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1、1.2.1 应用举例解斜三角形公式、定理正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：三角形边与角的关系：2、 大角对大边，小角对小边大角对大边，小角对小边 。2.余弦定理的作用余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角； （3）判断三角形的形状。）判断三角形的形状。推论推论:斜三角形的解法斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出另一对角用正弦定理求出另一对角,再由再由A+B+C=180，得出第三角得出第三角,然然后用正弦定理求出第三边
2、。后用正弦定理求出第三边。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出两边。用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA)解斜三角形理论解斜三角形理论在实际问题中的应用在实际问题
3、中的应用实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语1.1.仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。（1 1）. .当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。叫仰角。叫仰角。叫仰角。（2 2）. .当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。
4、叫俯角。叫俯角。叫俯角。（3 3）. .由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）水平线水平线水平线水平线视线视线视线视线视线视线视线视线仰角仰角仰角仰角俯角俯角俯角俯角2.2.方向角、方位角。方向角、方位角。方向角、方位角。方向角、方位角。（1 1）. .方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指
5、南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的小于的小于的小于90900 0的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。（2 2）. .方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。东东东东西西西西北北北北南南南南60600 030300 045450 020200 0A AB BC CD D点点点点A A在北偏东在北偏东在北偏东在北偏东60600 0，方位
6、角，方位角，方位角，方位角60600 0. .点点点点B B在北偏西在北偏西在北偏西在北偏西30300 0，方位角，方位角，方位角，方位角3303300 0. .点点点点C C在南偏西在南偏西在南偏西在南偏西45450 0，方位角，方位角，方位角，方位角2252250 0. .点点点点D D在南偏东在南偏东在南偏东在南偏东20200 0，方位角，方位角，方位角，方位角1601600 0. .3.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离水平距离水平距离水平距离垂垂垂垂直直直直距距距距离离离离坡面距离坡面距
7、离坡面距离坡面距离坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度（坡度比） i: i: 垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/ /水平距离水平距离水平距离水平距离坡角坡角坡角坡角: : tantan=垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/ /水平距离水平距离水平距离水平距离 ACB51o55m75o例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分
8、析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。ABCDABCDa解：如图，测量者可以解：如图，测量者可以在河岸边选定两点在河岸边选定两点C、D，设，设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=，ADB=分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选
9、定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计算中，应用余弦定理计算出出AB两点间的距离两点间的距离变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两两点，测得点，测得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=求求A、B两点间距离两点间距离 .注：阅读教材注：阅读教材P12P12，了解，
10、了解基线基线的概念的概念练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰
11、角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油
12、泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的
13、测测量量出出角角C C和和BCBC的的长长度度，解解直直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的长。的长。 图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，
14、只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。BEAGHDC解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测测角角仪仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B
15、不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长A AB BC CD Da ab bCD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，A AB BC CD Da ab b例例5 5：如图：如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向一辆汽车在一条
16、水平的公路上向正西行驶正西行驶, ,到到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北15150 0的方向上的方向上, ,行驶行驶5km5km后到达后到达B B处处, ,测测得此山顶在西偏北得此山顶在西偏北25250 0的方向上的方向上, ,仰角为仰角为8 80 0, ,求求此山的高度此山的高度CD CD 分析：要测出高分析：要测出高CD,只要只要测出高所在的直角三角形测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以长。根据已知条件，可以计算出计算出BC的长。的长。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车
17、在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高，求此山的高度度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。变式：某人在变式：某人在M M汽车站的北偏西汽车站的北偏西20200 0的方的方向上的向上的A A处，观察到点处，观察到点C C处有一辆汽车处有一
18、辆汽车沿公路向沿公路向M M站行驶。公路的走向是站行驶。公路的走向是M M站站的北偏东的北偏东40400 0。开始时，汽车到。开始时，汽车到A A的距离的距离为为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米后，到千米后，到A A的的距离缩短了距离缩短了1010千米。问汽车还需行驶千米。问汽车还需行驶多远，才能到达多远，才能到达M M汽车站？汽车站？ 例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后后到达海岛到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次
19、航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该沿怎此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确距离精确到到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦定，根据余弦定理，理，练习练习1 1如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕绕C点旋转点旋转时，通过连杆时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在在A处，
20、设连处，设连杆杆AB长为长为340mm，由柄由柄CB长为长为85mm，曲柄自曲柄自CB按顺时针方按顺时针方向旋转向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距移动的距离离 ）（精确到）（精确到1mm） 已知已知ABC中，中， BC85mm，AB340mm，C80，求求AC 解：（如图）在解：（如图）在ABC中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：因为因为BCAB，所以所以A为锐角为锐角 ， A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：又由正弦定理：解解 题题 过过 程程答：活塞移动的距离为答：活塞移动的距离为81mm 解解 题题 过过 程程 解：
21、如图，在解：如图，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：A 2.我我舰舰在在敌敌岛岛A南南偏偏西西50相相距距12海海里里的的B处处，发发现现敌敌舰舰正正由由岛岛沿沿北北偏偏西西10的的方方向向以以10海海里里/小小时时的的速速度度航航行行问问我我舰舰需需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？小时追上敌舰？CB 我舰的追击速度为我舰的追击速度为14海里海里/小时，小时，练习练习又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得：故我舰航行的方向为北偏东故我舰航行的方向为北偏东3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2
22、.8m的地方，求地对地面的倾斜角。总总 结结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明四、面积公式推导CBAD应用四：有关三角形计算应用四：有关三角形计算 例例8: 如图如图,在某市进行城市环境建设中，要把一在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为三角形区域的三条边分别为68m, 88m, 127m, 这个这个区域的面积是多少？（精确到区域的面积是多少？（精确到0.1m2）应用四：有关三角形计算应用四：有关三角形计算 解：设解：设a=68m , b=88m, c=127m, 根据余弦根据余弦定理可得：定理可得：答：这个区域的面积是答：这个区域的面积是2840.4m2应用五：三角形恒等式证明应用五：三角形恒等式证明应用五：三角形恒等式证明应用五：三角形恒等式证明
