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1、第七章 参数估计1统计推断问题可以分为两大类: 估计问题, 假设检验问题. 本章讨论总体参数的点估计和区间估计.2 u总体分布中未知参数的推断总体分布中未知参数的推断 假定某市成年男性的身高服从正态分布，假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高希望得到平均身高m ： m的大小如何的大小如何； m大概落在什么范围内；大概落在什么范围内； 能否认为能否认为某一说法成立某一说法成立（如（如 m 1.68）u设总体设总体X的分布函数为已知的分布函数为已知, 但它的一个但它的一个 或多个参数为未知或多个参数为未知例1 在某炸药厂, 一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量, 假设它服从以l0
2、为参数的泊松分布, 参数l为未知, 现有以下样本值, 试估计参数l.4解 由于Xp(l), 故有l=E(X). 我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X). 现由已知数据计算得到得到E(X)=l的估计为1.22.5点估计问题的一般做法点估计问题的一般做法如何如何给出估出估计，即估，即估计的的方法方法问题； 如何如何对不同的估不同的估计进行行评价，即估价，即估计的的好坏判断好坏判断标准。准。点估计涉及的两个问题点估计涉及的两个问题一、一、 矩估矩估计法法用用样本矩本矩去去替替换相相应的的总体矩体矩通常采用原点矩两种常用的构造估计量的方法:矩估计法 、最大似然估计法9样本矩依概率收敛于相应的总
3、体矩样本矩依概率收敛于相应的总体矩样本矩的连续函数依概率收敛于相应的样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数总体矩的连续函数. . 因此就用样本矩作为相应的总体矩的估计量. 例3 设总体X的均值m及方差s2都存在, 且有s20, 但m,s2均为未知. 又设X1,X2,.,Xn是来自X的样本. 试求m,s2的矩估计量.解分别以A1,A2代替m1,m2, 得m和s2的矩估计量分别为总体均值与方差的矩估计量的表总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异达式不因不同的总体分布而异. .10泊松分布总体的参数矩估计量指数分布总体的参数矩估计量 二项分布参数p的矩估计量？例：11例2
4、 设总体XU(a,b), a,b未知. X1,X2,.,Xn是来自总体X的样本, 试求a,b的矩估计量.解 m1=E(X)=(a+b)/2m2=E(X2)=D(X)+E(X)2=(b-a)2/12+(a+b)2/4.解得:12分别以A1,A2代替m1,m2, 得到a,b的估计量分别为:13矩估计法的优缺点矩估计法的优缺点矩估计法的优点：简单易行，不需要知矩估计法的优点：简单易行，不需要知道总体的分布形式，只需要知道总体道总体的分布形式，只需要知道总体若干阶矩的形式；若干阶矩的形式；矩估计法的缺点：总体分布形式已知的矩估计法的缺点：总体分布形式已知的情形下，矩估计法不能够充分利用总情形下，矩估计
5、法不能够充分利用总体分布提供的信息。体分布提供的信息。最大似然估计法最大似然估计法Maximum Likelihood Estimate设设x1,x2,.,xn是相应的一个样本值是相应的一个样本值. 然然似然函数似然函数函数函数似然函数似然函数17求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤:例4 设Xb(1,p), X1,X2,.,Xn是来自X的样本, 试求参数p的最大似然估计量.解 设x1,x2,.,xn是相应于样本X1,X2,.,Xn的一个样本值. X的分布律为PX=x=px(1-p)1-x, x=0,1.故似然函数为192021 最大似然估计法也适用于分布中含有最大似然估计法也适用于分
6、布中含有多个未知参数的情况多个未知参数的情况. . 此时只需令此时只需令对数似然对数似然方程组方程组例5 设XN(m,s2), m, s2为未知参数, x1,x2,.,xn是来自X的一个样本值. 求m, s2的最大似然估计值.解 X的概率密度为似然函数为232425最大似然估计的性质最大似然估计的性质:不变性不变性是是的极大似然估计的极大似然估计是是的极大似然估计的极大似然估计(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?第三节第三节 估计量的评选标准估计量的评选标准1 无偏性无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: : 无系统误差无系统误差. .282930例2 设总体X服从指数分布, 其概率密度为其中参数q0为未知, 又设X1,X2,.,Xn是来自X31证估计量. 而Z=min(X1,X2,.,Xn)具有概率密度可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量32有效性Xn)都是q 的无偏估计量, 若对于任意q, 有且至少对某一个且至少对某一个q q Q Q上式中的不等式成立上式中的不等式成立, 33相合性 设即, 若对于任意q都满足: 对于任意e0, 有34作业 第七章习题第173页第2,3,12题35
