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1、第五节 势的叠加和多井干扰理论一、多井同时生产时的物理现象一、多井同时生产时的物理现象 井间干扰：井间干扰：井间干扰：井间干扰：同一油层内同时有两口井以上油井同一油层内同时有两口井以上油井同一油层内同时有两口井以上油井同一油层内同时有两口井以上油井生产，其中一口井工作制度发生变化后，必然要生产，其中一口井工作制度发生变化后，必然要生产，其中一口井工作制度发生变化后，必然要生产，其中一口井工作制度发生变化后，必然要影响到其他井，这种现象称井间干扰。影响到其他井，这种现象称井间干扰。影响到其他井，这种现象称井间干扰。影响到其他井，这种现象称井间干扰。井间干扰特征井间干扰特征井间干扰特征井间干扰特征
2、：地层中压力场发生重新分布。：地层中压力场发生重新分布。：地层中压力场发生重新分布。：地层中压力场发生重新分布。第五节第五节 势的叠加和多井干扰理论势的叠加和多井干扰理论MM4M2M3M1M3M4M2M1MQQQ-Q二、势的叠加理论二、势的叠加理论（一）势的基本概念一）势的基本概念势是一个量，这个量的梯度形成一个力场。势是一个量，这个量的梯度形成一个力场。势是一个量，这个量的梯度形成一个力场。势是一个量，这个量的梯度形成一个力场。 势的概念常与势的概念常与势的概念常与势的概念常与LaplaceLaplace方程联系在一方程联系在一方程联系在一方程联系在一起，其解叫势函数。起，其解叫势函数。起，
3、其解叫势函数。起，其解叫势函数。由达由达由达由达西西西西公式：公式：公式：公式：令令令令则则则则“ “ “ “就就就就定义为势，常称速度势。定义为势，常称速度势。定义为势，常称速度势。定义为势，常称速度势。（）势势势势具有压力的含义，对（）微分有：具有压力的含义，对（）微分有：具有压力的含义，对（）微分有：具有压力的含义，对（）微分有：（）在在在在稳定渗流场中，压力分布满足稳定渗流场中，压力分布满足稳定渗流场中，压力分布满足稳定渗流场中，压力分布满足LaplaceLaplace，即：即：即：即：将（）式代入有：将（）式代入有：将（）式代入有：将（）式代入有：（） 满足满足满足满足Laplace
4、Laplace方程的函数为线性函数，线性函方程的函数为线性函数，线性函方程的函数为线性函数，线性函方程的函数为线性函数，线性函数可进行叠加。数可进行叠加。数可进行叠加。数可进行叠加。1、平面上一点的势、平面上一点的势 设平面上有一点汇，在距离点汇设平面上有一点汇，在距离点汇设平面上有一点汇，在距离点汇设平面上有一点汇，在距离点汇r r圆周处圆周处圆周处圆周处的流量为：的流量为：的流量为：的流量为：令令令令则则则则分离变量得平面上一点的势为：分离变量得平面上一点的势为：分离变量得平面上一点的势为：分离变量得平面上一点的势为：（4） q q：单位厚度的产量（产液强度）单位厚度的产量（产液强度）单位
5、厚度的产量（产液强度）单位厚度的产量（产液强度） r r：地层中任意点到井的距离；地层中任意点到井的距离；地层中任意点到井的距离；地层中任意点到井的距离； ：距井距井距井距井半径半径半径半径r r r r处地层中的势；处地层中的势；处地层中的势；处地层中的势；C C C C：常数，与边界条件有关。常数，与边界条件有关。常数，与边界条件有关。常数，与边界条件有关。对对对对注水井，注水井，注水井，注水井，q q为负值，则点源的势为：为负值，则点源的势为：为负值，则点源的势为：为负值，则点源的势为：（5）2、空间一点的势、空间一点的势 设空间有一点汇，则距点汇设空间有一点汇，则距点汇设空间有一点汇，
6、则距点汇设空间有一点汇，则距点汇r r半径球面上的半径球面上的半径球面上的半径球面上的渗流速度为：渗流速度为：渗流速度为：渗流速度为：又又则则空间一点汇势为：空间一点汇势为：空间一点汇势为：空间一点汇势为：空间点源势为：空间点源势为：空间点源势为：空间点源势为：（二）势理论在渗流力学中的应用二）势理论在渗流力学中的应用1 1、用势理论求平面径向流产量公式、用势理论求平面径向流产量公式、用势理论求平面径向流产量公式、用势理论求平面径向流产量公式平面径向流点汇的势为：平面径向流点汇的势为：平面径向流点汇的势为：平面径向流点汇的势为：1r=Re时， = e； r=Rw时， = w；则：23 2-32
7、-3有：有：有：有：4代入：代入：代入：代入：52、球面向心流产量公式：、球面向心流产量公式：hR 整个渗流过程可看成整个渗流过程可看成整个渗流过程可看成整个渗流过程可看成两部分构成：两部分构成：两部分构成：两部分构成：（1 1）从）从）从）从R Re e到某一半径到某一半径到某一半径到某一半径R R的平面径向流，则：的平面径向流，则：的平面径向流，则：的平面径向流，则：1（2 2）从）从）从）从R R到到到到R Rw w的的的的球面向心流。又半球内任意点球面向心流。又半球内任意点球面向心流。又半球内任意点球面向心流。又半球内任意点势为：势为：势为：势为：则则则则因因因因1/1/R Rw w远
8、大于远大于远大于远大于1/1/R R，不不不不考虑考虑考虑考虑1/1/R R相，则：相，则：相，则：相，则：21=2得：得：3流动很快从球面流转为平面流，常取流动很快从球面流转为平面流，常取流动很快从球面流转为平面流，常取流动很快从球面流转为平面流，常取R=1.5hR=1.5h。（三）势的叠加原理三）势的叠加原理势的叠加原理：势的叠加原理：势的叠加原理：势的叠加原理：在无限平面地层中同时存在任意个点在无限平面地层中同时存在任意个点在无限平面地层中同时存在任意个点在无限平面地层中同时存在任意个点源（汇），当渗流服从线性渗流定律时，由点源（汇）源（汇），当渗流服从线性渗流定律时，由点源（汇）源（汇
9、），当渗流服从线性渗流定律时，由点源（汇）源（汇），当渗流服从线性渗流定律时，由点源（汇）引起的合成流动的势将等于各个点源（汇）单独存在引起的合成流动的势将等于各个点源（汇）单独存在引起的合成流动的势将等于各个点源（汇）单独存在引起的合成流动的势将等于各个点源（汇）单独存在时在该点产生势的代数合。时在该点产生势的代数合。时在该点产生势的代数合。时在该点产生势的代数合。 n n井同时工作时，地层中有井同时工作时，地层中有井同时工作时，地层中有井同时工作时，地层中有任意点任意点任意点任意点MM，则各井在则各井在则各井在则各井在MM点产生点产生点产生点产生的势为：的势为：的势为：的势为：q1q2q3
10、qnr1r2r3rnn n井同时生产在井同时生产在井同时生产在井同时生产在MM点产生的势由叠加原理表示为：点产生的势由叠加原理表示为：点产生的势由叠加原理表示为：点产生的势由叠加原理表示为：上式为势的上式为势的上式为势的上式为势的叠加原理的数学表达式，式中：叠加原理的数学表达式，式中：叠加原理的数学表达式，式中：叠加原理的数学表达式，式中： ：任意点合成流动时的势；任意点合成流动时的势； q qi i：第第I I口井产液强度；口井产液强度； r ri i：I I井到任意点距离。井到任意点距离。利用势的叠加原理可求：利用势的叠加原理可求： 已知各井井壁势（井底压力）求各井产量；已知各井井壁势（井
11、底压力）求各井产量； 已知各井产量，求井壁处的势已知各井产量，求井壁处的势。三、渗流速度的合成原则三、渗流速度的合成原则1 1、利用等势线和等压线确定渗流速度、利用等势线和等压线确定渗流速度、利用等势线和等压线确定渗流速度、利用等势线和等压线确定渗流速度 求求出出渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗流速度与等势线的正交关系确定渗流速度方向。流速度与等势线的正交关系确定渗流速度方向。大小可由下式计算：大小可由下式计算：2 2、用矢量合成法、用矢量合成法、用矢量合成法、用矢量合成法各井各井各井各井单独生产时的渗流速度：单独生产时的渗流速度：单独生产时的渗流速度：
12、单独生产时的渗流速度：n井同时生产：井同时生产：v1vnq1qn第六节第六节 势的叠加原理的典型应用势的叠加原理的典型应用 设在无限大地层中有等产量的一源一汇，相距设在无限大地层中有等产量的一源一汇，相距2a一、等产量的一源一汇一、等产量的一源一汇一、等产量的一源一汇一、等产量的一源一汇1 1、势及流场、势及流场、势及流场、势及流场aa-qqr1r2v2v1v由势的由势的叠加原理，地层中任叠加原理，地层中任意点的势为：意点的势为：（1）MCDAB由（由（1）式知，）式知，r1/r2为常数时，势相等，则等势线方程为：为常数时，势相等，则等势线方程为：（2）当当C0=1时，时，r1=r2，即即y轴
13、是一条等势线。轴是一条等势线。又又代代入（入（2）整理得：）整理得：配方得：配方得：（3）（3）是圆心在）是圆心在x轴的圆族方程，圆心为（轴的圆族方程，圆心为（ ），），半径为半径为2aC0/（1-C02），），即等势线为一系列圆。即等势线为一系列圆。由等势线与流线的由等势线与流线的由等势线与流线的由等势线与流线的正交关系，可求出流线的方程为：正交关系，可求出流线的方程为：正交关系，可求出流线的方程为：正交关系，可求出流线的方程为：（4）（4）式表示流线是圆心在）式表示流线是圆心在y轴上的一轴上的一 系列圆，个给系列圆，个给C0不同的值可得不同的流线，且不同的值可得不同的流线，且x轴也是一条流
14、线。轴也是一条流线。流线与等压线流线与等压线油水界面位置与舌进现像油水界面位置与舌进现像2 2、液体质点运动规律、液体质点运动规律、液体质点运动规律、液体质点运动规律 如只有如只有A井工作，则井工作，则M点渗流速度为点渗流速度为v1，如只有如只有B井工作，井工作，M点渗流速度为点渗流速度为v2，两井同时工作时，渗流两井同时工作时，渗流速度为速度为v，因三角形因三角形ABM与三角形与三角形MCD相似，则：相似，则：（5） 稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由（5）式知，）式知，v与与r1r2的乘积成反比，在的乘积成反比，在x轴上轴上r1r2最小，最
15、小，液体质点沿液体质点沿x轴运动速度最快，称轴运动速度最快，称x轴为主流线。轴为主流线。 在注水开发时，水质点沿在注水开发时，水质点沿x首先到达生产井首先到达生产井井底，沿其它流线运动的水质点以后相继突入井井底，沿其它流线运动的水质点以后相继突入井中，形成舌进现象。中，形成舌进现象。 水驱前沿进入生产井底后，由于这一通道渗水驱前沿进入生产井底后，由于这一通道渗流阻力小，后继注入水会大量沿这一通道流入井流阻力小，后继注入水会大量沿这一通道流入井底，使水驱效率变差。底，使水驱效率变差。 这是注水开发采收率低的重要原因。这是注水开发采收率低的重要原因。3、以知生产井和注入井势时的产量公式、以知生产井
16、和注入井势时的产量公式由（由（1）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：上两式相减上两式相减有：有：二、等产量两汇二、等产量两汇v1ABaar2v2r1vM在无限大地层中存在等产量的两汇，相距在无限大地层中存在等产量的两汇，相距2a。1 1、势及流场、势及流场、势及流场、势及流场由由由由叠加原理地层中任意点的叠加原理地层中任意点的叠加原理地层中任意点的叠加原理地层中任意点的势为；势为；势为；势为；（1）由（由（1）式，）式，r1r2相等时，势相等，则等势线方程为；相等时，势相等，则等势线方程为；（2）因代代入（入（2）式配方得：）式配方得：（3）（3）式为四
17、次曲线族方程，给）式为四次曲线族方程，给C0不同的值，得到不同不同的值，得到不同的等势线。的等势线。等等产量两汇时的渗流场产量两汇时的渗流场Y Y轴为分流线轴为分流线轴为分流线轴为分流线 同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型流线族方程：流线族方程：流线族方程：流线族方程：（4）v 给给C1不同的值得不同的流线。不同的值得不同的流线。v 当当C1等于无穷大时，（等于无穷大时，（4）式可转化为）式可转化为x轴和轴和y轴方程，轴方程，则则y轴轴x轴均为流线。轴均
18、为流线。v y轴具有分流性质，也叫分流线。把两侧的液流分开，轴具有分流性质，也叫分流线。把两侧的液流分开，使液体不能穿过分流线而流动。使液体不能穿过分流线而流动。2、渗流速度分析、渗流速度分析NAB 在地层中任一点在地层中任一点N处，处，A、B两井单独工作时的速度分两井单独工作时的速度分别为：别为：两两井同时工作时，井同时工作时，N点速度为两速度矢量合。点速度为两速度矢量合。在在x轴上，轴上，N点速度为：点速度为：若若N为平衡点，即为平衡点，即v=0时：时：qA=qB时，时，r1=r2q 即即两汇两汇产量相等时，平衡点应在两井连线的中点，产量相等时，平衡点应在两井连线的中点，该点液体流动速度为
19、零，称死油点，平衡点附近形成该点液体流动速度为零，称死油点，平衡点附近形成死油区。死油区。q 平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变，平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变，且总偏向产量小的井。且总偏向产量小的井。q 通过改变两井产量比例，可使平衡点向产量小的井通过改变两井产量比例，可使平衡点向产量小的井移动，以采出死油区内原油。移动，以采出死油区内原油。3、井产量、井产量任意点取在生产井壁：任意点取在生产井壁：任意点取在供给边缘：任意点取在供给边缘：任意点取在供给边缘：任意点取在供给边缘：则则产量公式：产量公式：（5）第七节第七节 考虑边界效应的镜像反映法考虑边界效应的镜像反映法实际
20、油气田中，在生产井或注水井附近往往存在各种边界。实际油气田中，在生产井或注水井附近往往存在各种边界。 边界的存在对渗流场的等压线分布、流线分布和井产量边界的存在对渗流场的等压线分布、流线分布和井产量都会产生影响，这中影响称为边界效映。都会产生影响，这中影响称为边界效映。一、直线供给边沿附近一口井的反映一、直线供给边沿附近一口井的反映 直线供给边缘附近直线供给边缘附近存在一口生产井时，存在一口生产井时，直线供给边缘为一条直线供给边缘为一条等势线，液流从供给等势线，液流从供给边缘流向井底，流线边缘流向井底，流线与等压线如图。与等压线如图。 等产量一源一汇时，其渗流场图与等产量一源一汇时，其渗流场图
21、与y轴完全对称，轴完全对称，y轴是轴是一条等势线，一条等势线，y轴以右的生产井区域渗流场与直线供给边缘轴以右的生产井区域渗流场与直线供给边缘附近一口生产井时的渗流场完全一致。附近一口生产井时的渗流场完全一致。 由此，在供给边缘附近（由此，在供给边缘附近（a，0）处存在一口生产井时，处存在一口生产井时，可设想成以直线供给边缘（选作可设想成以直线供给边缘（选作y轴）为镜面，在其对称位轴）为镜面，在其对称位置（置（-a，0）出反映出一口等产量的注水井在作用，则虚拟出反映出一口等产量的注水井在作用，则虚拟井与生产井在无穷地层中进行势的叠加所形成的渗流场的井与生产井在无穷地层中进行势的叠加所形成的渗流场
22、的生产井部分，与供给边缘附近一口井的渗流场图完全一样。生产井部分，与供给边缘附近一口井的渗流场图完全一样。 这种用一个这种用一个“异号像异号像”的作用来代替直线供给边缘的作用来代替直线供给边缘的方法，叫的方法，叫汇源反映法汇源反映法。真实井真实井真实井真实井虚拟井虚拟井虚拟井虚拟井 通过汇源反映后，写出地层中任意点的势的表通过汇源反映后，写出地层中任意点的势的表达式，在将已知条件取在直线供给边缘和生产井达式，在将已知条件取在直线供给边缘和生产井井底去掉常数，得井产量公式为：井底去掉常数，得井产量公式为：二、直线不渗透边界附近一口生产井的汇点反映法二、直线不渗透边界附近一口生产井的汇点反映法二、
23、直线不渗透边界附近一口生产井的汇点反映法二、直线不渗透边界附近一口生产井的汇点反映法 直线不渗透边界附近存在一直线不渗透边界附近存在一口生产井时，液体不能穿过不口生产井时，液体不能穿过不渗透边界（断层）而流动，断渗透边界（断层）而流动，断层起分流作用，为分流线。层起分流作用，为分流线。 不渗透边界附近一口井的不渗透边界附近一口井的渗流场图，刚好是等产量两渗流场图，刚好是等产量两汇时的渗流场图的一半，并汇时的渗流场图的一半，并以以y轴为对称轴。轴为对称轴。 直线断层附近（直线断层附近（a，0）存在一口生产井时，可将断存在一口生产井时，可将断层看作镜面，在其对称位只映射出一口等强度的汇层看作镜面，
24、在其对称位只映射出一口等强度的汇（生产井的像），从而成为无限地层中两口井生产。（生产井的像），从而成为无限地层中两口井生产。两口井势的叠加的结果在真实生产区形成的渗流场与两口井势的叠加的结果在真实生产区形成的渗流场与直线断层和一口生产井产生的渗流场完全一致。直线断层和一口生产井产生的渗流场完全一致。 这种反因映为这种反因映为汇点反映汇点反映。 写出任意点势后，将任意点取在供给边缘（不是断写出任意点势后，将任意点取在供给边缘（不是断层）和生产井井底，有产量公式为：层）和生产井井底，有产量公式为：总结总结1、边界对渗流场和井产量的影响可看成、边界对渗流场和井产量的影响可看成 以边界为镜面，在实际井
25、的对称位置上存在虚拟井以边界为镜面，在实际井的对称位置上存在虚拟井“像像”的影响，实际井与虚拟井势的叠加形成的渗流场与的影响，实际井与虚拟井势的叠加形成的渗流场与边界对井影响形成的渗流场完全相同。边界对井影响形成的渗流场完全相同。2、反映法的基本原则、反映法的基本原则 不不渗透边界渗透边界是是同号同号等产量反映，反映后等产量反映，反映后不渗透边界不渗透边界保持为分流线保持为分流线； 供给边界供给边界是等产量是等产量异号异号反映，反映后反映，反映后供给边界必须供给边界必须保持为等势线保持为等势线。三、镜像反映法的推广三、镜像反映法的推广（一）复杂断层的镜像反映法一）复杂断层的镜像反映法镜像反映法
26、的目的是取消边界，其基本准则是反映后镜像反映法的目的是取消边界，其基本准则是反映后原渗流边界性质不变。原渗流边界性质不变。 对复杂边界，要求：对复杂边界，要求： 对井有影响的边界都必须进行映射；对井有影响的边界都必须进行映射； 对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映射到边界的另一侧；射到边界的另一侧； 有时需要多次映射才能取消边界。有时需要多次映射才能取消边界。多边界映射实例：多边界映射实例：+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q-q-q直角断层直角断层混合边界混合边界45度断层度断层平行断层平行断层二、圆形供给边界偏心井的反
27、映二、圆形供给边界偏心井的反映+q-qMReeweM2M1r1r2aad有一有一圆形地层偏心井，偏心圆形地层偏心井，偏心距为距为d，求井求井产量和压力分布。产量和压力分布。从从无限大地层一源一汇的平面无限大地层一源一汇的平面渗流场图知等势线为一系列圆，渗流场图知等势线为一系列圆，且都与井点相差一定距离。且都与井点相差一定距离。 如选取一等势圆为供给边如选取一等势圆为供给边缘，其半径为缘，其半径为Re，圆心与井点距圆心与井点距离为离为d d，此时生产井就为供给边此时生产井就为供给边缘内一口偏心井。缘内一口偏心井。 则只要在适当位置上虚拟一口等产量的注入井，就可则只要在适当位置上虚拟一口等产量的注
28、入井，就可将偏心井问题转化为无限地层一源一汇问题。将偏心井问题转化为无限地层一源一汇问题。1、确定井像的位置、确定井像的位置 无限层一源一汇时无限层一源一汇时r1/r2相等的点势相等，则半径为相等的点势相等，则半径为Re的的圆周上的圆周上的M1和和M2点应满足下式：点应满足下式：即即则则则则虚拟注入井的位置为：虚拟注入井的位置为：虚拟注入井的位置为：虚拟注入井的位置为：（1）2 2、偏心井产量、偏心井产量、偏心井产量、偏心井产量因因把（把（1）代入得：）代入得：（2）有有虚拟井后地层中任意点势为：虚拟井后地层中任意点势为：（3）将将任意点分别取在供给边缘和生产井井底有：任意点分别取在供给边缘和生产井井底有：偏心井产量公式为偏心井产量公式为3、地层中任意点势分布、地层中任意点势分布（4）由（由（3）式有：）式有：代入代入q有：有：（5）4、偏心距对产量的影响、偏心距对产量的影响定义影响系数为：定义影响系数为：（6）式中式中Q为偏心井产量；为偏心井产量；Q为圆心井产量。则：为圆心井产量。则：（7） 计算表明，计算表明，Re=100m,d/Re=0.75时，偏心井的产量增时，偏心井的产量增加了加了13。当偏心距小于地层半径之半，则影响较小。当偏心距小于地层半径之半，则影响较小。作业：作业：19、20、21、22、23
