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1、会计学1多元多元(du yun)函数的基本概念函数的基本概念53512第一页，共60页。一、一、RnRn空间的有关空间的有关(yugun)(yugun)概概念念1、n维空间维空间 Rn第1页/共59页第二页，共60页。说明说明(shumng)：1) n维空间中的线性运算维空间中的线性运算(yn sun) 即为即为 x 与与 y 的线性运算的线性运算(yn sun) .2) n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 当当 n=1 , 2 , 3 时，时， 为数轴、平面、空间两点间的距离为数轴、平面、空间两点间的距离设两点为设两点为第2页/共59页第三页，共60页。3) x a记为记为 x
2、a .x a 的充要条件是的充要条件是 xi ai ( i=1,2,n) .第3页/共59页第四页，共60页。1) 邻域邻域(ln y)点的去心点的去心 邻域，记为邻域，记为2、R2的有关的有关(yugun)概念概念第4页/共59页第五页，共60页。2) 内点、边界点和聚点内点、边界点和聚点第5页/共59页第六页，共60页。第6页/共59页第七页，共60页。(1) 内点一定内点一定(ydng)是聚点；是聚点；说明说明(shumng)：(2) 边界点可能边界点可能(knng)是聚点；是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点第7页/共59页第八页，共60页。(3) 点集点集E的聚
3、点可以的聚点可以(ky)属于属于E，也可以，也可以(ky)不属于不属于E例如例如(lr),(0,0) 是聚点但不属于是聚点但不属于(shy)集合集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第8页/共59页第九页，共60页。3) 开集与闭集开集与闭集例如例如(lr)：即为开集即为开集例如例如(lr)：即为闭集即为闭集既非开集也非闭集既非开集也非闭集第9页/共59页第十页，共60页。是有界点集；是有界点集；是无界点集是无界点集例如例如(lr)：4) 有界集与无界集有界集与无界集第10页/共59页第十一页，共60页。5) 区域区域(qy)、闭区域、闭区域(qy)连通连通
4、(lintng)的开集称为区域或开区域的开集称为区域或开区域例如例如(lr)，第11页/共59页第十二页，共60页。连通的开集称为连通的开集称为(chn wi)区域或开区域区域或开区域例如例如(lr)，例如例如(lr)，第12页/共59页第十三页，共60页。有界闭区域有界闭区域(qy)；无界开区域无界开区域(qy)例如例如(lr)：第13页/共59页第十四页，共60页。3、 n维空间维空间Rn中邻域、区域中邻域、区域(qy)等等概念概念内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似(li s)定义定义邻域邻域(ln y)：第14页/共59页第十五页，共60页。4、
5、 直线直线(zhxin)与线段与线段第15页/共59页第十六页，共60页。二、多元二、多元(duyun)(duyun)函数的概念函数的概念二元函数二元函数(hnsh)的定义的定义二元函数由对应法则二元函数由对应法则 f f 和定义域和定义域 D D 两要素两要素(yo s)(yo s)确定。确定。 规规定定 二二元元函函数数的的自自然然定定义义域域是是使使算算式式所所表表达达的的函函数数有有意义的意义的x,y所对应的点所对应的点P(x,y)的全体的全体 . . 第16页/共59页第十七页，共60页。类似地可定义三元类似地可定义三元(sn yun)及三元及三元(sn yun)以上函数以上函数多多
6、元元(du yun)函函数数中中也也有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等概念等概念.例例1 1 (1) 求求 的定义域的定义域(2)(2) 求求 的定义域的定义域(3)(3) 求求 的定义域的定义域第17页/共59页第十八页，共60页。例例1 1 (1) 求求 的定义域的定义域(2)(2) 求求 的定义域的定义域(3)(3) 求求 的定义域的定义域第18页/共59页第十九页，共60页。例例2 2 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第19页/共59页第二十页，共60页。例例3 3 求下列求下列(xili)(xili)函数的定义域函数的定义域解解所求定义域为：所
7、求定义域为：第20页/共59页第二十一页，共60页。例例4 4 设设求求解解第21页/共59页第二十二页，共60页。多元函数多元函数(hnsh)(hnsh)也有单值性与多值性的概也有单值性与多值性的概念念. . 例如：例如：单值分支单值分支 第22页/共59页第二十三页，共60页。 一一元元函函数数的的单单调调性性、奇奇偶偶性性、周周期期性性等等性性质质的的定定义义在在多多元元(du (du yun)yun)函函数数中中不不再再适适用用，但但有有界界性性的的定定义义仍仍适适用用：设设有有n n元元函函数数y=f(x)y=f(x)，其其定定义义域域为为D D RnRn，集集合合X X D.D.若
8、若存存在在正正数数M M，使使对对 x x X X，有有|f(x)|f(x)|M M，则则称称f(x)f(x)在在X X上上有有界界，M M称称为为f(x)f(x)在在X X上的一个界上的一个界. .第23页/共59页第二十四页，共60页。二元函数二元函数 的图形的图形（如下（如下(rxi)页图）页图）第24页/共59页第二十五页，共60页。二元函数二元函数(hnsh)的图形通常是一张的图形通常是一张曲面曲面.第25页/共59页第二十六页，共60页。例如例如(lr),图形图形(txng)如如右图右图.例如例如(lr),左图球面左图球面.单值分支单值分支:第26页/共59页第二十七页，共60页。
9、三、多元函数三、多元函数(hnsh)(hnsh)的极限的极限第27页/共59页第二十八页，共60页。说明说明(shumng)：(1) 定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；(2) 二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限(3) 二元函数的极限运算法则二元函数的极限运算法则(fz)与一元函数类似与一元函数类似一元函数求极限的许多方法可搬到求二元函数的极一元函数求极限的许多方法可搬到求二元函数的极限上来如四则运算法则、无穷小替代限上来如四则运算法则、无穷小替代(tdi)、两个重要极限、夹逼定理等两个重要极限、夹逼定理等 .第28页/共59页第二十九页，共60页。例例1 1 求证
10、求证(qizhng) (qizhng) 例例2 2 求证求证(qizhng) (qizhng) 第29页/共59页第三十页，共60页。例例3 3 设设证明证明 不存在不存在解解取取其值随其值随k的不同的不同(b tn)而变化，而变化，极限极限(jxin)不存在不存在第30页/共59页第三十一页，共60页。例例4 4 证明证明(zhngmng) (zhngmng) 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同的不同(b tn)而变化，而变化，故极限故极限(jxin)不存在不存在第31页/共59页第三十二页，共60页。确定极限确定极限(jxin)不存在的方法：不存在的方法：第32页/共59页第三十三
11、页，共60页。 从从极极限限定定义义知知，多多元元(du (du yun)yun)函函数数的的极极限限与与一一元元函函数数极极限限相相同同，所所以以可可以以把把一一元元函函数数求求极极限限的的许许多多方方法法搬搬到到多多元元(du (du yun)yun)函函数数的的极极限限上上来来. .例例5 5、求求例例6 6、求、求第33页/共59页第三十四页，共60页。例例7 7 求极求极限限(jxin) (jxin) 解解其中其中(qzhng)第34页/共59页第三十五页，共60页。利用点函数利用点函数(hnsh)的形式有的形式有n元函数元函数(hnsh)的极限的极限 第35页/共59页第三十六页，
12、共60页。四、多元四、多元(duyun)(duyun)函数的连续性函数的连续性如果函数如果函数(hnsh)(hnsh)在在D D上各点处都连续上各点处都连续, , 则称此函则称此函数数(hnsh)(hnsh)在在D D上连续上连续. .第36页/共59页第三十七页，共60页。多元基本初等多元基本初等(chdng)函数函数一切多元一切多元(du yun)初等函数在其定义区域内是初等函数在其定义区域内是连续的连续的定义区域定义区域(qy)是指包含在定义域内的区域是指包含在定义域内的区域(qy)或闭区域或闭区域(qy)由多元函数极限的四则运算可得多元函数的由多元函数极限的四则运算可得多元函数的四则运
13、算连续性及复合函数的连续性四则运算连续性及复合函数的连续性.多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数.第37页/共59页第三十八页，共60页。 把这些函数把这些函数(hnsh)看作多元函数看作多元函数(hnsh)，叫做多元基本初等函数，叫做多元基本初等函数(hnsh).第38页/共59页第三十九页，共60页。例例9 求求解解第39页/共59页第四十页，共60页。闭区域闭区域(qy)上连续函数的性质
14、上连续函数的性质（1）有界性定理）有界性定理(dngl) 在有界闭区域在有界闭区域(qy)D(qy)D上的多元连续函上的多元连续函数必定在数必定在D D上必有界上必有界 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得上取得介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（3）介值定理）介值定理第40页/共5
15、9页第四十一页，共60页。多元函数多元函数(hnsh)极限的概念极限的概念多元函数连续多元函数连续(linx)的概念的概念闭区域闭区域(qy)上连续函数的上连续函数的性质性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义第41页/共59页第四十二页，共60页。思考题思考题第42页/共59页第四十三页，共60页。练练 习习 题题第43页/共59页第四十四页，共60页。第44页/共59页第四十五页，共60页。第45页/共59页第四十六页，共60页。练习题答案练习题答案(d n)第46页/共59页第四十七页，共60页。内容(nirng)总结会计学。第1页/共59页。(0,0)既是边界点也是聚点。(0,0) 是聚点但不属于集合。边界上的点都是聚点也都属于集合。连通的开集称为区域或开区域。3、 n维空间Rn中邻域、区域等概念。内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义。多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念.。(3) 二元函数的极限运算法则(fz)与一元函数类似。利用点函数的形式有n元函数的极限。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第六十页，共60页。
