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1、函数平均变化率D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线直线AB的斜率的斜率:直线直线CD1的斜率的斜率:xy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4) 显然，显然，“线段线段”所在直线的斜率的所在直线的斜率的绝对值绝对值越大，山越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比坡越陡。这就是说，
2、竖直位移与水平位移之比 的的绝绝对值对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。（举例）越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。（举例） 现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。（举例：地球表面与平面）（举例：地球表面与平面）（微分思想）微分思想） 函数图象上也有类似定义，由此我们引函数图象上也有类似定义，由此我们引出出
3、函数平均变化率函数平均变化率的概念。的概念。 思考思考：比值：比值 表示的意义是什么？（举例：如表示的意义是什么？（举例：如地产量）地产量）它表示每一个单位上的函数值的平均增量。它表示每一个单位上的函数值的平均增量。平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢 建构数学建构数学华罗庚华罗庚函数的平均变化率函数的平均变化率已知函数已知函数 在点在点 及及其附近其附近有定义，有定义，令令 , ,则当则当 时时, ,比值比值叫做函数叫做函数 在在 到到 之间的之间的平均变化率平均变化率思考思考:函数平均变化率的几何意义？函数平均变化率的几何意义？OABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)
4、 x直线直线AB的的斜率斜率函数平均变化率函数平均变化率: 函数值的改变量与自变量的改变量之比函数值的改变量与自变量的改变量之比 观察函数f(x)的图象过曲线过曲线 上的点上的点 割线的斜率。割线的斜率。思考思考：（：（1） x 、 y的符号是怎样的？的符号是怎样的？ （2）该变量应如何对应？）该变量应如何对应？理解：理解：2、 对应性： 若 美国康乃大学曾经做过一个有名的美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验青蛙试验”。试验人员。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷
5、水锅拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。 例例1.求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为分析:当 取定值, 取不同数值时, 该函数的
6、平均变化率也不一样.( 2 ) 求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为图图1图图2课堂练习： 甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示， （1）甲乙二人哪一个跑得快？ （2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？例例3：已知函数：已知函数 ，计算函数在下列区间上的平均变化率。，计算函数在下列区间上的平均变化率。解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为变化区间自变量改变量平均变化率 （1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0
7、012.001(1,1.0001)0.00012.0001 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是是 s =s(t )，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是物，就是物体在体在t 到到 t+D Dt 这段时间内，当这段时间内，当 D Dt0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即瞬时速度瞬时速度函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变 时，函数值相应的发生改变如果当 趋近于时，平均变化率 趋近于一个常数 ，则数
8、 称为函数 在点 处的瞬时变化率瞬时变化率。导数导数的概念的概念也可记作也可记作 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x0 处处不不可导可导。 设函数设函数 y = f(x) 在点在点 x=x0 的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x 在在 x0 处处取得增量取得增量 x ( 点点 x0 +x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时， 相应地函数相应地函数 y 取取得增量得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若，若y与与x之比当之比当 x0的极的极限存在，则称函数限存在，则称函数 y = f(x)在点在点 x0 处处可导可导 ，并称这个并称这个极限极限为函
9、数为函数 y = f(x)在点在点 x0 处的处的导数导数记为记为 即即说说明：明：（1）函数）函数在点在点处处可可导导，是指，是指时时，有极限如果有极限如果不存在极限，就不存在极限，就说说函数在函数在处处不可不可导导，或，或说说无无导导数数点点是自是自变变量量x在在处处的改的改变变量，量，而，而是函数是函数值值的改的改变变量，可以是零量，可以是零 （2）由由导导数的定数的定义义可知，求函数可知，求函数在在处处的的导导数的步数的步骤骤:（1）求函数的增量）求函数的增量:；（2）求平均）求平均变变化率化率:；（3）取极限，得）取极限，得导导数数:例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中， 秒秒 时运
10、动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位： ），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢? 同理，同理，运动员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。割线割线PQ的的变化情况的的变化情况在在的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？PQM求已知曲线的切线求已知曲线的切线.作业课本82.B2报纸A14一是一是:根据物体的路程关于时间的根据物体的路程关于时间的函数求速度
11、和加速度函数求速度和加速度.二是二是:求已知曲线的切线求已知曲线的切线.例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为计算第计算第2 h和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。3.1.1 3.1.1 导数的几何意义导数的几何意义Pxy0T一是一是:根据物体的路程关于时间的根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度函数求速度和加速度.二是二是:求已知曲线的切线求已知曲线的切线.
12、课堂小结：课堂小结：函函数数的的平平均均变变化化率率函函数数的的瞬瞬时时变变化化率率例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为计算第计算第2 h和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。3.1.1 3.1.1 导数的几何意义导数的几何意义Pxy0TPxyoT的切线方程为的切线方程为即即 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的
13、方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点P处的切线近似代替处的切线近似代替 。 大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大致可看来看，大致可看作作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线可以用过此点某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即的切线近似代替，即“以直代曲以直代曲” （以简单（以简单
14、的对象刻画复杂的对象）的对象刻画复杂的对象） 1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ 增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化
15、率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝多值的大小的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度， 大于大于上升上升递增
16、递增上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速递减递减下降下降小于小于下降下降 2如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1) 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率, 就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,
17、它表示它表示曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 抽象概括抽象概括：是确定的数是确定的数是的函数是的函数 导函数的概念：导函数的概念：t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线AD的斜率的斜率（数形结合）（数形结合） 切线切线 AD的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称导数) 2.利
18、用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，解释实际生活问题，体会体会“数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学的数学思想方法。思想方法。 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象课堂小结课堂小结 今天这节课，你学到了哪些知识？小结：小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率定义定义2.函数的平均变化率函数的平均变化率的几何意义的几何意义3.函数的平均变化率的求法函数的平均变化率的求法是曲线上两点对应割线的斜率是曲线上两点对应割线的斜率 美国康乃大学曾经做过一个有名的美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验青蛙试验”。试验人员。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙
19、马上就感到了危险，把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。 课堂小结：课堂小结：函函数数的的平平均均变变化化率率函函数数的的瞬瞬时时变变化化率率布置作业：布置作业：课本：P84 练习B 1、2、3 P89 练习A 2、B 1
