自动控制原理控制系统的时域分析与综合课件

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1、第三章第三章 控制系统的时域分析与综合控制系统的时域分析与综合3.1 引言引言控制系统设计的两个主要任务控制系统的分析控制系统的综合1分析计算控制系统的各项性能指标，判断其是否满足设计要求。综合寻求改进系统性能并使它满足设计要求的方法。2本章所采用的方法和步骤：本章所采用的方法和步骤：1给出闭环控制系统的传递函数 ；2用公式 求出系统输出信号的拉氏变换式 ，进而用拉氏反变换求得输出信号 ；3根据 分析系统的稳定性、动态过程品质和稳态误差， 得出系统性能是否满足设计要求的判断；34从步骤3的分析中可以看出系统性能和传递函数之间的关系， 从而可以省去步骤2， 由传递函数直接分析系统的各项性能指标，

2、并判断是否满足设计要求；5根据控制系统的设计要求，推导出系统传递函数应该具有的形式以及参数的适当取值范围，从而得出改进系统性能的方法。43.2 典型输入信号典型输入信号控制系统在实际工作时，其输入信号不是预知的。典型输入信号用来对控制系统性能评价提供一个参考标准。典型输入信号应具有以下特点：能够反映控制系统在某一方面的性质，如快速性、平稳性、稳态精度；具有简单的函数形式，并且易于产生，以便于控制系统的实验和测试；5它的拉氏变换应具有简单的形式，以便于求得系统的输出信号。常用的典型输入信号有以下几种：1单位阶跃函数61单位阶跃信号的拉氏变换：系统的单位阶跃响应能够反映系统的快速性和动态过程的平稳

3、性。72单位匀速函数表达式：拉氏变换：又称单位斜坡信号。8系统的单位斜坡响应能够反映系统在跟踪匀速变化信号时的性能。93单位加速度函数表达式：拉氏变换：10单位加速度信号114单位脉冲函数又称理想脉冲函数。表达式：012拉氏变换：用单位脉冲函数作为输入信号可以反映出系统受到冲击或瞬时干扰情况下的品质。近似的单位脉冲函数135正弦函数表达式：拉氏变换：正弦信号具有无穷阶连续导数。143.3 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.3.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型液位系统的例子+-系统的输入信号（电压）：系统的输出信号（液位）：系统的被控制量。15+-由上图画出系统的方块图：-16各变

4、量之间的关系：+-差动放大器流量调节阀水位水池横截面积反馈电位计17根据方块图求出闭环系统的传递函数：-18本节研究具有普遍意义的一阶系统：时间常数研究其在典型输入信号作用下的响应，设系统的初始条件为零。193.3.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应当输入信号为单位阶跃信号 时，一阶系统的输出信号 称为一阶系统的单位阶跃响应。其拉氏变换为20求拉氏反变换得：210163.2%AB86.5%0.63295%98.2%99.3%T2T3T4T5T斜率为22 一般认为，当 的值与其稳态值的差小于一定的允许值后，便可认为动态过程结束。误差5%减小时间常数 。一阶系统单位阶跃响应的过渡过程

5、时间：误差2%提高一阶系统单位阶跃响应快速性的方法：对于单位负反馈一阶系统，只要 ，系统即是稳定的。23系统的传递函数只有一个极点 ，只要极点在复数平面的左半平面，系统即是稳定的。极点离虚轴越远，系统的快速性越好。从一阶系统的实测单位阶跃响应曲线，有两种方法求得系统的时间常数：1处所对应的时间；2处的切线与水平线 的交点所对应的时间。243.3.3 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为单位脉冲信号 时，一阶系统的输出信号 称为一阶系统的单位脉冲响应。其拉氏变换为求拉氏反变换得：250T2T3T4T一阶系统的单位脉冲响应26误差5%一阶系统单位脉冲响应的过渡过程时间：误差2%

6、一阶系统的快速性受时间常数 的影响；一阶系统单位脉冲响应传递函数的拉氏反变换等价27单位脉冲响应传递函数均可反映系统的全部性质都是系统的数学模型单位脉冲响应传递函数拉氏变换拉氏变换也适用于其他各阶线性定常系统。28线性定常系统单位脉冲信号单位脉冲响应闭环传递函数求 得工程上用方波脉冲信号代替，脉冲宽度一般满足293.3.4 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡信号 ，其拉氏变换输出信号的拉氏变换：30求拉氏反变换，得输出信号：313202T4T6T2T4T6TTT稳态误差一阶系统的单位斜坡响应33一阶系统的单位斜坡响应的稳态值为：一阶系统在跟踪单位斜坡信号时具有稳态误差，其数值

7、等于系统的时间常数T。 时间常数越小，稳态误差就越小。结论对一阶系统而言，减小时间常数T，既可以提高系统的快速性快速性，又可以减小系统对斜坡信号的跟踪误差跟踪误差。343.3.5 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应单位匀加速信号：其拉氏变换：输出信号的拉氏变换：35求拉氏反变换，得输出信号：36系统的跟踪误差：37系统的跟踪误差随着时间的增大而增大，直至发散。结论对一阶系统而言，不能实现对加速度信号的跟踪。383.3.6 线性定常系统的一个重要特性线性定常系统的一个重要特性 响应 输入信号单位阶跃单位脉冲单位斜坡单位加速度一阶系统对典型输入信号的响应求导求导求导求导求导求导求导求

8、导求导求导求导求导39 上述关系不仅适用于一阶系统，而且也适用于其他阶次的系统。线性定常系统的一个重要特性线性定常系统的一个重要特性 系统对输入信号的导数的响应，就是系统对原信号的响应的导数； 系统对输入信号的积分的响应，就是系统对原信号的响应的积分。40本次课内容总结本次课内容总结典型输入信号典型输入信号一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应线性定常系统的一个重要特性线性定常系统的

9、一个重要特性413.4 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.4.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型电动伺服系统原理图42上述电动伺服系统的输入信号是：输入电位计的转角输出信号是：机械负载的转角误差信号是：43输入电位计的电压：输出电位计的电压：放大器的输入电压：放大器的输出电压：44直流电机电枢的电压-电流方程：反电势系数反电势系数电枢绕组电阻电枢绕组电阻电枢绕组电感电枢绕组电感电枢反电势电枢反电势45通常很小，可以忽略，直流电机电枢的电压-电流方 程可简化为：直流电机的力矩平衡方程式：折算到电机轴上的转动惯量折算到电机轴上的阻力系数直流电机的力矩系数46电机转角和负载转角的关系为：

10、减速器的传动比综合以上关系，可得方块图：47-电动伺服系统方块图48系统的开环传递函数为其中49系统的闭环传递函数为50二阶系统的标准传递函数为-开环传递函数51无阻尼振荡频率；(rad/s)阻尼比（阻尼系数）。（无量纲）结合前面例子中的电机伺服系统，有：52标准形式二阶系统的特征方程为：它的两个根（闭环极点）是：533.4.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1欠阻尼情形两个闭环极点是一对共轭虚数，即：0ReIm54系统的闭环传递函数可写为：55有阻尼振荡频率，在单位阶跃信号作用下，输出的拉氏变换为：56求拉氏反变换， 考虑到：于是可得：57求得二阶系统的单位阶跃响应为暂态分量暂

11、态分量稳态分量稳态分量决定衰决定衰减速度减速度58其中或第I象限角0ReIm592无阻尼情形此时二阶系统的单位阶跃响应为这是一个等幅振荡， 表示无阻尼振荡频率。60此时二阶系统的闭环极点为0ReIm无阻尼情形下二阶系统的闭环极点分布613临界阻尼情形此时二阶系统的闭环极点为临界阻尼情形下二阶系统的闭环极点分布0ReIm62求拉氏反变换，得：在单位阶跃信号作用下，输出的拉氏变换为：这是一个单调连续上升过程。63类似于一阶系统的单位阶跃响应。但是在 处的切线斜率不同，切线斜率按下述过程求取：先对二阶系统的单位阶跃响应求导，得：当 时，切线斜率为零。而一阶系统的单位阶跃响应在 时的斜率为。644过阻

12、尼情形此时二阶系统的闭环极点为两个不相等的负实数：过阻尼情形下二阶系统的闭环极点分布0ReIm65在单位阶跃信号作用下，输出的拉氏变换为：66其中67输出的拉氏反变换为：68此阶跃响应包含两个指数衰减项，两个闭环极点远离虚轴接近虚轴衰减较快，可以忽略此项69此时该二阶系统的响应可近似为一阶系统的响应：忽略了极点 及其相应的衰减项以后的结果70 相应地，该二阶系统的闭环传递函数也可以近似为一阶传递函数：忽略与极点有关的项71另一方面，72从数学上可以证明，当 时有而且 的值越大，两者越接近。 于是即73于是其中当 时，这种近似有满意的结果。745负阻尼情形此时二阶系统的单位阶跃响应为其中递增的指

13、数函数第II象限角此响应为发散的正弦振荡，系统不稳定！75ReIm0负阻尼情形负阻尼情形闭环极点位于右半平面时，系统不稳定闭环极点位于右半平面时，系统不稳定76 为比较在不同的 值（ ）下，二阶系统的单位阶跃响应曲线，先对二阶系统的闭环传递函数作如下处理：二阶系统的单位阶跃响应比较二阶系统的单位阶跃响应比较77令 ，则闭环传递函数可以改写为单位阶跃响应曲线如下图所示。782468101200.20.40.60.811.21.41.61.82Step ResponseAmplitude00.20.40.60.81.02.0793.4.3 动态过程的性能指标动态过程的性能指标 动态过程又称为过渡过

14、程或瞬态过程，是指在输入信号的作用下，系统的输出由初态达到终态的响应过程。动态过程的好坏表现为快速性平稳性 通常情况下，以单位阶跃信号作为输入，来衡量系统响应的动态过程品质。8002468101214161800.20.40.60.811.2Time (sec)上升时间第一次达到稳态值所需时间，反映系统的快速性。峰值时间达到第一个峰值所需时间。81第一次达到稳态值所需时间，反映系统的快速性。上升时间 对于过阻尼系统，也可采用 从稳态值的10%上升到90%所需的时间。8202468101214161800.20.40.60.81Time (sec)过阻尼系统过阻尼系统的上升时间的上升时间83峰值

15、时间达到第一个峰值所需时间。超调量定义：超调量反映系统动态过程的平稳性。一阶系统和过阻尼二阶系统无超调量。84调整时间单位阶跃响应达到并保持在稳态值5%或2%的范围内所需的最短时间。即允许误差5%或2%以后，即可认为动态过程结束。反映系统快速性反映系统快速性的重要指标。的重要指标。8502468101214161800.20.40.60.811.2Time (sec)86振荡次数在动态过程持续时间内 ，单位阶跃响应的振荡次数。在动态过程持续时间内 ，单位阶跃响应曲线穿越其稳态值的次数的一半。振荡次数反映系统动态过程的平稳性。87在上述5项指标中，最常用的是 和 。超调量，反映平稳性。调整时间，

16、反映快速性。883.4.4 欠阻尼二阶系统的动态过程指标欠阻尼二阶系统的动态过程指标 研究动态性能指标与传递函数的关系。1上升时间 的计算当 时，令得890ReIm90结论： 当阻尼比一定时，上升时间与无阻尼振荡频率 有关。2峰值时间 的计算对时间 求导数，并令导数 为零，可得：91由于 对应于 的第一个峰值，故923超调量 的计算将 代入9394最终得超调量只与阻尼比有关，而与无阻尼振荡频率无关。阻尼比越小，超调量越大；反之则越小。结论：当 0.4，0.8 时， 相应地 25%，2.5%954调整时间 的计算对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应为这是一个衰减的正弦振荡曲线。其包络线方程为：如下

17、图所示。960510152025-0.500.511.522.5Step ResponseTime (sec)Amplitude97包络线的衰减速率取决于 ，则98按照其包络线计算，有则99100当 时，约等于约等于4101当 时，对于欠阻尼二阶系统，当 时，可得简化近似式闭环极点离虚轴的距离1025振荡次数 的计算振荡次数 等于在 时间内系统单位阶跃响应 的振荡次数。其振荡角频率为103其振荡周期为振荡次数 为：104当 时，同理当 时，105最终可得振荡次数的计算式：用上式计算得到的振荡次数一般为非整数，此时振荡次数取整数即可。106重要结论重要结论二阶系统具有满意的性能指标适当的阻尼比适

18、当的无阻尼振荡频率增大 ，可以提高系统的平稳性，使超调量和振荡次数减少。增大 ，可以提高系统的响应速度。107举例对于上一例的电机伺服系统来说，调整 的值显然是矛盾的，最好是设法减小时间常数 。108本次课内容总结本次课内容总结二阶系统的单位阶跃响应；二阶系统的单位阶跃响应；动态过程的性能指标；动态过程的性能指标；欠阻尼二阶系统的动态过程指标。欠阻尼二阶系统的动态过程指标。109例例3-1 已知二阶系统的闭环传递函数为其中 ， 。计算系统单位阶跃响应的特征量： 、 、 、 、 。110解解单位：s12单位：s11134单位：s当 时当 时单位：s1125113例例3-2 已知系统的方块图，-要

19、求具有性能指标： ，确定系统参数 和 ，并计算单位阶跃响应的特征量 、 及 。114解解先求得闭环传递函数根据解出其次， 根据解出根据解出115根据解出计算单位阶跃响应的特征值116当 时当 时117例例3-3 已知系统的方块图，-该系统能否正常工作？ 如果要求 ，系统应如何改进？ 118解解根据系统的方块图-求得闭环传递函数显然 ，系统无阻尼，119单位阶跃响应120三角诱导公式三角诱导公式这是一个等幅振荡， 不能反映控制信号的规律，系统不能正常工作。121如果要求 ， 我们可以增加一个传递函数为的微分负反馈来改进原系统。-改进后的闭环传递函数：122求得反馈系数为现在，阶跃响应已经变成阻尼

20、比为 的减幅振荡。超调量为：123结论结论微分负反馈提高了系统的阻尼程度。1243.4.5 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应一般记为：单位脉冲函数的拉氏变换为1，标准二阶系统的单位脉冲响应的拉氏变换为：1251无阻尼（ ）情形有两个共有两个共轭纯虚根轭纯虚根等幅正弦振荡1262欠阻尼（ ）情形有两个共有两个共轭的虚根轭的虚根衰减正弦振荡1273临界阻尼（ ）情形有两个相有两个相等的实根等的实根128先单调增、后单调衰减的曲线。非振荡曲线！1294过阻尼（ ）情形有两个不有两个不相等实根相等实根130可求得则131132024681012-1-0.8-0.6-0.4

21、-0.200.20.40.60.81Impulse ResponseTime (sec)Amplitude临界临界阻尼阻尼过阻尼过阻尼133对于欠阻尼二阶系统，单位脉冲响应达到最大值的时间 可以用求极值的方法来确定。134令 ，得：135得下面求单位脉冲相应的最大值136等于等于1代入代入 的值的值137单位阶跃函数单位脉冲函数求导积分单位阶跃响应单位脉冲响应求导积分1380单位脉冲响应单位阶跃响应的峰值时刻单位阶跃响应的峰值欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应139024681012-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4Time (sec)单位阶单位阶跃响应跃响应单位脉单位脉冲响应

22、冲响应欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统阴影阴影面积面积140从上述分析可知：结论都是系统的一种数学模型。所以系统单位脉冲响应和传递函数一样，系统的单位脉冲响应是其传递函数的拉氏反变换，1413.4.6 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应单位斜坡信号 的拉氏变换为二阶系统的单位斜坡响应 的拉氏变换为可求得142的拉氏反变换为1欠阻尼（ ）情形143将 、 、 、 代入144上式右边的后两项是衰减项，其稳态响应为 。结论二阶系统在跟踪斜坡信号时存在稳态误差。稳态误差为常值 。1452临界阻尼（ ）情形3过阻尼（ ）情形1463.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 求解高阶控制系统对各种

23、典型输入信号的响应是十分困难的，一般来说需借助计算机求取数值解。 本节根据高阶系统的单位阶跃响应，找出高阶系统动态响应的特点，进而寻找简化计算的近似方法。1473.5.1 高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应高阶系统的闭环传递函数为也可以写成零极点的形式148闭环系统的零点闭环系统的极点它们可以是实它们可以是实数或共轭虚数数或共轭虚数假设闭环系统有 对共轭虚数极点，149则高阶系统的闭环传递函数还可写为：150则高阶系统单位阶跃响应的拉氏变换为151求上式的拉氏反变换可得单位阶跃响应：适当的常系数152稳态稳态分量分量指数衰减指数衰减暂态分量暂态分量振荡衰减振荡衰减暂态分量暂态分量高阶系统的单

24、位阶跃响应由三部分构成：153高阶系统单位阶跃响应的特点：高阶系统单位阶跃响应的特点：1若高阶系统的闭环极点全部具有负实部，即所有闭环极点全部位于复平面的左半平面，则单位阶跃响应的暂态分量最终一定衰减为零。2在暂态分量中， 每一项的衰减快慢取决于相应极点的实部绝对值的大小， 或者说极点离虚轴的远近，负实部的绝对值越大，或者说极点离虚轴越远，则这一项暂态分量衰减越快。1543高阶系统的单位阶跃响应中， 暂态分量的各项系数不仅和闭环极点有关，而且也和闭环零点有关。在复平面上，如果某一闭环极点靠近某一零点，而且又与其他极点相距较远， 则相应衰减项系数较小，对暂态分量的影响也较小。如果某一对闭环极点、

25、零点非常靠近，则称为一对偶极子偶极子。 该闭环极点对暂态过程几乎没有影响。155如果某一闭环零点附近没有极点， 并且离虚轴较近，则相应项的系数较大，对暂态过程的影响也较大。1563.5.2 高阶系统的闭环主导极点高阶系统的闭环主导极点离虚轴较近的闭环极点离虚轴较远的闭环极点对应项的系数较大；衰减较慢；对动态过程影响较大。对应项的系数较小；衰减较快；对动态过程影响较小。极点附近有零点时， 相应项的系数较小，对动态过程的影响也较小。157闭环主导极点在闭环极点中，如果有一对共轭虚数极点，或实数极点，离虚轴最近，其他极点离虚轴的距离都是它到虚轴距离的5倍以上， 并且距离虚轴较近处又没有单独的闭环零点

26、，则这对（个）离虚轴最近的极点称为高阶系统的闭环主导极点闭环主导极点。158高阶系统的动态过程主要取决于闭环主导极点，所以对于存在闭环主导极点的高阶系统， 在分析它的动态过程时，可以近似为以这对闭环主导极点为极点的二阶系统，或者近似为以这一个闭环主导极点为极点的一阶系统。1593.6 用用MATLAB做线性系统的时域分析做线性系统的时域分析3.6.1 用用MATLAB求解系统的单位阶跃响应求解系统的单位阶跃响应MATLAB给出了下列几种求取单位阶跃响应的方式：y=step(G, t)要计算的时间点所构成的向量与时间点相对应的响应值构成的向量160y, t=step(G)由系统自动产生y, t,

27、 X=step(G)系统的状态向量step(G)直接画响应图161举例分析下列系统的单位阶跃响应编写下列MATLAB文件：a=1,7,24,24;b=1,10,35,50,24;G=tf(a,b);t=0:0.1:10;y=step(G,t);plot(t,y,r-);grid;Y_sd=dcgain(G)162运行结果如下：单位阶跃响应曲线163 step_01Y_sd = 1 MATLAB的工作空间1643.6.2 用用MATLAB求解系统的单位脉冲响应求解系统的单位脉冲响应MATLAB给出了下列函数impulse(num,den);impulse(G);impulse(G,t);在0,

28、t时间内作出单位脉冲响应曲线165举例给定系统的闭环传递函数求系统的单位脉冲响应。编写下列MATLAB文件：sys=tf(5,8,1,6,10,8);impulse(sys,r-);grid;axis(0,6,-0.1,0.9);166运行结果如下：0123456-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9 System: sys Time (sec): 0.505 Amplitude: 0.883 System: sys Time (sec): 2.42 Amplitude: 0.00239 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude1673.

29、6.3 用用MATLAB求解系统对任意输入的响应求解系统对任意输入的响应MATLAB给出了下列函数Lsim(sys,u,t);举例绘制典型二阶系统和的单位斜坡响应。168编写下列MATLAB文件：t=0:0.01:5;u=t;sys1=tf(1,1,1,1);sys2=tf(1,1,0.6,1);lsim(sys1,u,t);hold on;lsim(sys2,u,t);grid;legend(sys1,sys2);169运行结果如下：00.511.522.533.544.5500.511.522.533.544.55sys1sys2Linear Simulation ResultsTime

30、(sec)Amplitude170本次课内容总结本次课内容总结二阶系统的单位脉冲响应；二阶系统的单位脉冲响应；二阶系统的单位斜坡响应；二阶系统的单位斜坡响应；高阶系统的阶跃响应；高阶系统的阶跃响应；高阶系统的闭环主导极点；高阶系统的闭环主导极点；用用MATLAB做线性系统的时域分析。做线性系统的时域分析。1713.7 改善控制系统动态性能的方法改善控制系统动态性能的方法本节只介绍两种简单的时域综合方法，更为复杂、更为有效的方法将在后续的章节中进行介绍。3.7.1 速度反馈速度反馈典型二阶系统的开环传递函数为如果可以对输出量 的速度信号进行测量，并将输出量的速度信号反馈到系统的输入端与偏差比较1

31、72则构成带有速度反馈的二阶系统。如图-173系统的闭环传递函数为其中引入速度反馈以后，系统的阻尼比比原来的大。174从而可以提高系统的各项性能指标。例例3-4二阶系统的方块图如下-要求闭环系统的超调量 ，峰值时间为，求放大器的放大倍数和速度反馈系数。175解解系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为由此可得176根据题目给定的性能指标可以求得 ，根据前面得到的求得 ，1773.7.2 比例比例+微分控制（微分控制（PD控制）控制）比例增益微分增益+-178PD控制器的传递函数 微分信号具有预测作用，有助于改善系统的动态性能。179以欠阻尼二阶系统为例，讨论比例+微分控制对改善系统动态过程的作

32、用。假设上图中在没有PD控制作用的情况下，闭环传递函数为：即180引入PD控制器后的闭环系统传递函数为181求得182和 属于PD控制器的参数，只要适当的选取参数 和 ，就可以增大系统的阻尼比和无阻尼振荡频率，使系统的快速性和平稳性都得以改善。183采用PD控制以后，引入了一个闭环零点闭环零点为： ， 在选择参数 和 时，如果能够保证这个零点 远离虚轴，则校正后的闭环极点就成为系统的主导极点。此时可按照标准二阶系统来估算动态性能指标。184例例3-5 采用PD校正的控制系统如图所示，-要求系统的动态过程指标为：求PD校正参数 和 。185解解 在没有校正的情况下， 系统的闭环传递函数为相应的参

33、数为：可求出相应的指标为 ， 。可见，动态过程的指标不满足要求。186采用PD校正后，系统的闭环传递函数为其中相应的参数为：为了满足指标要求187按照标准二阶系统计算，可得解出选择可求得188注释采用PD校正后，系统必然会引入一个零点，具有零点的二阶系统， 动态性能指标没有准确简捷的计算公式，只能作近似估算，工具进行数字仿真，或者利用MATLAB通过仿真来确定参数。1893.8 线性系统的稳定性线性系统的稳定性本节只研究线性定常系统的稳定性。3.8.1 稳定的基本概念稳定的基本概念硬杆摆的例子ab平衡点稳定的不稳定的190对于线性定常系统其运动微分方程为当 时， 其输出及其各阶导数都为零，则系

34、统会静止在 点。191如果对系统施加一个瞬时冲击作用 ，其输出信号 最终能够达到 ，并且静止在 ，则认为该线性定常系统是稳定的，否则认为该线性定常系统是不稳定的。判断线性定常系统是否稳定的依据是：单位脉冲响应1923.8.2 线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统的单位脉冲响应的拉氏变换为193相应的闭环极点为共有 个闭环极点。194当且仅当系统的闭环极点全部具有负实部时，单位脉冲响应系统是稳定的。若系统的闭环极点至少有一个具有正实部，则系统是不稳定的。195若系统的闭环极点至少有一个具有零实部，则 趋于常数或者是等幅正弦振荡，系统是临界稳定临界稳定的。线性定

35、常系统的稳定性取决于闭环传递函数的极点，即方程的根。闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程196定理定理 线性定常系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程特征方程的根全部具有负实部。闭环系统传递函数传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。BIBO稳定稳定有界输入有界输出稳定稳定临界稳定在工程上是无意义的。197一个重要结论一个重要结论线性定常系统的稳定性取决于系统本身的结构，是系统的固有属性，与输入信号无关。1983.8.3 劳斯劳斯(Routh)稳定判据稳定判据劳斯稳定判据的优点在于无需求解高次代数方程，而直接根据方程的系数来判断其根的分布情况。闭环系统的特征方程：特征方程：如果特征方程同时

36、满足下列3个条件，劳斯稳定判据劳斯稳定判据则闭环系统是稳定的。1991特征方程的各项系数都不等于零， 即方程按降幂排列不缺项；2特征方程的各项系数全部都是正实数；（注：各项系数全部都是负实数的情况可以变换成正实系数方程。）3将特征方程的各项系数排列成劳斯列表劳斯列表，表中的第一列各元全部大于零。200劳斯列表劳斯列表第一列第一列201其中202203劳斯列表的性质劳斯列表的性质1在计算劳斯列表时，某一行各元同时乘以或除以同一个正数， 不影响稳定性的判断结果，往往可简化后续的运算。这种乘除2劳斯列表第一列各元自上而下符号改变的次数等于闭环系统特征方程中具有正实部的根的个数。204例例3-6控制系

37、统的特征方程为用劳斯判据判定该系统的稳定性。解解显然，本例满足劳斯判据的前两条，下面计算劳斯列表205135240150-605自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。206例例3-7控制系统的特征方程为用劳斯判据判定该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。解解该特征方程不满足劳斯判据的第二条，所以系统不稳定。为了确定正实部根的数目，必须列出劳斯列表：2071-25301-190-630-14030自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。208计算劳斯列表时出现的特殊情况计算劳斯列表时出现的特殊情况1劳斯列表某一行的第一个元为零， 而其他各元不为零或不全为零。在计算下一行时，

38、会出现分母为零的现象。解决的方法之一：令，构成以为未知数的代数方程，这个代数方程正实部根的个数与原特征方程的一样。209例例3-8控制系统的特征方程为用劳斯判据判定该系统的稳定性。解解 对原特征方程列写劳斯表：12512005以下无法计算210令， 得对此方程列写劳斯表。211列写劳斯表：521210-1252自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。212解决的方法之二：任意正实数任意正实数正实部根的数目相等。213在上例中，对此方程列写劳斯列表。21413724529-55115自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。2152劳斯列表某一行所有元均为零解决方法用全零行的上

39、一行系数构造一个辅助方程并将此方程对s求导数， 所得导数方程的系数取代全零行的各元，然后继续编排劳斯列表。216例例3-9控制系统的特征方程为用劳斯判据判定该系统的稳定性。解解按照D(s)=0列写劳斯列表：112200217用 行构造一个辅助方程对s求导数得继续列写劳斯列表112200402218劳斯列表的第一列各元全正，但不能说明系统稳定。因为辅助方程 的根是原特征方程的根， 所以系统是临界稳定的。219例例3-10例例3-10 系统的特征方程为求该系统正实部特征根的数目。解解 因为特征方程各项的系数有正有负，所以系统不稳定。列写劳斯列表：1-4-71044-802201-4-71044-8

40、0-5-510各元均除以5-1-1200辅助方程求导得-4-22各元均乘以2-14-184变号变号2次，说明有次，说明有2个个正实部特征根。正实部特征根。221辅助方程的根为说明特征方程还有一对纯虚根。222本次课内容总结本次课内容总结改善控制系统动态性能的方法改善控制系统动态性能的方法线性系统的稳定性线性系统的稳定性速度反馈速度反馈比例比例+微分控制（微分控制（PD控制）控制）稳定的基本概念稳定的基本概念线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件劳斯劳斯(Routh)稳定判据稳定判据2233.8.4 用用MATLAB分析控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性用MATLAB判断

41、系统的稳定性是十分方便的，在MATLAB软件中通过求解特征方程的根即可：Roots(den)224例例3-11给定系统的特征方程判断系统的稳定性。解解在MATLAB中输入下列命令 den=1,2,8,12,20,16,16; roots(den)225运行结果ans = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i存在共轭纯虚根， 系统临界稳定。226在MATLAB软件中也可以直接求取系统（传递函数）的特征值：eig(sys)例例

42、3-12求取如图所示系统的闭环极点，并判断其稳定性。-227解解在MATLAB中编写下述m文件G=tf(1,1,2,4);H=tf(1,1,1);sys=feedback(G,H);p=eig(sys)运行结果p = -0.8389 + 1.7544i -0.8389 - 1.7544i -1.3222 2283.9 求取保证系统稳定的条件求取保证系统稳定的条件 虽然通过MATLAB软件可以直接求出系统的闭环极点，比用劳斯判据更加简捷，MATLAB无法替代的作用但是劳斯判据还具有条件。求取保证系统稳定的为系统设计和调试提供参考。2293.9.1 确定某个参数的取值范围确定某个参数的取值范围例例

43、3-13 某系统的方块图如图所示，-+确定参数 的取值范围， 使闭环系统稳定。230例例3-14某控制系统的特征方程为使闭环系统稳定。确定参数 和 的取值范围，2313.9.2 确定某些参数之间的相互关系确定某些参数之间的相互关系例例3-15某单位负反馈系统的开环传递函数为为使闭环系统稳定，和 应满足什么关系？在K-T直角坐标系中画出使闭环系统稳定的区域。若闭环系统处于临界稳定，持续振荡频率为1rad/s，求 和 的值。23200.511.522.533.544.5500.511.522.533.544.552333.9.3 保证系统稳定并且闭环极点远离虚轴保证系统稳定并且闭环极点远离虚轴例例

44、3-16 某系统的方块图如图所示，-要求闭环系统的极点全部位于直线 的左侧，试确定参数 的取值范围。234本次课内容总结本次课内容总结用用MATLAB分析控制系统的稳定性；分析控制系统的稳定性；求取保证系统稳定的条件。求取保证系统稳定的条件。2353.10 线性控制系统的稳态误差线性控制系统的稳态误差 控制系统的稳态误差是表征系统性能的一项重要指标。 它表示动态过程结束后，系统的被控制量能否达到期望值或按期望的规律变化。稳态误差物理元件产生的稳态误差系统设计中的原理性稳态误差236物理元件产生稳态误差的例子电子放大器的漂移机械装置的摩损和间隙本节只研究系统设计中的原理性稳态误差。注注 只有稳定

45、的控制系统，研究其稳态误差才有意义。2373.10.1 控制系统的误差和稳态误差控制系统的误差和稳态误差-负反馈控制系统方块图偏差信号偏差信号的拉氏变换238误差信号的定义：期望输出实际输出在理想的情况下，我们希望期望反馈输入信号-239根据上述方块图可得期望输出期望反馈-理想情况下的负反馈控制系统方块图240根据上述方块图可得-非理想情况下的负反馈控制系统方块图241误差信号的拉氏变换为偏差信号的拉氏变换242即误差偏差偏差闭环传递函数243考虑单位负反馈控制系统244结论结论对于一般的负反馈控制系统对于单位负反馈控制系统误差信号等于偏差信号245对于单位负反馈控制系统-偏差闭环传递函数24

46、6稳态误差的定义：对于单位负反馈控制系统247结论结论对于一般的负反馈控制系统对于单位负反馈控制系统这两种情形下误差都与系统的数学模型有关。2483.10.2 终值定理和稳态误差的计算终值定理和稳态误差的计算考虑单位负反馈控制系统， 开环传递函数为开环放大倍数开环传递函数中串联积分环节的个数249偏差闭环传递函数为250单位负反馈系统的误差为根据稳态误差的定义及拉氏变换的终值定理251若典型输入信号拉氏变换 的分母阶次则上述极限为零，即：系统的无静差度，此时系统也称为 阶无静差系统。252单位阶跃输入的稳态误差定义 为静态位置误差系数静态位置误差系数。1253根据得静态位置误差系数静态位置误差

47、系数：254单位阶跃输入的稳态误差公式稳态误差公式255结论结论的单位负反馈系统，在单位阶跃输入下的稳态误差为一个常值，并且稳态误差与系统的开环放大倍数 成递减关系。的单位负反馈系统，在单位阶跃输入下的稳态误差为零。256在开环传递函数中，的系统称为0型系统型系统；的系统称为I型系统型系统；的系统称为II型系统型系统。的值对控制系统的稳态误差起着重要作用。I型系统可以无静差地跟踪阶跃信号。257单位斜坡输入的稳态误差2单位斜坡输入稳态误差258定义 为静态速度误差系数静态速度误差系数。根据得静态速度误差系数静态速度误差系数：259单位斜坡输入的稳态误差公式稳态误差公式260结论结论在单位斜坡输

48、入下的稳态误差为一个常值，并且稳态误差与系统的开环放大倍数 成反比。的单位负反馈系统，的单位负反馈系统，在单位斜坡输入下的稳态误差为零。II型系统可以无静差地跟踪斜坡信号。261单位加速度输入的稳态误差3单位加速度输入稳态误差定义 为静态加速度误差系数静态加速度误差系数。262根据得静态加速度误差系数静态加速度误差系数：263单位加速度输入的稳态误差公式稳态误差公式264结论结论在单位加速度输入下的稳态误差为一个常值，并且稳态误差与系统的开环放大倍数 成反比。的单位负反馈系统，265对比总结对比总结各种典型输入下单位反馈系统的稳态误差单位阶跃单位斜坡单位加速度0型系统I型系统II型系统266系

49、统的三个静态误差系数 、 、在系统的型别与输入信号的类型相一致的情况下，就等于系统的开环放大倍数 。静态误差系数与开环放大倍数的关系系统的型别与输入信号类型一致性的对照0型系统型系统单位阶跃信号单位阶跃信号I型系统型系统单位斜坡信号单位斜坡信号II型系统型系统单位加速度信号单位加速度信号267通常情况下，稳态误差与开环放大倍数成递减关系。 但是，不能为了减小稳态误差而过分地增大开环放大倍数，系统不稳定。因为开环放大倍数太大，会导致必须在保证系统稳定的前提下， 适当地增大开环放大倍数。I型系统、II型系统在单位阶跃输入下的稳态误差为零。可见，提高系统的型别是减小稳态误差的又一办法。在系统中增加串

50、联积分环节的数目，可以提高系统的型别。但是这样会使系统的动态性能变坏。268无论是提高系统的开环放大倍数，还是提高系统的型别，都必须在不对系统的稳定性和动态性能产生不良影响的前提下进行。如果输入信号是几种典型信号的合成：根据线性系统的叠加原理，稳态误差为：稳态误差与系统的模型及输入信号均有关。2693.10.3 干扰信号作用下的稳态误差干扰信号作用下的稳态误差线性系统的稳态误差+线性系统的叠加原理输入单独作用下的稳态误差干扰单独作用下的稳态误差这两种稳态误差可以单独分离进行研究。270-+在考虑干扰 引起的稳态误差时，可以令：在单位反馈系统情形下， 误差等于偏差。+271+干扰干扰引起的偏差2

51、72根据拉氏变换的终值定理，可得：由此就可计算由干扰引起的稳态误差了。273例例3-18 控制系统如图，-+（1）当 ， 时，求稳态误差 ；（2）当 ， 时，求稳态误差 ；（3）若要减少 ，应如何调整 和 ？（4）如果分别在扰动点之前和之后加入积分环节，对系统的稳态误差有何影响？274结论结论在扰动点之前加入串联积分环节，由输入和干扰引起的稳态误差；可以同时减小在扰动点之后加入串联积分环节，引起的稳态误差。只能减小由输入275本次课内容总结本次课内容总结在扰动点之前加入串联积分环节，由输入和干扰引起的稳态误差；可以同时减小在扰动点之后加入串联积分环节，引起的稳态误差。只能减小由输入干扰信号作用

52、下的稳态误差干扰信号作用下的稳态误差:线性控制系统的稳态误差；线性控制系统的稳态误差；终值定理和稳态误差的计算；终值定理和稳态误差的计算；各种典型输入下单位反馈系统的稳态误差。各种典型输入下单位反馈系统的稳态误差。276例例3-19 单位反馈系统的开环传递函数为：若输入信号为和 为正常数，欲使系统的稳态误差 （正常数），求系统各参数应满足的条件。2773.10.4 动态误差系数动态误差系数 利用拉氏变换的终值定理求取稳态误差有一定的局限性。必须满足终值定理的应用条件；只能求得 时的稳态误差值，弄不清楚稳态误差是怎样随时间而变化。有时我们希望搞清楚稳态误差随时间而变化的规律，动态误差系数法动态误

53、差系数法可以解决这一问题。278对于单位负反馈系统-其偏差信号就等于误差信号：其中偏差闭环传递函数：279在 的邻域内将 展成Taylor级数：记为其中称为动态误差系数。280动态误差系数281偏差信号的拉氏变换可以写成：动态误差系数除了通过对 求各阶导数而获得以外，还可以通过长除法将 写成幂级数的形式而获得。282例例3-20控制系统的闭环偏差传递函数为求动态误差系数。283动态误差系数与静态误差系数的关系0型系统I型系统II型系统284用动态误差系数法也可以求取干扰信号作用下的稳态误差，只要用代替即可。285例例3-21 单位反馈系统如图，-+同时存在输入和干扰：用动态误差系数法计算该系统

54、的稳态误差。286例例3-22单位反馈系统的开环传递函数为求当输入信号为时的稳态误差。287注释注释 用动态误差系数法适合于求 为幂函数形式的稳态误差。幂函数形式的 只有有限阶导数，这种情况下只需求出有限个动态误差系数即可；若 为正弦或余弦信号，它有无穷阶导数，这种情况下需要求出无穷个动态误差系数，显然，在这种情况下用动态误差系数法求取稳态误差就不太合适了。2883.11 减小和消除稳态误差的方法减小和消除稳态误差的方法当控制系统在输入信号或干扰信号作用下的稳态误差不能满足设计要求时，要设法减小或消除稳态误差。2893.11.1 增大开环放大倍数增大开环放大倍数1减小输入信号作用下的稳态误差0

55、型系统的开环放大倍数（静态位置误差系数）I型系统的开环放大倍数（静态速度误差系数）II型系统的开环放大倍数（静态加速度误差系数）知识要点回顾290增大开环放大倍数 可以减小0型系统在阶跃输入作用下的稳态误差；减小I型系统在斜坡输入作用下的稳态误差；减小II型系统在加速度输入作用下的稳态误差。注释注释增大开环放大倍数只能减小某种输入信号下的稳态误差值；增大开环放大倍数不能改变稳态误差的性质。291对于稳态误差为0或 的情形，放大倍数不能改变这种状况，增大开环趋向于 的进程。但是可以延缓292例例3-23 单位反馈系统的开环传递函数为在 和 两种情况下，分别求输入信号为时的稳态误差。2932减小干

56、扰信号作用下的稳态误差+-增大 ，可以减小 ；增大 ，对 无影响。294结论结论用增大开环放大倍数来减小干扰引起的稳态误差时，应注意正确地选取增大放大倍数的部位；如果能增大 ，同时减小 ，则可以在总的开环放大倍数不变的情况下，有效地抑制干扰引起的误差；必须在保证闭环系统稳定和满足动态性能指标的前提下，适当地增大开环放大倍数。2953.11.2 增加串联积分环节增加串联积分环节在开环传递函数中加入串联的积分环节，系统的型别，可以提高用这种方法可以改变稳态误差的性质，从而有效地减小稳态误差。2961减小或消除输入信号作用下的稳态误差采用PI或PID控制是加入串联积分环节的常用方法。PI比例+积分P

57、ID比例+积分+微分297PI控制器+-PI控制器的传递函数为：298PID控制器+-+PID控制器的传递函数为：299都会在系统的开环传递函数中增加一个串联积分环节，上述两种控制器的共同点：使系统的型别提高一级。从而3002减小或消除干扰信号作用下的稳态误差+-在干扰信号作用点以前加入一个串联积分环节，可以使系统对干扰信号的稳态误差提高一级型别。在干扰信号作用点以后加入一个串联积分环节，干扰信号引起的稳态误差没有影响。3013.11.3 顺馈控制顺馈控制顺馈控制又称为前馈控制。是把系统的外部作用信号（输入或干扰）通过另外一条支路引入控制系统，包括稳态误差。消除误差，利用补偿原理来减小或302

58、1减小或消除输入信号作用下的稳态误差+-系统的输入-偏差传递函数为303若取则有即在输入信号作用下完全没有误差。但是实现这种关系 是很困难的，因为有时会出现分子阶次高于分母的现象，这种传递函数在工程上是难于实现的。304若取 为一阶微分或二阶微分形式，则可以提高系统对稳态误差的型别。305例例3-24如图所示，+-在没有顺馈控制的情况下，系统为I型，若加入顺馈控制，如何选取 ，的无差度提高为2？使系统306例例3-25采用顺馈的单位反馈控制系统如图所示，要求该系统在 输入作用下，稳态误差为零。求参数 和 。+-307结论结论顺馈控制是由顺馈通道给控制系统引入另外一个输入信号，不改变原闭环系统的

59、稳定性。3082减小或消除干扰信号作用下的稳态误差如果干扰信号可以测量，则可以在原系统中加入顺馈通道，如图所示。利用补偿原理来减小或消除干扰引起的稳态误差。+-+309所谓顺馈补偿，是指干扰信号通过顺馈通道对系统的作用，能够抵销干扰信号对原系统输出信号的作用。在没有顺馈的情况下，干扰信号 引起的输出为：310引入顺馈通道以后， 干扰信号 引起的输出为：若取则干扰引起的输出信号为零，即，干扰对输出不产生影响，实现了完全补偿。311例例3-26如图所示，+-+其中，试确定顺馈通道的传递函数 ，使干扰信号对输出不产生影响。312结论结论顺馈控制既可以减小或消除输入引起的稳态误差，又可以减小或消除干扰引起的稳态误差。顺馈控制的最大优点是不影响原闭环系统的稳定性。顺馈控制的最大缺点是要用到输入信号和干扰信号的微分或高阶微分， 工程中有时难以实现。313本次课内容总结本次课内容总结动态误差系数动态误差系数动态误差系数与静态误差系数的关系动态误差系数与静态误差系数的关系减小和消除稳态误差的方法减小和消除稳态误差的方法增大开环放大倍数；增大开环放大倍数；增加串联积分环节；增加串联积分环节；顺馈控制。顺馈控制。314