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1、导数与函数的零点.ppt1.求函数的单调区间：求函数的单调区间：3.求函数的极值的方法及步骤：求函数的极值的方法及步骤：4.求函数的最值的方法及步骤：求函数的最值的方法及步骤：2.已知函数的单调区间或最值求参数的取值范围：已知函数的单调区间或最值求参数的取值范围：1.已知函数已知函数 有两个极值点有两个极值点,则实数则实数a的取值范围的取值范围() A) B) C)(0,1) D)1.解解 由题意知由题意知, 有两个实根有两个实根 即即 有两个实根有两个实根即即y=lnx与与y=2ax-1的图像在的图像在 有两个交点有两个交点如图如图设设y=lnx与与y=2ax-1的图像切于点的图像切于点(m
2、,lnm) 则由则由 ,解得解得 m=1所以所以k=2a=1，得，得故故a的取值范围为的取值范围为变式训练变式训练1:设函数设函数 (1)当当k0时时,求函数求函数f(x)的单调区间的单调区间. (2)若函数若函数f(x)在在(0,2)内存在两个极值点内存在两个极值点,求求k的取值范围的取值范围.解解:(1)f(x)的定义域为的定义域为 由由k0,可得可得所以当所以当 0x2时时, ,函数函数f(x)单调递减单调递减所以当所以当 0x0时时,设函数设函数则则当当0k1时时,由由0X2,得得 ,g(x)单调递增单调递增 故故g(x)不可能有两个零点不可能有两个零点,即即f(x)不可能有两个极值点
3、不可能有两个极值点.当当 时时,由由0X2,得得 ,g(x)单调递减单调递减 故故g(x)不可能有两个零点不可能有两个零点,即即f(x)不可能有两个极值点不可能有两个极值点.当当 时时,由由 ,得得x=lnk 当当0xlnk时时, ,函数函数g(x)单调递减单调递减 当当lnkx0时时,设函数设函数y=f(x)在在(0,2)上有两个极值点等价于上有两个极值点等价于g(x)在在(0,2)上上有两个零点有两个零点则则 与与y=kx在在(0,2)上有两个交点上有两个交点画简图如下画简图如下:当直线当直线y=kx过点过点 时时,当直线当直线y=kx与与 切于点切于点 时时 ,解得解得m=1所以所以k=
4、e故故k的取值范围为的取值范围为解解: 对于对于 所以所以f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 2.设设a1,函数函数 (1)求求f(x)的单调区间的单调区间 (2)证明证明f(x)在在 上仅有一个零点上仅有一个零点. (3)若函数若函数y=f(x)在点在点P处的切线与处的切线与x轴平行轴平行,且在点且在点M(m,n)处的切线处的切线 与直线与直线OP平行平行(O是坐标原点是坐标原点),证明证明:2.证明证明:有有(1)知知f(x)在在R上单调递增上单调递增,且且f(0)=1-a1,故故a-10,所以所以所以所以 ,故故所以所以 ,使得使得又又f(x)在在 上单调递增上单调递增所以所以f(
5、x)在在 上仅有一个零点上仅有一个零点.(3)证明证明: 令令 ,得得x=-1 所以点所以点P坐标为坐标为 所以所以OP的斜率为的斜率为 由由f(x)在点在点M(m,n)处的切线与直线处的切线与直线OP平行平行,得得 要证要证只需证只需证即证即证设设则由则由 ,得得m=0当当 时时, ,g(m)单调递减单调递减当当 时时, ,g(m)单调递增单调递增所以所以故故 成立成立 所以所以解解:(1)设曲线设曲线y=f(x)与与x轴切于点轴切于点 ,则则 ,即即 解得解得 当当 时时,x轴是轴是y=f(x)的切线的切线.变式训练变式训练2.已知函数已知函数 ,g(x)=-lnx (1)当当a为何值时为
6、何值时,x轴为曲线轴为曲线y=f(x)的切线的切线 (2)用用minm,n表示表示m,n中的最小值中的最小值,设函数设函数 h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论讨论h(x)零点的个数零点的个数.(2)当当x1时时,g(x)=-lnx0,从而从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0 故故h(x)在在 无零点无零点.当当x=1时时,若若 ,则则f(1)= h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,x=1是是h(x)的一个零点的一个零点 若若 ,则则h(1)=f(1)0,h(x)无零点无零点.当当0x0无零点无零点,只需考虑只需考虑f(x)在在(0,1)上的零点个数上的零
7、点个数. ()当当a0时时, ,f(x)在在(0,1)单调递增且单调递增且f(0)0 故故f(x)(0,1)上无零点上无零点. ()当当a-3时时, , f(x)在在(0,1)单调递减单调递减 且且 ,f(x)在在(0,1)内仅有一个零点内仅有一个零点. ()当当-3a0,f(x)在在(0,1)内有两个零点内有两个零点当当 时时,f(1)0,f(x)在在(0,1)内有一个零点内有一个零点. 3.已知函数已知函数 (1)若若 ,求求f(x)的单调区间的单调区间. (2)若当若当x0时时f(x)0,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解解:(1) 时时, 由由 ,得得x=0或或x=-1 当当 时时
8、, ,f(x)单调递增单调递增 当当 时时, ,f(x)单调递减单调递减 故故f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 (2) 设设 ,则则 若若a1,当当x0时时, ,g(x)单调递增单调递增 ,而而g(0)=0 所以当所以当x0时时,g(x)0,即即f(x)0 若若a1,则当则当 时时, ,g(x)单调递减单调递减而而g(0)=0,从而当从而当 时时,g(x)0,即即f(x)0时时, 恒成立恒成立,设设 则则 设设 , 所以所以h(x)在在 上单调递增上单调递增,h(x)h(0)=0 故故 ,则则g(x)在在 上单调递增。上单调递增。 所以所以 由
9、于由于 在在 恒成立。恒成立。 所以所以a1 a的取值范围为的取值范围为 (2) ,则则 令令 ,则则当当 时时, 恒成立恒成立,g(x)在在 单调递增单调递增 所以所以g(x)g(0)=0,即即 ,故故f(x)在在 单调递增单调递增 所以所以f(x)f(0)=0,即不等式即不等式f(x)0成立成立. 当当 时时,g(x)在在(0,ln2a)单调递减单调递减,而而g(0)=0 g(x)g(0)=0,则则 ,f(x)在在(0,ln2a)单调递减单调递减 而而f(0)=0,故故f(x)0,不合题意不合题意.综上综上,得得a的取值范围为的取值范围为解解:(1)a=0时时, ,则则 当当x0, ,f(
10、x)单调递单调递增增 故故f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 ,单调递减区间为单调递减区间为变式训练变式训练3.设函数设函数 (1)若若a=0,求求f(x)的单调区间的单调区间. (2)若当若当x0时时f(x)0,求求a的取值范围的取值范围.解解:(1)a=0时时, ,则则 当当x0, ,f(x)单调递单调递增增 故故f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 ,单调递减区间为单调递减区间为(2) 由由(1)知知 ,当且仅当当且仅当x=0时等号成立时等号成立 当当1-2a0时时,即即 时时, ,而而f(0)=0 于是于是x0时时,f(x)0由由 ,得得 ,故故从而当从而当 时时,故当故当0
11、xln2a时时, ,f(x)单调递减单调递减,而而f(0)=0,于是于是f(x)0综上得综上得a的取值范围为的取值范围为1.设设 ,x0,n (1)求求 (2)证明证明: 在在 内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点 (记为记为 ),且且 课后作业课后作业2.已知函数已知函数 (1)设设g(x)是是f(x)的导函数的导函数,求函数求函数g(x)在区间在区间 上的最小值上的最小值. (2)若若f(1)=0,函数函数f(x)在区间在区间(0,1)内有零点内有零点,证明证明:e-2a13.设设f(x)=lnx-p(x-1) (1)当当p=1时时,求求f(x)的单调区间。的单调区间。 (2)设函数设函数
12、 (x1) 求证求证:当当 ,g(x)0成立成立.4.已知函数已知函数 (1)求求f(x)的单调区间的单调区间 (2)若若a0且且x1时时,7.已知函数已知函数 ,曲线曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线处的切线 方程为方程为x+2y-3=0 (1)求求a.b的值的值 (2)如果当如果当x0且且x1时时, ,求求k的取值范围的取值范围.1.设设 ,x0,n (1)求求 (2)证明证明: 在在 内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点 (记为记为 ),且且 解解:(1) 所以所以 则则 -得得, 所以所以(2)因为因为 ,所以所以 在在 内至少有一个零点内至少有一个零点.又又 ,所以所以
13、在在 内单调递增内单调递增所以所以 在在 内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点 . 由于由于 ,所以所以由此可得由此可得 故故所以所以即即 在在 内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点 ,且且2.已知函数已知函数 (1)设设g(x)是是f(x)的导函数的导函数,求函数求函数g(x)在区间在区间 上的最小值上的最小值. (2)若若f(1)=0,函数函数f(x)在区间在区间(0,1)内有零点内有零点,证明证明:e-2a0,g(1)0 即即1-b0,e-2a-b0 又又f(1)=e-a-b-1=0,得得b=e-a-1 所以所以1-(e-a-1)0,e-2a-(e-a-1)0 解得解得e-2a1 故故f(1)=0,若若f(x)在在(0,1)内有零点内有零点,则则e-2a1由由(1)知当知当 ,g(x)在在 单调递增单调递增,故故g(x)至多有一个零点至多有一个零点当当 ,g(x)在在 单调递减单调递减,故故g(x)至多有一个零点至多有一个零点
