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1、（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出
2、a的值，即可得到二次函数解析式。 （2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CMx轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。在x轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，可以证明AED和AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点
3、D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DMAC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2）， 将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）CHMAOC，MCH=CAO。（i）如图1，当H在点C下方时，MCH=
4、CAO，CMx轴，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如图2，当H在点C上方时，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx2，把P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=。M（）。在x轴上取一点D，如图3，过点D作DEAC于点E，使DE=，在RtAOC中，AC=。COA=DEA=90，OAC=EAD，AEDAOC，即，解得AD=2。D（1，0）或D（3，0）。过点D作DMAC，交抛物线于M，如图则直线DM的解析式为：y=2x+2
5、或y=2x6。当2x6=x2x2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2时，即x2+x4=0，解得。点M的坐标为（）或（）。 （2012浙江丽水、金华12分）在ABC中，ABC45，tanACB如图，把ABC的一边BC放置在x轴上，有OB14，OC，AC与y轴交于点E【来源：全,品中&高*考+网】(1)求AC所在直线的函数解析式；(2)过点O作OGAC，垂足为G，求OEG的面积；(3)已知点F(10，0)，在ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】
6、一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。【分析】(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。(2)在RtOGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。(3)分两种情况讨论求解：点Q在AC上；点Q在AB上求直线OP与直线AC的交点坐标即可。【答案】解：(1) 在RtOCE中，OEOCtanOCE，点E(0，。设直线AC的函数解析式为ykx，有，解得：k。直线AC的函数解析式为y。(2) 在RtOGE中，tanEOGtanOCE，设EG3t，OG5t，得t2。EG6，OG10。/(3) 存在。当点Q在AC上
7、时，点Q即为点G，如图1，作FOQ的角平分线交CE于点P1，由OP1FOP1Q，则有P1Fx轴，由于点P1在直线AC上，当x10时，y点P1(10，)。当点Q在AB上时，如图2，有OQOF，作FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QHOB于点H，设OHa，则BHQH14a，在RtOQH中，a2(14a)2100，解得：a16，a28，Q(6，8)或Q(8，6)。连接QF交OP2于点M当Q(6，8)时，则点M(2，4)；当Q(8，6)时，则点M(1，3)。设直线OP2的解析式为ykx，则2k4，k2。y2x。解方程组，得。P2()；当Q(8，6)时，则点M(1，3)同理可求P2()。综上所述，
8、满足条件的P点坐标为(10，)或()或()。 （2012浙江嘉兴、舟山14分）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q连接PQ，交y轴于点M作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B设点P的横坐标为m（1）如图1，当m=时，求线段OP的长和tanPOM的值；在y轴上找一点C，使OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E用含m的代数式表示点Q的坐标；求证：四边形ODME是矩形【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定
9、和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。题目要求OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定；QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。（2）由QOP=90，易求得QBOMOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。【答案
10、】解：（1）把x=代入 y=x2，得 y=2，P（，2），OP=。PA丄x轴，PAMO。设 Q（n，n2），tanQOB=tanPOM，。Q（）。OQ=。当 OQ=OC 时，则C1（0，），C2（0，）。当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1）。（2）点P的横坐标为m，P（m，m2）。设Q（n，n2），APOBOQ，。，得。Q（）。设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（）代入，得：，解得b=1。M（0，1）。，QBO=MOA=90，QBOMOA。MAO=QOB，QOMA。同理可证：EMOD。又EOD=90，四边形ODME是矩形。 7. （2012浙江丽水、金华10分）在直角坐
11、标系中，点A是抛物线yx2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OBOA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；(2)如图2，当点A的横坐标为时，求点B的坐标；将抛物线yx2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线yx2，试判断抛物线yx2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由【考点】二次函数综合题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等和相似三角形的判定和性质，平移的性质。【分析】（1）如图，过点A作ADx轴于点D，矩形AOBC是正方
12、形，AOC45。AOD904545。AOD是等腰直角三角形。设点A的坐标为(a，a)(a0)，则(a)2a，解得a11，a20(舍去)，点A的坐标a1。(2)过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明AEO和OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解。过点C作CGBF于点G，可以证明AEO和BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CGOE，BGAE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点
13、C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可。【答案】解：(1) 1。(2)过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，当x时，y()2，即OE，AE。AOEBOF1809090，21世AOEEAO90，EAOBOF。又AEOBFO90，AEOOFB。设OFt，则BF2t，t22t，解得：t10(舍去)，t22。点B(2，4)。过点C作CGBF于点G，AOEEAO90，FBOCBG90，EOAFBO，EAOCBG。在AEO和BGC中，AEOG=900，EAOCBG,AO=BC，AEOBGC(AAS)。
14、CGOE，BGAE。xc2，yc4。点C()。设过A(，)、B(2，4)两点的抛物线解析式为yx2bxc，由题意得，得。经过A、B两点的抛物线解析式为yx23x2。当x时，y()232，点C也在此抛物线上。经过A、B、C三点的抛物线解析式为yx23x2(x)2。平移方案：先将抛物线yx2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y(x)2。 12. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数
15、解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O
16、、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。结论：存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O，c=0。又抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，解得。抛物线解析式为。（2）设点P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD，可得PN=。P（t，）。点M在抛物线上，M（t，）。如图1，过M点作MGAB于G，过P点作PHAB于H，AG=yAyM=2，BH=PN=。当AG=BH时
17、，四边形ABPM为等腰梯形，化简得3t28t+4=0。解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，点P的坐标为（）。存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）如图2，AOB沿AC方向平移至AOB，AB交x轴于T，交OC于Q，AO交x轴于K，交OC于R。 由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=x+3设点A的横坐标为a，则点A（a，a+3），易知OQTOCD，可得QT=。点Q的坐标为（a，）。设AB与OC相交于点J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，。KT=AT=（3a），AQ=yAyQ=（a+3）=3a。S四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQHT。0，在线段AC上
18、存在点A（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为。 14. （2012浙江绍兴14分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。当PQAC时，求t的值；当PQAC时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H的纵坐标的取值范围。【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，
19、对称的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。（2）Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQAC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。当PQAC时，BPQBAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有H1OQ=POQ。若作P点关于OQ的对称点P，OP与NP的交点H2，亦可得到
20、H2OQ=POQ，而题目要求的是HOQPOQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。【答案】解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=2，A（0，2）。四边形OABC是矩形，ABx轴，即A、B的纵坐标相同。当y=2时，解得。B（4，2）。AB=4。（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t1）=7 t 7。当Q点在OA上时，即，时，如图1，若PQAC，则有RtQAPRtABC。，即，解得。，此时t值不合题意。当Q点在OC上时，即，时，如图2，过Q点作QDAB。AD=OQ=7（t1）2=7t9。DP=t（7t9）=96t。若PQAC，则有RtQDPRtABC，即，解得。，
21、符合题意。当Q点在BC上时，即，时，如图3，若PQAC，过Q点作QGAC，则QGPG，即GQP=90。QPB90，这与QPB的内角和为180矛盾，此时PQ不与AC垂直。综上所述，当时，有PQAC。当PQAC时，如图4，BPQBAC，解得t=2。即当t=2时，PQAC。此时AP=2，BQ=CQ=1。P（2，2），Q（4，1）。抛物线对称轴的解析式为x=2，当H1为对称轴与OP的交点时，有H1OQ=POQ，当yH2时，HOQPOQ。作P点关于OQ的对称点P，连接PP交OQ于点M，过P作PN垂直于对称轴，垂足为N，连接OP，在RtOCQ中，OC=4，CQ=1。OQ=，SOPQ=S四边形ABCDSAO
22、PSCOQSQBP=3=OQPM，PM=。PP=2PM=。NPP=COQ。RtCOQRtNPP。，即，解得 ，。P（）。直线OP的解析式为。OP与NP的交点H2（2，）。当时，HOPPOQ。综上所述，当或时，HOQPOQ。 18. （2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。（1）当时，求点A的坐标及BC的长；（2）当时，连结CA，问为何值时CACP？（3）过点P作PEPC且PE=PC，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应
23、的点E坐标；若不存在，请说明理由。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。（2）过点C作CHx轴于点H（如图1）由已知得ACP=BCH=90，利用已知条件证明AGHPCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。（3）存在。本题要分当m1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m1和当0m1时，BC=2（1m），PM=m，BP=1
24、m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。【答案】解：（1）当m=3时，y=x26x。令y=0得x26x=0，解得，x1=0，x2=6。A（6，0）。当x=1时，y=5。B（1，5）。抛物线y=x26x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，BC=4。（2）过点C作CHx轴于点H（如图1）由已知得，ACP=BCH=90，ACH=PCB。又AHC=PBC=90，AGHPCB。抛物线y=x22mx的对称轴为直线x=m，其中m1，且B，C关于对称轴对称，BC=2（m1）。B（1，2m1），P（1，m），BP=m1。又A（2m，0），C（2m1，2m1），H（2m1，0）。A
25、H=1，CH=2m1，解得m= 。（3）存在。B，C不重合，m1。（I）当m1时，BC=2（m1），PM=m，BP=m1，（i）若点E在x轴上（如图1），CPE=90，MPE+BPC=MPE+MEP=90，PC=EP。BPCMEP，BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。此时点E的坐标是（2，0）。（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PNy轴于点N，易证BPCNPE，BP=NP=OM=1，即m1=1，解得，m=2。此时点E的坐标是（0，4）。（II）当0m1时，BC=2（1m），PM=m，BP=1m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证BPCMEP，BC=PM，即2（1m）=m，解得
26、，m=。此时点E的坐标是（ ，0）。（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PNy轴于点N，易证BPCNPE，BP=NP=OM=1，即1m=1，m=0（舍去）。综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）。 20. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果
27、不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。（2）如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H，构造相似三角形QHM与QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值需要注意讨论点的位
28、置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED。在相似三角形ABE与OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。y=2x。（2）线段QM与线段QN的长
29、度之比是一个定值，理由如下：如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时。当QH与QM不重合时，QNQM，QGQH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，MQH=GQN。又QHM=QGN=90，QHMQGN。当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC。OF=。 点F（，0）。设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。点B（6，2）。BK=63=3，AK=62=4。AB=5。在ABE与OED中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD，ABEOED。设OE=x，则AE=x （），由ABEOED得，即。顶点为。如图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个当时，E点只有1个，当时，E点有2个。
