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1、微分方程基本概念微分方程基本概念返回微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念返回返回返回返回返回返回返回微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . 三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解例如例如: 对于微分方程对于微分方程考虑函数考虑函数 y = sinx因为因为 (sinx) + sinx = sinx + sinx = 0所以所以 y = sinx 是方程是方程 的解的解.返回(2)(2)
2、特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .返回求微分方程满足求微分方程满足初始条件初始条件的特解的问题称为的特解的问题称为初值问题初值问题.如例如例1 是一个是一个初值问题初值问题.返回例例2 也是一个也是一个初值问题初值问题.微分方程解的图形称为微分方程的微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线积分曲线. . 通解的图形是通解的图形是积分曲线族积分曲线族,
3、,特解的图形是特解的图形是积分曲线族积分曲线族中的一条中的一条积分曲线积分曲线. .返回例: 已知一条曲线通过(1, 2). 且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为2x, 求这条曲线.x0xy(1, 2)解: 设所求的曲线为 y =y (x), 则y=x2 + C,y = 2x其中C是任意常数.又曲线过定点(1, 2). 即,2=1+C , 得 C = 1故所求曲线方程为y=x2 +1注: 微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.返回补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解
4、可用初等函数或积分表示出来)返回微分方程在实际工作中有着广泛的应用微分方程在实际工作中有着广泛的应用. .我们研究微分方程的主要问题是：我们研究微分方程的主要问题是：1.1.根据实际问题的要求和条件，建立反映变量根据实际问题的要求和条件，建立反映变量间内在联系的微分方程，并列出初始条件；间内在联系的微分方程，并列出初始条件；2.2.求出微分方程通解及满足初始条件的特解；求出微分方程通解及满足初始条件的特解；3.3.研究解的性质或物理意义研究解的性质或物理意义. .在这里我们主要讨论上述第二个问题在这里我们主要讨论上述第二个问题. .从微分方程作为解决实际问题的重要工具这一从微分方程作为解决实际问题的重要工具这一要求来说，要求来说，返回微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题； 积分曲线积分曲线四、小结四、小结本节基本概念：本节基本概念：返回思考题思考题返回思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.返回练练 习习 题题返回练习题答案练习题答案结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！21
