4-4-1长方体与正方体.题库教师版

《4-4-1长方体与正方体.题库教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4-4-1长方体与正方体.题库教师版（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、4- 4- 1 长方体与正方体题库page 1 of 39对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查如右图，长方体共有六个面( 每个面都是长方形) ，八个顶点，十二条棱cbaHGFEDCBA在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等( 叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形) 长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()Sabbcca长方体；长方体的体积：Vabc长方体正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的

2、棱长为a，那么：26Sa正方体，3Va正方体板块一长方体与正方体的表面积【例1】右图中共有多少个面？多少条棱？后面前面右面左面下面上面【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形前、后看各有1 个面，左面看有 1 个面， 右面看有 2个面，上面看有 2 个面， 下面看有 1个面所以共有 11 12218 ( 个)面前后方向的棱有6 条，左右方向的棱有6 条，上下方向的棱也有6 条，所以共有棱66618 ( 条) 例题精讲长方体与正方体4- 4- 1 长方体与正方体题库page 2 of 39【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？【解析】 9 个面， 21 条棱【例2

3、】如右图，在一个棱长为10 的立方体上截取一个长为8，宽为 3，高为 2 的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】 我们从三个方向( 前后、 左右、上下 ) 考虑， 新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600【巩固】 在一个棱长为50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5 厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3 个方向考虑变化前后的表面积不变： 5050615000(平方厘米 ) 【例3】如右图，有一个边长是5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2 的长方体，那么它的

4、表面积减少了多少? 【解析】 原来正方体的表面积为556150现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为 (32)212，所以减少的面积就是12【例4】右图是一个边长为4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）4- 4- 1 长方体与正方体题库page 3 of 39【解析】 原正方体的表面积是44696( 平方厘米 ) 每一个面被挖去一个边长是1 厘米的正方形，同时又增加了5 个边长是1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了

5、4个边长是1 厘米的正方形从而，它的表面积是：9646120 平方厘米【例5】如图，有一个边长为20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【解析】 大立方体的表面积是202062400 平方厘米 在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面， 但里面又多出3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2 个面，但里面多出4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1 个面，但里面多出5 个面所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6 个面，可以计算出每个面的面积：( 24542400)69

6、 平方厘米，说明小正方体的棱长是3 厘米【例6】下图是一个棱长为2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 我们仍然从3 个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：2228( 平方厘米 ) ；左右方向、前后 方 向 ： 22416( 平 方 厘 米 ) ， 1144( 平 方 厘 米 ) ，121241( 平 方 厘 米 ) ，1414414( 平方厘米 ) ，这个立体图形的表面积为：8164114129

7、4( 平方厘米 ) . 【例7】（ 小学生数学报邀请赛）从一个棱长为10 厘米的正方形木块中挖去一个长10 厘米、宽2 厘米、4- 4- 1 长方体与正方体题库page 4 of 39高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？( 写出符合要求的全部答案)【解析】 按图 1 所示沿一条棱挖，为592 平方厘米；按图 2 所示在某一面上挖，为632 平方厘米；按图 3 所示在某面上斜着挖，为648 平方厘米；按图 4 所示挖通两个对面，为672 平方厘米图 1 图 2 图 3 图 4 【例8】（北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是 15从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、

8、5、 6、7、8 的小正方体这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7 与 8 的小正方体 ( 如图所示 ) ， 这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多 剩下部分的表面积最小 是：151567721252想想为什么不是151567788 ？【例9】从一个长 8 厘米、宽7 厘米、高6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体( 如下图 ) ，剩下部分的表面积之和是平方厘米68766【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：8766

9、2616661787292（）（）( 平方厘米 ) 也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3 个 66的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是 3 个 66的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为8786762292 ( 平方厘米 ) 【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、 15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长. 由于 21:15 :127 :5:4 ，为了方便起见. 我们先考虑长、

10、宽、高分别为7 厘米、 5厘米、4厘米的长方体. 因为 754 , 容易知道第一次切下的正方体棱长应4- 4- 1 长方体与正方体题库page 5 of 39该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求. 第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求. 剩下的体积应是33321 15 1212961107（平方厘米）. 【例10】一个正方体木块，棱长是1 米，沿着水平方向将它锯成2 片，每片又锯成3 长条，每条又锯成4 小块，共得到大大小小的长方体24 块，那么这24 块长方体的表面积之和是多少？【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增

11、加的面数原正方体表面积：1166( 平方米 ) ，一共锯了 ( 21)( 31)( 41)6 次，6112618( 平方米 ) 【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3 片，每片又锯成4 长条，每条又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体60 块那么，这60 块长方体表面积的和是多少平方米? 【解析】 我 们 知 道 每 切 一 刀 ， 多 出 的 表 面 积 恰 好 是 原 正 方 体 的2个 面 的 面 积 现 在 一 共 切 了( 31)( 41)( 51)9 刀，而原正方体一个面的面积1l1( 平方米 ) ，所以表面积增加了92118( 平方米 ) 原来正

12、方体的表面积为616( 平方米 ) ，所以现在的这些小长方体的表积之和为 618=24( 平方米 ) 【巩固】 ( 2008 年走美六年级初赛) 一个表面积为256cm 的长方体如图切成27 个小长方体，这27 个小长方体表面积的和是2cm 【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3 倍，即表面积的和为2563168(cm ) 【例11】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10 厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8 个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？4- 4- 1 长方体与正方体题库pag

13、e 6 of 39【解析】 10106600( 平方厘米 ) 【例12】有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面如果这个长方体的表面积是3096 平方厘米， 当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144 平方厘米，那么n为多少？【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436( 平方厘米 ) 所堆成的长方体的表面积，包含底面的2 个正方形和侧面的4n 个正方

14、形，所以(3096362)14421n【例13】边长分别是3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3 个正方形面，其中边长为3 的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3 的正方形，边长为5 和边长为8 的正方体的重合面面积不超过边长为5 的正方形，三个正方形表面积和为6336556882233255502. 【例14】如图， 25 块边长为1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想 27 块边长为1 的正方形积木，当拼成一个333的正方体时，表面积最小

15、，现在要去掉2 块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54. 【例15】用 6 块右图所示 ( 单位： cm) 的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？123【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图的拼接方式新的长方体长为5 ，宽为4，高为 3，所以表面积为2(343334)266(cm ) ； 要使表面积最大需重叠的面积最小，如图所示， 长为 18 ，宽为 2，高为1，所以最大的表面积为2(18 118212)2112(cm )4- 4- 1 长方体与正方体题

16、库page 7 of 39(1)(2)【巩固】用10 块长 5 厘米，宽 3 厘米，高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少 ?【解析】 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证102 个 75 的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将75 面做底面，而后将10 个长方体连排，衔接的面选用 35 的面 ( 衔接的面将不能成为表面积) ，这样得到的长方体表面积最大同样要想最小，可把75 面做衔接的面，可得到10 个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2 个 57 的面，减少了10 个 37 的面，总体来讲表面积

17、减少了表面积是： 2( 7151510107)650( 平方厘米 ) ，所以这就是最小的表面积【例16】要把 12 件同样的长a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当b2h 时，如何打包？当b2h 时，如何打包？当b2h 时，如何打包？【解析】 图 2 和图 3 正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图 2 的正面周长是8h6b，图 3 的周长是 12h4b. 两者的周长之差为2（b2h）. 当 b2h 时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包；当b2h 时，按图2 打包；当b2h 时，按图3打包 . 图3图

18、2图1hba4- 4- 1 长方体与正方体题库page 8 of 39【巩固】要把6 件同样的长17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【解析】 考虑所有的包装方法，因为6123，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高116 拼接，重叠面有三种选择，共3 种包装方法 . 第二种按长宽高123 拼接，有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2 个长方体并列方向的重叠面剩下2 种选择，一共有6 种包装方法 . 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034. 【例17】如图，在一个棱长为5 分米的正方体上放一个棱长为4 分米的小正方体，求这个立体图形的

19、表面积【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向( 左右、前后方向) ：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面上下方向：55250 ( 平方分米) ；侧面：554100( 平方分米) ，44464 ( 平方分米 ) 这个立体图形的表面积为：5010064214 ( 平方分米 ) 【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1 米、2 米、 4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下

20、面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【解析】 该图形从前、 后、 左、 右四面观察到的面积都是22212421 平方米，从上面观察到的面积是2416平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21416100平方米【例18】( 2008 年“希望杯”五年级第2 试) 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、 3厘米、 5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米4- 4- 1 长方体与正方体题库page 9 of 39【解析】 ( 法 1) 四个正方体的表面积之和为：2222(1235 )6396234 ( 平方厘米 ) ，重叠部分的面积为：22222222213(

21、221 )(321 )(321 )39141440 ( 平方厘米 ) ，所以，所得到的多面体的表面积为：23440194 ( 平方厘米 ) ( 法 2) 三视图法从前后面观察到的面积为22253238 平方厘米 , 从左右两个面观察到的面积为225334平方厘米，从上下能观察到的面积为2525平方厘米表面积为3834252194 ( 平方厘米 ) 【例19】边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5 层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2 倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15 平方

22、厘米，该图形的总表面积为90 立方厘米【巩固】按照上题的堆法一直堆到N 层(3N) ，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N 的最小值是多少？【解析】 每增加一层，每一个“大面”就增加到(1)2N N个小面，总表面积是6 个“大面”，所以就增加到3(1)N N个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3(1)N N是一个完全平方数，N 的最小值是几 (3)N？”因为 N 和1N互质， 所以 N 和1N必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3 倍，但1N不能是平方数的3 倍，因为如果1N是平方数的3 倍，设213,Nn231Nn此时 N 被3 除余 2，不可能是完全平方数，所以N 是平方数的3 倍

23、，1N是完全平方数，开始试验：当23 13N，不符合题意；当23212N，113N，不是完全平方数；当23 327N，128N，不是完全平方数；当23448N，149N，是完全平方数，所以N 的最小值是48，即堆到第 48 层时，总表面积是完全平方数，为23484984 . 【例20】把 19 个棱长为1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积4- 4- 1 长方体与正方体题库page 10 of 39【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2 个上面2个左面2个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面

24、的面积为：8 平方厘米，前表面的面积为： 10 平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254 (平方厘米 )上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7 块正方形组成该图形的表面积等于(977)246个小正方形的面积，所以该图形表面积为46 平方厘米【例21】现有一个棱长为1 厘米的正方体，一个长宽为1 厘米高为2 厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为 3 厘米的长方体下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形试利用下面三个图形把

25、合并成的立体图形(如例 )的样子画出来，并求出其表面积例：侧前上侧面所看到的图形前面所看到的图形上面所看到的图形【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3 层，说明叠成的图形只有3 层从上面看到的图形中可以确定2 个高为 3 厘米的长方体的位臵，一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1 层；从而可以确定另一个高为3 厘米的长方体4- 4- 1 长方体与正方体题库page 11 of 39及其它两个图形的位臵，可得立体图形的形状如下图所示从上面和下面看到的形状面积都为9 平方厘米，共18 平方厘米；从两个侧面看到的形状面积都为7 平方厘米，共14 平方厘

26、米；从前面和后面看到的形状面积都为6 平方厘米，共12 平方厘米；隐藏着的面积有2 平方厘米一共有 181412246( 平方厘米 ) 【例22】（ 05年清华附培训试题） 将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3 个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【解析】 长： 3115 厘米；宽： 1113 厘米；高： 1113 厘米；所以原长方体的表面积是：（353533）3278 平方厘米【例23】有 30 个边长为1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积【解析】 44(1234)456 (

27、平方米 ) 【例24】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积( 含最底层正方体的底面面积 ) 超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是_【解析】 此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为22228，它的每个侧面的面积应该超过39847.75最底层的正方体的单个侧面面积为224，往上依次为2，1，12，14，前五层正方体的单个侧面面积和为114217.7524，所以要想超过7.75 ，至少应该是6 个4- 4- 1 长方体与正方体题库page 12 of 39【例25】如

28、图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型把这个模型的表面( 包括底面 ) 都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多_ 块【解析】 三面涂上红色的小正方体有：425428 个，两面涂上红色的小正方体有：341 416个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612块【例26】右图是 456 正方体， 如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】 三面涂红色的只有8 个顶点处的8 个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436块；一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42

29、)(62)2(52)(62)252 块【例27】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5 刀，沿着宽边等距离切4 刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24 块，则n的取值是 _【解析】 沿着长边等距离切5 刀，可切为516 块；沿着宽边等距离切4 刀，可切为415 块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n块由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1 面 (或 2 面、或 3 面)的小方块， 所以， 各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)nn个，因各面均没有红色的小方块为24 块，所以， 12(1)24n，解得3n【例28】棱长是m厘米（m为整数）的正

30、方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1 厘米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12 ，此时m的最小值是多少 ?【解析】 切割成棱长是1 厘米的小正方体共有3m 个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为 13:12 ，而 131225 ，所以小正方体的总数是25 的倍数，即3m 是 25 的倍数，那么m是 5 的倍数当5m时，要使得至少有一面的小正方体有65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265 个，表面没有红色的小正方体有1256560 个，个数比恰好是13:12 ，符合题

31、意 . 因此，m的最小值是5【例29】有 64 个边长为1 厘米的同样大小的小正方体，其中34 个为白色的， 30 个为黑色的现将它们拼成一个444的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有3(42)8 (个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有2(42)624 (个)，其中 30822 个用黑色4- 4- 1 长方体与正方体题库page 13 of 39这样， 在表面的 44696 个1 1的正方形中， 有 2

32、2 个是黑色， 962274 (个)是白色， 所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74 平方厘米【例30】一个长方体的长是12 厘米，宽10 厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是 1 厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448 个求原来长方体的体积与表面积【解析】 先求出长方体的高，再求其体积和表面积设长方体的高为h厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体有122102212222210228836hhh 个，因为一面有色的小正方体有448 个，所以， 8836448h，解得10h所以，长方体的体积为1210101200立方厘米，表面积为1210121010102680

33、平方厘米【例31】将一个棱长为整数分米的长方体6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1 分米的小正方体在这些小正方体中，6 个面都没有涂红色的有12 块，仅有两个面涂红色的有28 块，仅有一个面涂红色的有块，原来长方体的体积是立方分米【解析】 先考虑 6 个面都没有涂红色的正方体，它们最初是位于原长方体的“芯”（就是去掉长方体各面最外面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有12 块，所以12 就是这个“芯”的长、宽、高（各比原来长方形的长、宽、高小2）的乘积而12 分拆成 3 个整数的乘积只有4种情况：1 1 12126134223；再看两面涂红的小正方体两面涂红的小正方体就是最初位于长方

34、体的棱上除了顶角处的那些小正方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的4 倍由于这样的小正方体共有28 块，所以“芯”的长、宽、高之和为2847；符合条件的只有2237 ，所以“芯”为223的长方体，原来的长方体是445 的长方体一面涂红的长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为：222323232 （个） ，原来长方体的体积为：44580 （立方分米）【例32】右图是由 27 块小正方体构成的333 的正方体 如果将其表面涂成红色，则在角上的8 个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18 块小方块中，有12 个两面是红的， 6 个一面是红的这

35、样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【解析】 对于由 n3块小正方体构成的nnn 正方体，三面涂有红色的有8 块， 两面涂有红色的有12 （n2）块，一面涂有红色的有62(2)n块，没有涂色的有3(2)n块由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即3(2)n88，解得 n6【例33】有 6 个相同的棱长分别是3 厘米、 4 厘米、

36、5 厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1 个面是红色的， 有的长方体恰有2 个面是红色的， 有的长方体恰有3 个面是红色的，有的长方体恰有4 个面是红色的，有的长方体恰有5 个面是红色的，还有一个长方体6 个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1 厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？【解析】 一面染红的长方体，显然应将 45 的长方体染红， 这时产生20 个一面染成红色的小正方体，个数最多4- 4- 1 长方体与正方体题库page 14 of 39二面染红的长方体，显然应将两个45 的长方体染红， 这时产生40 个一面染成红色的小正方体

37、，个数最多三面染红的长方体，显然应将45 ， 45 ， 43 的面染红，于是产生4(5534)36个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36 个四面染红的长方体，显然应将45 ， 45 ， 43 ， 43 的面染红，产生4(553324)32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32 个五面染红的长方体，应只留一个35 的面不染，这时就产生(32)(52)(41)(553324)27 个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27六面染红的长方体，产生2(32)(52)(52)(42)(42)(32)22 个一面

38、染成红色的小正方体于是最多得到222732364020177 个一面染成红色的小正方体【例34】三个完全一样的长方体，棱长总和是288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方体都切成棱长为1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是288396厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96424 厘米因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9 厘米、 8厘米、 7 厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少

39、有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个87 面，有 8756 个；涂两面的长方体，若两面不相邻， 应涂两个 87 面，有 872112个；若两面相邻， 应涂一个 87面和一个 97 面，此时有7892105 个，所以涂两面的最少有105 个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个87 面、一个 97 面，有 78894147个；若三面两两相邻， 有718171918191146个，所以涂三面的最少有146个那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307 个【例35】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成

40、若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1 的情况当长方体的长、宽、高中有一个是1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，设 100ab ，那么分成的小正方体个数为221242104abababab，为了使小正方体的个数尽量少，应使ab 最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当

41、10ab时它们的和最小，此时共有102102144个小正方体当长方体的长、宽、高都大于1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8 个顶点所在的小正方体后 12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312227 ，此时共有2227108个小正方体因为 108144，所以至少要把这个大长方体分割成108 个小正方体【例36】把正方体的六个表面都划分成9 个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的

42、正方形最多有多少个？4- 4- 1 长方体与正方体题库page 15 of 39【解析】 一个面最多有5 个方格可染成红色（见左下图）因为染有5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5 个红色方格红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4 个红色方格（见上中图）因为染有4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4 个红色方格最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2 个红色方格（见右上图）所以，红色方格最多有52422222（个） （另解）事实上上述的解法并不严密，“ 如果最初的假设并没有两个相对的有5 个红色

43、方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：如图，每个角上三个方向的3 个方格必须染成不同的三种颜色，所以8 个角上最多只能有8 个方格染成红色 如图， 阴影部分是首尾相接由9 个方格组成的环， 这 9 个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有 5 个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先

44、去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道）， 涉及的 18个方格中最多能有8个可染成红色剩下 633839212 个方格，分布在6 条棱上，这12个格子中只能有6 个能染成红色综上所述， 能被染成红色的方格最多能有88622个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况【巩固】把正方体的六个表面都划分成4 个相等的正方形用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 正方体

45、的 6 个面被分割成24个正方形， 如果只对每个面分别分析，只能得到每个面最多有2个方格，六个面最多应该12个面染成红色，如果对每一个角进行分析，每一个角上的三个方格都相互相邻，4- 4- 1 长方体与正方体题库page 16 of 39所以其中最多只有1个方格能染成红色，所以用红色染的正方形最多有8个，如图【例37】一个正方体的棱长为3 厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1 厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积. 【解析】 挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的. 把这个玩具分成 20 部分， 8 个“角”和12 条“梁

46、”，每个“角”为棱长1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2133( 平方厘米 ) ，则8 个“角”外露部分的面积为：3 824 ( 平方厘米 ) 每条“梁”为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2144 ( 平方厘米 ) ，则 12 条“梁”外露部分的面积为： 4 1248( 平方厘米 ) 这个玩具的表面积为：244872 ( 平方厘米 )【例38】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）如果这个镂空的物体的表面积为2592 平方厘米，试求正方形截口a 的边长【解析】 原来正方体的表面积

47、为：63a3a69a2（平方厘米） ，六个边长为a 的小正方形的面积为（减少部分）：6aa6a2（平方厘米） ；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：aa428a2（平方厘米） ；根据题意可得：54a26a238a22592，解得 a236（平方厘米） ，故 a6 厘米【例39】有一个棱长为5cm 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔( 右上图 ) ，求这个立体图形的内、外表面的总面积【解析】 将此带孔的正方体看做由八个32228cm 的正方体 ( 8 个顶点 ) 和 12 个31cm 的正方体 ( 12 条棱 ) 粘成的每个正方体有两个面粘接，减少表面积24cm ，所以总的表

48、面积为：2(46)86 124 12216(cm ) 【例40】左下图是一个正方体，四边形APQC 表示用平面截正方体的截面请在右下方的展开图中画出四边形 APQC 的四条边HPFQGBCDEAFEHGDCBA4- 4- 1 长方体与正方体题库page 17 of 39【解析】 把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC 四个顶点所在的位臵这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图FEHGDCBAABCDADDADCBAABCDGHEFQP根据四边形所在立体图形上的

49、位臵，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：AA，CC ，P在EF边上， Q 在 GF 边上 边 AC 在 ABCD 面上，AP在ABFE面上， QC在 BCGF 面上， PQ 在 EFGH 面上将上面确定的位臵标在展开图上，并在对应平面上连线需要注意的是，立体图上的A， C 点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面连好线的图形如右上图【例41】如图，用455 个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？【解析】

50、设长方体棱长为分别为xyz、 、. ，他们只能取正整数，则有：4554(222)8455371xyzxyz因为 45557 13 方程组的无序正整数解只有( 5，7， 13) ，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6 个平面，面积是2(11511335)206再计算24 个宽都是1的长条，面积是8(1135)152 ，总面积为358. 板块二长方体与正方体的体积立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体VabhVSh三要素：a、 b 、 h二要素： S、 h正方体3VaVSh一要素：a二要素： S、 h不规则形体的体积常用方法：4- 4- 1 长方体

51、与正方体题库page 18 of 39化虚为实法切片转化法先补后去法实际操作法画图建模法【例42】(第四届小数报数学竞赛决赛)一根长方体木料，体积是0.078立方米已知这根木料长1.3米宽为3 分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3 分米这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少? 【解析】 0.078(1.30.3)0.2 ( 米) 0.2 米2 分米1.30.30.30.0780.039 ( 立方米 ) 所以这根木料的高是2 分米；算错后，这根木料的体积比0.078 立方米多 0.039立方米【例43】( 第六届“华杯赛”决赛口试) 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼

52、龙编织条( 如图所示 ) 在三个方向上的加固所用尼龙编织条分别为365 厘米， 405 厘米， 485 厘米若每个尼龙加固时接头重叠都是5 厘米问这个长方体包装箱的体积是多少立方米? 高宽长【解析】 长方体中高宽1(3655)1802，高长1(4055)2002，长宽1(4855)2402，：长宽20 ，：长130，从而宽110，代入得高70所以长方体体积为70110 1301001000 ( 立方厘米 )1.001 ( 立方米 )【例44】( 第十届“迎春杯”) 一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3 分米，宽是2.1分米，它的体积是_立方分米 . 【解析】 长方体的

53、高是30(33.662.12.32)2(2.12.3)11(分米 ) . 长方体的体积是30192.12.31311110( 立方分米 ) 【例45】( 第十五届“迎春杯”决赛) 把一根长 2.4 米的长方体木料锯成5 段( 如图 ) ，表面积比原来增加了 96 平方厘米这根木料原来的体积是_立方厘米2.4米【解析】96812 ( 平方厘米 ) ，4- 4- 1 长方体与正方体题库page 19 of 39122402880 ( 立方厘米 ) 所以这根木料原来的体积为2880 立方厘米【例46】( 第五届小数报数学竞赛决赛) 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半( 如图 ) 将这个长方体

54、切成12 个小长方体， 这些小长方体的表面之和为600 平方分米求这个大长方体的体积【解析】 设大长方体的宽( 高) 为a分米，则长为2a ，右 ( 左) 面积为2a ，其余面的面积为22a ，根据题意，22222862600aaa所以225a，5a大长方体的体积2555250 ( 立方分米 ) 【例47】有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米 . 求所成形体的体积. 【解析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4 个侧面正方形的面积，表面积减少了16 平方厘米，每个正方形侧面为1644 平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小

55、正方体体积( 即所成形体的体积 ) 是33224 立方厘米 . 【例48】( 第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2 倍，宽是高的3 倍；长的12与高的13之和比宽多 1 厘米这个长方体的体积是立方厘米【解析】 长的12即宽，所以高的13就是 1 厘米，高是3 厘米，宽是3 39 厘米，长是 9218 厘米，体积是39 18486( 立方厘米 ) 【巩固】 ( 第六届“迎春杯”决赛) 一个长方体的各条棱长的和是48 厘米， 并且它的长是宽的2 倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是_ 立方厘米【解析】 依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48412 ( 厘米 ) ，于是它的宽与高都等于1

56、2(21 1)3 ( 厘米 ) ，它的长是 326厘米所以这个长方体的体积是63354( 立方厘米 ) 【例49】把 11 块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是3288cm ，则大长方体的表面积为多少？4- 4- 1 长方体与正方体题库page 20 of 39【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐含的数量关系由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为3: 2 ，四个高等于一个长，所以长、高之比为4:1 ，长、宽、高之比为12 :8:3，设砖的长为12 单位，那么体积应该为1283288

57、个立方单位，所以一个单位长度就是1 厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米， 12 厘米， 11 厘米，所以大长方体的表面积为：24121211112421368（）平方厘米【例50】有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6 米、 3 米、2 米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6 厘米和 4 厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【解析】 把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积因此，沉入水池中的碎石的体积是330.060.54 ( 米3) ，而沉入小水池中的碎石的体积是220.040.16(

58、 米3) 这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7 ( 米3) 把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7 米3而大水池的底面积是6636( 米3) 所以水面升高了0.70.73636( 米 )7036( 厘米 )17118( 厘米 ) 故大水池的水面升高了17118厘米【例51】一个正方体容器，容器内部边长为24 厘米，存有若干水，水深17.2 厘米，现将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升2.5 厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？【解析】 设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米，则有水面升高后水的

59、总体积原来水的体积铁块浸入水中的体积，22242417.2xSx铁块的底面积，其中224242.5S铁块的底面积，得到242.5S铁块的底面积，解得19.2x，所以水面升高了19.217.22( 厘米 ) 【例52】（2009 年迎春杯初赛六年级）如图，有一个棱长为10 厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4 厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15 厘米、 12 厘米、 9 厘米，内部有水，水深3 厘米若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为立方厘米【解析】 可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的

60、长方体，高为 3厘米； 中间一层为4个长方体立柱，高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体. 由于长方体容器内原有水深3厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层. 设水面上升了h厘米，则中间一层在水中的部分恰好为 h厘米 . 由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即：2221512(104 )334hh ，解得74h，故铁块在水下部分的体积为715123154( 立方厘米 ). 4- 4- 1 长方体与正方体题库page 21 of 39【例53】( 第九届“迎春杯”决赛)

61、把 1 个棱长是3 厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体【解析】 因为小正方体的棱长只可能是2 厘米或 1 厘米必须分割出棱长是2 厘米的小正方体才能使数量减少显然，棱长是3 厘米的正方体只能切割出一个棱长为2 厘米的小正方体，剩余部分再切割出33322227819 个棱长是1 厘米的小正方体，这样总共可以分割成11920 ( 个) 小正方体【巩固】 ( 第九届“祖冲之杯”数学邀请赛) 有一个长方体的盒子，从里面量长40 厘米，宽12 厘米，高7 厘米，在这个盒子里放长5 厘米，宽4 厘米，高3 厘米

62、的长方体木块最多可放块444433333【解析】 上图表明 3 4 的长方形可以填满7 12 的长方形于是 534的长方体可以填满407 12 的长方体，即盒子中最多可放这种长方体407 12(534)56 (个) 【例54】有甲、乙、丙3 种大小的正方体木块，棱长比是1: 2: 3如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【解析】 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3一个甲种木块的体积是1，一个乙种木块的体积是 2228，一个丙种木块的体积是33327 由于每种正方体都要用到，那么所拼成的正方体的棱长最小应为325 当这三种木块拼成的

63、正方体的棱长是5 时，体积是555125 要想使三种正方体的总数最小，则体积较大的木块应尽可能多由于棱长为5，所以其中丙种木块只能有 1 个有了 1 个丙种木块后，乙种木块最多可以有4217块丙种木块的体积是27，乙种木块的体积是8756 ，余下的体积为125275642所以还需要甲种木块42142块所以共需要至少174250 块【例55】用1 12、 1 1 3 、122三种小木块拼成333的正方体现有足够多的1 22的小木块，还有14 块 1 13 的小木块，如果要拼成10 个 333的正方体，则最少需要1 1 2的小木块_块【解析】1 1 2、1 13 、1 22三种木块的体积分别为2，

64、3，4，其中只有 3 为奇数， 2，4 都是偶数因为 33327 ，体积为奇数，所以每个333的正方体中，1 13 的木块要有奇数块当只用1 块11 3 时，剩下的体积为24，但无法完全用1 22完成，还需要1 1 2的小木块，由于 24 和 4 都是 4 的倍数，所以1 12的小木块的体积和也是4 的倍数，至少要用2 块1 12的小木块检验可知用1 块1 13 的小木块、2块1 1 2的小木块和5块122的小木块可以拼成333的正方体当用 3 块 1 13 的小木块时，体积剩下18，可以再用4 块1 22的小木块和1 块1 1 2的小木块拼成当用 5 块 1 13的小木块时， 体积剩下12，

65、此时可以再用3 块122的小木块拼成， 即此时不需要用1 1 2的小木块拼成为了尽量少用1 1 2的木块，所以要尽量多用其他木块而一共只有14 块1 13 的木块，所以可以在 8 个 333的正方体中各用1 块 1 13 的木块，另2 个 333的正方体各用3 块 1 13 的木块；也可以在9 个 333的正方体中各用1 块11 3 的木块，另 1 个 333的正方体用5 块1 13的木块前者需要281218 个，后者需要2918 个，数量相同，所以最少需要1 12的木4- 4- 1 长方体与正方体题库page 22 of 39块 18 块【例56】把一个长方体形状的木料分割成3 小块，使这3

66、 小块的体积相等已知这长方体的长为15 厘米，宽为 12 厘米，高为9 厘米分割时要求只能锯两次，如图1 就是一种分割线的图除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中图 1图 2【解析】 分割方法很多，如图3，给出以下9 种分割方法：图 4 【例57】（第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3: 4:5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：4- 4- 1 长方体与正方体题库page 23 of 39【解析】 由于分出的三个长方体的底面积相同，所以体积之比等于三个长方

67、体的高之比，设正方体的棱长为1，三个长方体的高分别为1h ，2h ，3h ，所以1231hhh，根据“分成三个长方体. 这三个长方体的表面积比是 3: 4:5 ”得123(24):(24):(24)3: 4:5hhh，而123123(24)(24)(24)64()10hhhhhh，所以有132410345h，解得118h，同理得213h，31324h，所以1231 1 13:3:8:138 3 24hhh，即体积比为3:8 :13 。【例58】( 第三届“华杯赛”复赛) 如图从长为13 厘米，宽为9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多

68、少立方厘米？1392【解析】 容器的底面积是(134)(94)45 ( 平方厘米 ) ，高为 2 厘米，所以容器的体积是，45290( 立方厘米 )【巩固】 ( 第七届“祖冲之杯”数学邀请赛) 现有一张长40 厘米、宽20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒( 焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好) ，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米? 1030焊上焊上103520焊上焊上【解析】 如图，在 4020 的长方形铁皮的四角截去边长5 厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒这个铁皮盒的长405530( 厘米 ) 宽205510( 厘米 ) ，高5 (厘米 ) 体积

69、301051500 ( 立方厘米 )如图，在 4020长方形铁皮的左侧两角上割下边长5 厘米的正方形( 二块 ) ，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40535 ( 厘米 ) ，宽205510( 厘米 ) ，高5 ( 厘米 ) ，体积351051750 ( 立方厘米 )4- 4- 1 长方体与正方体题库page 24 of 39如图，在 4020的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5 厘米的长方形铁皮( 共二块 ) ，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40555520 ( 厘米 ) ，宽20 ( 厘米 ) ，高5 ( 厘米 ) ，体积202052000 ( 立方

70、厘米 ) 因此，最后一种容积最大【例59】一个长、宽、高分别为21厘米、 15厘米、12厘米的长方形. 现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长. 由于 21:15 :127 :5:4 ，为了方便起见. 我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、 5 厘米、4厘米的长方体. 因为 754，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求. 第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求那么对于原长方体

71、来说，三次切下的正方体的棱长分别是12 厘米、 9 厘米和 6 厘米，所以剩下的体积应是：33321 15 1212961107（立方厘米）. 12129996663121263912【例60】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右那么这个几何体至少用了块木块【解析】 这道题很多同学认为答案是26 块这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块其实，有些格不放，看起来也是这样的如右图，带阴影的3 块不放时，小正方体块数最少，为23 块【巩固】 右图是由22 个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成

72、的长方体有多少个？4- 4- 1 长方体与正方体题库page 25 of 39【解析】 正方体只可能有两种：由 1 个小正方体构成的正方体，有22 个；由 8 个小正方体构成的222的正方体，有4 个所以共有正方体22426 ( 个) 由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13 个，左右位有13 个，前后位有14 个，共有 13131440 ( 个) 【例61】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻( 有公共面 ) 的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面

73、) 共有黑色积木17 块. 【巩固】这个图形，是否能够由1 1 2的长方体搭构而成？【解析】 每一个1 12的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15 块，所以该图形不能够由1 1 2的长方体搭构而成. 【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字( 不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2 的立方体与写着1 的立方体的三个面相邻，再将写着3 的立方体写着2 的立方体相邻( 见左下图 ) 依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少? 4- 4- 1 长方体与正方体题库page 26 of 3933223

74、323322323111111【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1( 见下图 ) 765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的 9 个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27同理，下面的9 个数之和是45， 下面、左面、后面的所有数之和都是45 所以六个面上所有数之和是(2745)3216 【例62】如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？正视图俯 视 图侧视图【解析】 本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这

75、么11 个，这是不能再少的；第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7 块；第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求：所堆的立体的体积至少是11718当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件【例63】( 第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛) 用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图a，从正面看这个立体图形，如下图b ，则这个立体图形的表面积最多是_ab4- 4- 1 长方体与正方体题库page 27 of 39【解析】 根据题意，这个立体应当有2 层，由于这个立体图形是码成的而不是粘成的，这就意味着，这个立体图形的每一个小正方体的下

76、端必然有其他正方体支撑，所以这个立体图形的俯视图实际上可以看作该图形的“地基”我们在此基础上构造立体图形，结合图b ，构筑“地基”以上的第二层的建筑，由视角分析，A、B、 C 3 个位臵上都至少有一个正方体( 如左下图 ) ，在“地基”的基础上构筑第二层时，随着第二层小正方体数目的增多，由于每个小正方体与其他小正方体贴合的面最多有3 个，那么裸露在外面的面至少也有3 个，所以每增加一个小正方体，其表面积不会减少那么当第二层的小正方体最多时，其表面积也最大而小正方体最多的情况如右下图所示，CBA根据“三视图法”，该图形上、下面积为8216 ( 平方厘米 ) ，前、后面积为8216 ( 平方厘米

77、) ，左、右面积为8216 ( 平方厘米 )( 注意，左、右方向的面中，有4 个从该图形以外的左、右方向无法观察到 )，所以此立体的表面积为16161648 平方厘米【例64】（2009 年“希望杯”二试六年级）用棱长为1 的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体【解析】 根据视图可以画出原立体图形，如右图所示，其中灰色部分和黑色部分都可以有小立方体，白色部分则不可以有小立方体这些小立方体可以分为角上的和棱上的两种，其中角上的有32864 个，棱上的有12 个（每条棱上 1 个） ，所以总共最多有641276个【例65】( 第十届华

78、杯赛) 第 9 届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004 年 5 月 10 日在潮州举行，北京的选手们用N 个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004， 从左面看是9的模型 ( 如图) 问： N 最大为多少？N 最小为多少 ? 【解析】 可以将 2004 这个模型分为5 行，第一行有11 个方块，第二行有7 个方块，第三行有10 个方块，第四行有 6 个方块，第五行有10 个方块因为从左边看是9 的模型，所以第一行的宽度为3 个方块，第二行的宽度为2 个方块，第三行的宽度为 3 个方块，第四行的宽度为1 个方块，第五行的宽度为3 个方块，113721036 1103113，所以

79、N 最大为 1131171061044， 所以 N 至少是 44 块 但是，仅用 44 块显然不能满足从左边看是9 的模型所以必须再加上一些木块以满足从左边看是9 的模型模型“ 9”有 3 列，右面一列5 个方块已经满足，中间一列有3 个方块，所以得加上3 个；由于模型4- 4- 1 长方体与正方体题库page 28 of 39是粘贴出来而不是摆出来的，所以加上中间一列的3 块并不能减少右边一列的方块而左边一列有4 个方块，这4 个也得加上，加上左边一列的4 块后，由于其中的上面3 块是连续的，所以可以在右面一列去掉2 块，仍然不会改变从正面看是2004 的效果 4434249，所以 N 最小

80、为 49【例66】( 日本第七届算术奥林匹克) 有很多白色或黑色的棱长是1cm的小正方体 取其中的27 个，拼成一个棱长是3cm的大正方体，每一面都各用2 个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图例图中正方体的每一面的图案都相同，因此，用8 个或 9 个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体除例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体问：在下图的中找出可以拼成每面都相同的图案问：在问中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几个？例图【解析】 本题主要考查学生的空间想象能力在原来的棱长为1cm的小正方体中，由于每一个的6 个面的颜色都是相同的，要么是白色，要

81、么是黑色，所以，在拼成的棱长为3cm 的大正方体中，如果出现有某一面上有黑色的小正方形，那么就要注意与这个小正方形同属一个小正方体的其他面也应当是黑色的：图中的可以；：最多用10 个，最少用4 个图必然有黑色立方体出现角上，在选定了某一个顶点为黑色立方体后，相邻的正面出现了图所示的图案，则在上面必定是出现与选定的这个顶点相邻部分有一面是黑的，然而此时左面的情况就是至少三块成黑色了，与图所示的图案不可能相同所以图不可以；图的正面如图所示，则上面也必定在某一个角上，如果是在相邻的角，则某一面上有3 块黑色的；如果是在对角，而对角的情况与图所示的图案不同所以图不可以；图可以，如下左图所示通过“切片法

82、”，可以知道最少5 块，而最多可用6 块（有一块在大立方体的中间，从表面看不到的那块）；图可以，如下左图所示可以看出最少有4块，最多有5 块；图中，最少有9 块黑块，最多有10 块请注意这里从最多角度考虑，所以把最中心的一块算在内，其实这一块从六个方向都看不到；图中，最少有6 块，最多有7 块；4- 4- 1 长方体与正方体题库page 29 of 39图中，当把上下前后四个面染好后，左右两个面是无法染成相同图案的所以图不可以【例67】( 2008 年三帆中学考题) 一个长、宽、高分别为12、9、7 厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央都打一个底面为4 平方厘米的正方形的贯穿洞那么这个

83、长方体剩下部分的体积是立方厘米【解析】 如图，将长方体剩下的部分分割成六块，其中两块都是中间有一个长方体贯穿孔的长方体，另外四块是相同大小的长方体前面两块的体积之和为974122590立方厘米，后面四个长方体的体积之和为9272247022立方厘米，所以原长方体剩下部分的体积为59070660 立方厘米 7912【例68】( 05 年武汉明心杯数学挑战赛) 如图所示，一个555的立方体，在一个方向上开有1 1 5 的孔，在另一个方向上开有2 15 的孔，在第三个方向上开有3 1 5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】 求体积：开了 3 1 5的孔，挖去3 1515 ，开了 1 1

84、 5 的孔，挖去 1 1 514；开了 2 1 5的孔，挖去 2 15(22)6，剩余部分的体积是：5 55(1546)100 ( 另解 ) 将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分外部的表面积为55612138 ，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为2251 51 21 320 、215351 3132 、 2151 51 1214 ，所以总的表面积为4- 4- 1 长方体与正方体题库page 30 of 39138203214204( 另解 ) 运用类似于三视图的方法，记录每一方向上

85、的不同位臵上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30左右方向：40112211121222211211221122112111111222111111211211211222222222221121122总表面积为2323040204 【总结】“切片法”：全面打洞 (例如本题，五层一样) 挖块成线 ( 例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖) 这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【巩固】（2008 年香港保良局第12 届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分请问剩下的部分共

86、有多少个小正方体？第8题【解析】 对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分第1层第2层第3层第4层第5层从图中可以看出，第1、 2、3、4、5 层剩下的小正方体分别有22 个、 11 个、 11 个、 6 个、 22 个，所以总共还剩下22111162272 （个）小正方体【巩固】一个由125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方

87、体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】 解法一： ( 用“容斥原理”来解) 由正面图形抽出的小正方体有5525个，由侧面图形抽出的小正方体有 5525个，由底面图形抽出的小正方体有4520个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 122 1228个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1 3227 个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1 21 1227 个，三个面的图形共同重合抽出的小正方 体 有4 个 根 据 容 斥 原 理 ， 252520877452 ， 所 以 共 抽 出 了52 个 小 正 方体 1255

88、273，所以右图中剩下的小正方体有73 个4- 4- 1 长方体与正方体题库page 31 of 39注意这里的三者共同抽出的小正方体是4 个，必须知道是哪4 块，这是最让人头疼的事但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”这里，化虚为实的思想方法很重要解法二： (用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：从上到下五层，如图：或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即如果挖第二层：第( 1) 步，把中间这些位臵的四块挖走如图：第( 2) 步，把从右向左的两块成线地挖走( 请注意挖通的

89、效果就是成线挖去) ，如图：第( 3) 步，把从前向后的一块( 请注意跟第二层有关的只是一块！) 挖成线！如图：【例69】( 第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体1111ABCDA BC D ( 如图 ) ，大正方体内的对角线1AC ，1BD ，1CA ，1DB 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401 个，问：无色透明小正方体用了多少个? 4- 4- 1 长方体与正方体题库page 32 of 39D1C1B1A1DCBA【解析】1AC 、1BD ，1CA ，1DB ，四条对角线都穿过在正

90、中央的那个小正方体除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过401111014个小正方体这就表明大正方体的每条边由101 个小正方体组成因此大正方体由3101 个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有310140110303014011029900 即用了 1029900 个无色透明的小正方体【例70】（ 2008 年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示） 。已知正方体之边长为12cm ，请问正八面体之体积为多少立方厘米？第4题【解析】 正八面体的体积实际上是上、下两个对称锥体的体积之和容易看出锥体的底面是依次连接一个正方形的各边中点而成的

91、（如右上图），所以也是正方形，且面积是正方体的一个面的一半，即1212272 （平方厘米） ，高是正方体棱长的一半，为6 厘米，所以八面体的体积是：172622883（立方厘米） 【例71】如图 ,已知A、B、 C 分别是相邻的三条棱的中点沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角如果原来的立方体棱长为8，求：切掉的小部分的体积是多少？剩下的大部分的体积是多少？BCA【解析】 本题应用相关体积公式2111244103323VSh锥3185013VV剩锥【例72】（ 2008 年第六届走美决赛六年级）如图， 正方体的棱长为6cm ，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三

92、个顶点形成一个正三角形正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面，它的体积是3cm4- 4- 1 长方体与正方体题库page 33 of 39第9题【解析】 从图中可以看出，夹在六边形与三角形之间的立体图形有2 个底面和6 个侧面（六边形的每一条边对应一个侧面） ，所以共有8个面，由于正方体是关于它的中心成中心对称的，而根据正六边形和正三角形的连法，如果从正方体中去掉以这个正三角形为底面的三棱锥以及与它相对的三棱锥后，剩下的部分正好被六边形分成2 个同样的立体图形，这就是所要求的立体图形所以所要求的立体图形的体积是：3111666266672(cm )232【巩固】如图，原正方体的棱长为12

93、 厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的体积【解析】 倾斜于上下底面的切面，把正方体一分为二被切掉的部分的图形和剩下的部分图形关于正方形的中心是对称的33122864(cm )【例73】如图，是一个正方体，将正方体的A、 C 、B、D四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积. DCBADCBA【解析】 这个正四面体可以看作由正方体切掉A、 C 、B、D四个角后得到的，如图所示：DDDDCBBBBADCCBAAAA4- 4- 1 长方体与正方体题库page 34 of 39所以正四面体的体积1133343332718932. 【例74】(

94、 2005 年第十届华杯赛决赛) 一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积( 如下图所示 ) 和正方体体积的比是多少？【解析】 假设正方体的边长为1，那么每个切去的角( 三棱锥 ) 的体积为211111322248，所以八个角一共切去118486的体积，所以余下的体积是正方体体积的15166，即余下部分的体积与正方体体积的比为 5:6【例75】( 2008 年清华附中试题) 选项中有4 个立方体，其中是用左边图形折成的是( )DCBA【解析】 图中A、 C 、D项展开后的图形均为下图，只有B项展开后的图形与题中

95、左边图形相符，所以答案为B【例76】图 1 是下面的表面展开图甲正方体；乙正方体；丙正方体；甲正方体或丙正方体4- 4- 1 长方体与正方体题库page 35 of 39甲乙丙【解析】 从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从而排除乙故选甲答案为【例77】( 2005 年第十届华杯赛初赛) 图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中， 黄色和绿色的部分都是边长等于 1 的正方形问这个直三棱柱的体积是多少？绿黄111【解析】 将 这个展开图折成直三棱柱形状，如右图所示，可见这个三棱柱是单位正方体的一半，其体积为311122【例78】如图是一个四棱锥的展开图

96、，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？【解析】 知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积将四棱锥沿对角线和顶点构成的平面剖开， 剖面是一个三角形. 该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称性，这条高也等于四棱锥的高. 本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知我们隆重推出“画图建模法”，比如：请注意在一个正方体中如何作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等边三角形围绕一个正方形，得到四棱

97、锥另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半根据小正方形面积是8 推得，大正方形面积是小正方形的2 倍，4- 4- 1 长方体与正方体题库page 36 of 39所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4所以小正方体的棱长为2即四棱锥的高度为2四棱锥的体积为168233立方厘米【例79】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型( 沿虚线折，沿实线粘) 这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？【解析】 多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12 个正方形加8 个三角形，共20 面右上图是多面体上部的示意图共有9 个顶点；同样，下部也是9 个顶点，共18 个顶点棱数要分成三

98、层来数，上层从示意图数，有15 条；下层也是15 条；中间部分为6 条一共15 2+6=36( 条) 总和为： 20+18+36=74( 个) 【例80】（ 2008 年迎春杯六年级初赛）右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中是边长为18 厘米的正方形， 是同样大的等腰直角三角形，是同样大的等边三角形那么，这个容器的容积是毫升【解析】 该容器是一个棱长为18 的立方体割去八个角后(从每条棱的中点)剩下部分的一半即：3311118982430232(毫升 )【例81】如图左边为某个容器的展开图，右边的正六边形是该容器的盖子，该容器所有表面都是正多边形( 正方形、正三角形、正六边形) ，其中正方

99、形的面积为18，那么该容器的容积为多少？4- 4- 1 长方体与正方体题库page 37 of 39【解析】 一般的经验，这种由展开图围成立体图形的题，一种最简单的找到思路的方法是按这样的比例，先描画出平面图，剪一剪，再手工折一折，试一试这种方法可以简称为：实际操作法另外，也可以采用“画图建模法”，这种方法的关键是联系正方体，比如，如何在一个正方体中出现正六边形在此基础上，如何出现正三角形？本题中，该容器可以由一个正方体通过切割雕成，首先连接正方体的六条边的中点，以这六条线段围成的六边形能将正方体切割成相等的两份，再在其中一份上割去4 个三棱锥，即可得到展开图符合条件的立体图形，因为展开图中正

100、方形的面积为18，所以被切割的大正方体的表面的正方形的面积为 18236 ，所以大正方体的边长为6，体积为216该容器的体积为21624(33323)90 【例82】（ 2009 年迎春杯高年级组复赛）右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为的2倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的倍【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：4- 4- 1 长方体与正方体题库page 38 of 39其中左图是以为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以为平面展开

101、图的立体图形，是一个不规则图形，底面是，四个侧面是，两个斜面是对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套对于左图来说， 相当于由一个正方体切去4 个角后得到 ( 如下左图， 切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B ) ；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2 个角后得到( 如下右图，切去1BACB 、1DACD ) D1C1B1A1DCBAABCDA1B1C1

102、D1假设左图中的立方体的棱长为a，右图中的立方体的棱长为b ，则以为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233aaaa ，以为平面展开图的立体图形的体积为3231122233bbbb 由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形的边长，通过将等腰直角三角形分成4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2 倍，即2ba 那么以为平面展开图的立体图形的体积与以为平面展开图的立体图形的体积的比为：33331212:21:163333abaa，也就是说以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形

103、体积的16 倍【例83】图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同请问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形的体积的几倍？图图【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：4- 4- 1 长方体与正方体题库page 39 of 39图图对于这类题目， 一般采用 “套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手我们把图中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图与图的图形位臵的微妙关系：1和图 3一致！60

104、60图图由图可见，图这个立体的体积与图这个被切去了8 个角后的立体图形的体积相等假设立方体的1 条边的长度是1，那么一个角的体积是1111112222348，所以切掉8 个角后的体积是1518486再看图 中的正四面体， 这个正四面体的棱长与图中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为12的立方体来套如果把图的立体图形放入边长为12的立方体里的话是可以放进去的12这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为148，所以图的体积是：1111142224824，那么前者的体积是后者的5120624倍【总结】 在竞赛实战中，有一种方法尤其重要，就是实际操作法本题不妨按图索骥“做”相关模型，就能相对轻松地想到与正方体的关联