种可能性： 第7章 有限长单位脉冲响应 (1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，如图7-3(a)所示。 (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对，如图7-3(b)所示。 (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分。故零点对如图7-3(c)所示。 (4) zi既在实轴上又在单位圆
13、上，此时只有一个零点，有两种可能， 或位于z=1， 或位于z=-1，如图7-3(d)、 (e)所示。 第7章 有限长单位脉冲响应 图图 7-3 线性相位线性相位FIR滤波器的零点位置图滤波器的零点位置图 第7章 有限长单位脉冲响应 由幅度响应的讨论可知，第二种类型的线性相位滤波器由于H()=0， 因此必然有单根z=-1。第四种类型的线性相位滤波器由于H(0)=0, 因此必然有单根z=1。而第三种类型的线性相位滤波器由于H(0)=H(）=0， 因此这两种单根z=1 都必须有。 了解了线性相位FIR滤波器的特点，便可根据实际需要选择合适类型的FIR滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。下面讨论线
14、性相位FIR滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。 第7章 有限长单位脉冲响应 7.1.4 举例举例 例例 7-1 如果系统的单位脉冲响应为 0n4 其他n 显然，这是第一种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为 该系统的振幅、相位和群延迟示于图7-4中。因为h(n)的长度N=5， 群延迟也是整数，()=(N-1)/2=2。 第7章 有限长单位脉冲响应 图图 7-4 例例7-1系统的频率响应系统的频率响应（a） 振幅特性振幅特性; (b) 相位相位; (c) 群延迟群延迟 第7章 有限长单位脉冲响应 例例 7-2 系统的单位脉冲响应为 0n5 其他n h(n)为偶对称且长度N=6，
15、因此，这是第二种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为 该系统的振幅、相位和群延迟示于图7-5中。 第7章 有限长单位脉冲响应 图7-5 例7-2系统的频率响应(a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延迟 第7章 有限长单位脉冲响应 例例 7-3 系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-2) h(n)为奇对称且长度N=3，因此，这是第三种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为 该系统的振幅、 相位和群延迟示于图7-6中。 第7章 有限长单位脉冲响应 图 7-6 例7-3系统的频率响应（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延迟 第7章 有限长单位脉冲响应
16、 例例 7-4 系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-1) h(n)为奇对称且长度N=2，这是第四种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为 该系统的振幅、 相位和群延迟示于图7-7中。 第7章 有限长单位脉冲响应 图7-7 例7-4 系统的频率响应（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延迟 第7章 有限长单位脉冲响应 例例 7-5 一个FIR线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数的， 且n6 时h(n)=0。 如果h(0)=1且系统函数在z=0.5ej/3和z=3 各有一个零点，H(z)的表达式是什么？ 解解 因为n6 时h(n)=0，且h(n)是实值，所以当H(z)在z=0.5ej/3 有一个复零点时，则在它的共轭位置z=0.5e-j/3 处一定有另一个零点。这个零点共轭对产生如下的二阶因子： H1(z) =(1-0.5ej/3 z-1)(1-0.5e-j/3z-1) =1-0.5z-1+0.25z-2 第7章 有限长单位脉冲响应 线性相位的约束条件需要在这两个零点的倒数位置上有零点，所以H(z)同样必须包括如下的有关因子： 系统函数还包含一个z=3 的零点，同样线性相位的约束条件需要在z=1/3 也有一个零点。 于是，H(z)还具有如下因子： 第7章 有限长单位脉冲响应 由此，我们有 最后，多项式中零阶项的系数为A，为使h(0)=1，必定有：A=1。
