排队模型课件

《排队模型课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排队模型课件（118页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章排队论排队现象与排队系统;排队模型与系统参数;排队系统时间参数分布规律;排队系统的生灭过程与状态转移方程;排队系统分析;单服务台负指数分布模型多服务台负指数分布模型排队系统优化分析;11PPT学习交流1、排队现象与排队系统、排队现象与排队系统一、排队现象一、排队现象到达顾客到达顾客 服务内容服务内容 服务机构服务机构病病 人人 诊断诊断/手术手术 医生医生/手术台手术台进港的货船进港的货船 装货装货/卸货卸货 码头泊位码头泊位到港的飞机到港的飞机 降落降落 机场跑道机场跑道电话拨号电话拨号 通话通话 交换台交换台故障机器故障机器 修理修理 修理技工修理技工修理技工修理技工 领取修配零件领

2、取修配零件 仓库管理员仓库管理员上游河水上游河水 入库入库 水闸管理员水闸管理员 22PPT学习交流（1）由于顾客到达和服务时间的）由于顾客到达和服务时间的随机性随机性， 现实中的排队现象几乎不可避免；现实中的排队现象几乎不可避免；（2）排队过程，通常是一个）排队过程，通常是一个随机过程随机过程， 排队论又称排队论又称“随机服务系统理论随机服务系统理论”；33PPT学习交流二、排队系统二、排队系统（一）排队服务过程（一）排队服务过程排队系统排队系统顾客源顾客源排队结构排队结构顾客到来顾客到来排队规则排队规则服务规则服务规则顾客离去顾客离去服务机构服务机构。44PPT学习交流（二）排队系统的要素

3、及其特征（二）排队系统的要素及其特征1、排队系统的要素：、排队系统的要素：（1）顾客输入过程；）顾客输入过程；（2）排队结构与排队规则；）排队结构与排队规则；（3）服务机构与服务规则；）服务机构与服务规则；55PPT学习交流2、排队系统不同要素的主要特征：、排队系统不同要素的主要特征：（1）顾客输入过程顾客输入过程顾客源顾客源(总体总体)：有限有限/无限无限;顾客到达方式：顾客到达方式：逐个逐个/逐批逐批;(仅研究逐个情形仅研究逐个情形)顾客到达间隔：顾客到达间隔：随机型随机型/确定型确定型;顾客前后到达是否独立：顾客前后到达是否独立：相互独立相互独立/相互关联相互关联；输入过程是否平稳：输入

4、过程是否平稳：平稳平稳/非平稳非平稳；(仅研究平稳性仅研究平稳性)顾客到达时刻顾客到达时刻 i相继到达间隔时间相继到达间隔时间ti66PPT学习交流（2）排队结构与排队规则排队结构与排队规则顾客排队方式：顾客排队方式：等待制等待制/即时制即时制(损失制损失制);排队系统容量：排队系统容量：有限制有限制/无限制无限制; 排队队列数目排队队列数目: 单列单列/多列多列;是否中途退出是否中途退出: 允许允许/禁止禁止;是否列间转移是否列间转移: 允许允许/禁止禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形仅研究禁止退出和转移的情形)77PPT学习交流（3）服务机构与服务规则服务机构与服务规则服务台服务台(员员

5、)数目数目;单个单个/多个多个;服务台服务台(员员)排列形式排列形式;并列并列/串列串列/混合混合;服务台服务台(员员)服务方式服务方式;逐个逐个/逐批逐批;(研究逐个情形研究逐个情形)服务时间分布服务时间分布;随机型随机型/确定型确定型;服务时间分布是否平稳服务时间分布是否平稳:平稳平稳/非平稳非平稳;(研究平稳情形研究平稳情形)112c 12c 12c 88PPT学习交流服务台服务台(员员)为顾客服务的顺序为顾客服务的顺序: a)先到先服务先到先服务(FCFS); b)后到先服务后到先服务(LCFS); c)随机服务随机服务; d)优先服务优先服务;99PPT学习交流排队模型与系统参数排队

6、模型与系统参数一、排队模型一、排队模型(一一)排队模型表示方法排队模型表示方法1、D.G.Kendall(1953)表示法表示法 X / Y / Z依据排队系统依据排队系统3个主要特征：个主要特征：（1） X 顾客到达间隔时间分布；顾客到达间隔时间分布；（2） Y 服务台（员）服务时间分布；服务台（员）服务时间分布；（3） Z 服务台（员）个数服务台（员）个数（单个或多个并列）（单个或多个并列）；1010PPT学习交流2、国际排队论标准化会议、国际排队论标准化会议(1971)表示法表示法 X / Y / Z / A / B / C（1） A 系统容量限制；系统容量限制；（2） B 顾客源（总体

7、）数目；顾客源（总体）数目；（3） C 服务规则（服务规则（FCFS，LCFS等）；等）；略去后三项，即指略去后三项，即指 “X/Y/Z/ / /FCFS”；这里仅研究这里仅研究FCFS的情形；的情形；1111PPT学习交流(二二)到达间隔和服务时间典型分布到达间隔和服务时间典型分布（1） 泊松分布泊松分布 M ；（2） 负指数分布负指数分布 M ；（3） k阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布 Ek；（4） 确定型分布确定型分布 D；（5） 一般服务时间分布一般服务时间分布 G；M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1；M/M/c， M/M/c/ /m， M/M/c/N/ ，。，。(三三)排队模型示例排

8、队模型示例1212PPT学习交流二、系统参数二、系统参数(一一)系统运行状态参数系统运行状态参数1、系统状态、系统状态 N(t) 指排队系统在时刻指排队系统在时刻t时的全部顾客数时的全部顾客数 N(t)， 包括包括“排队顾客数排队顾客数”和和“正被服务顾客数正被服务顾客数”； 系统状态的可能值如下：系统状态的可能值如下：（1）系统容量无限制，）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，; (2) 系统容量为系统容量为N时时, N(t) =0,1,2,N; (3) 服务台个数为服务台个数为c/损失制损失制, N(t) =0,1,2,c;一般一般,系统状态系统状态N(t)是随机的。是随机的。131

9、3PPT学习交流2、系统状态概率、系统状态概率： (1)瞬态概率瞬态概率Pn(t) 表示时刻系统状态表示时刻系统状态 N(t)=n 的概率的概率; (2) 稳态概率稳态概率Pn Pn= Pn(t) ; 一般，排队系统运行了一定长的时一般，排队系统运行了一定长的时 间后，系统状态的概率分布不再随时间间后，系统状态的概率分布不再随时间 t变化，即初始时刻（变化，即初始时刻（t=0）系统状态的系统状态的 概率分布概率分布(Pn(0) ，n0）的影响将消失。的影响将消失。1414PPT学习交流(二二)系统运行指标参数系统运行指标参数 评价排队系统的优劣。评价排队系统的优劣。1、队长与排队长、队长与排队

10、长 (1)队长队长: 系统中的顾客数（系统中的顾客数（n）；）； 期望值期望值 Ls= n*Pn (2)排队长排队长: 系统中排队等待服务的顾客数系统中排队等待服务的顾客数; 期望值期望值 Lq = Lq= Ls-正被服务的顾客数正被服务的顾客数1515PPT学习交流2、逗留时间与等待时间、逗留时间与等待时间 (1)逗留时间逗留时间: 指一个顾客在系统中的全部停留时间指一个顾客在系统中的全部停留时间； 期望值，记为期望值，记为 Ws (2)等待时间等待时间: 指一个顾客在系统中的排队等待时间；指一个顾客在系统中的排队等待时间； 期望值，记为期望值，记为 WqWs = Wq + E服务时间服务时

11、间1616PPT学习交流3、其他相关指标、其他相关指标 (1)忙忙 期期: 指从顾客到达空闲服务机构起到服务指从顾客到达空闲服务机构起到服务 机构再次空闲的时间长度；机构再次空闲的时间长度； (2)忙期服务量：忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；服务的顾客数； (3)损失率损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率；而离去的概率； (4)服务强度：服务强度： = /c ；1717PPT学习交流3、 排队系统时间参数分布规律排队系统时间参数分布规律一、顾客到达时间间隔分布一、顾客到达时间间隔分布 (一一)泊松流与泊

12、松分布泊松流与泊松分布如果顾客到达满足如下条件如果顾客到达满足如下条件,则称为则称为泊松流泊松流: (1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数 相互独立相互独立(无后效性无后效性). (2) 对于充分小的时间间隔对于充分小的时间间隔 内，到达内，到达 1个顾客的概率与个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔无关，仅与时间间隔 成正比成正比 (平稳性平稳性)： (3) 对于充分小的时间间隔对于充分小的时间间隔 ，2个及以个及以 上顾客到达的概率可忽略不计上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性普通性)。1818PPT学习交流对泊松流，在时间t系统内有n个顾客的概率服从

13、如下泊松分布EN(t)=t;VarN(t)=t;单位时间平均到达的顾客数；1919PPT学习交流若顾客到达间隔T的概率密度为则称T服从负指数分布，分布函数如下：若顾客流是泊松流时，顾客到达的时间间隔显然服从上述负指数分布(WHY);ET=1/;VarT=1/2;T=1/(二二)泊松流到达间隔服从负指数分布泊松流到达间隔服从负指数分布2020PPT学习交流二、顾客服务时间分布二、顾客服务时间分布 (一一)负指数分布负指数分布 (1) 对一个顾客的服务时间对一个顾客的服务时间Ts，等价于相邻两个顾客等价于相邻两个顾客离开排队系统的时间间隔。若离开排队系统的时间间隔。若Ts服从负指数分布，服从负指数

14、分布，其概率密度和分布函数分别为其概率密度和分布函数分别为 则则 ETs=1/ ; Var Ts=1/ 2 ; Ts=1/ (2) ETs=1/ ：每个顾客的平均每个顾客的平均(期望期望)服务时间；服务时间； :单位时间服务的顾客数，平均单位时间服务的顾客数，平均(期望期望)服务率；服务率；2121PPT学习交流(二二)爱尔朗爱尔朗(Erlang)分布分布 (1) 设设v1,v2,vk是是k个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,服从服从相同参数相同参数1/ k的负指数分布的负指数分布,则则:T= v1+v2+vk的的概率密度为概率密度为 称称T服从服从k阶爱尔朗分布。阶爱尔朗分布。 (2)

15、 ET=1/ ; Var T=1/( k2) (3) T的意义之一的意义之一: k个串联服务台的总服务时间！个串联服务台的总服务时间！2222PPT学习交流4 、排队系统的生灭过程与状态转移方程、排队系统的生灭过程与状态转移方程一、排队系统的生灭过程一、排队系统的生灭过程(一一)生灭过程的背景与定义生灭过程的背景与定义 设某系统具有状态集设某系统具有状态集S=0,1,2,或或S=0,1,2,k,N(t)表示系统在时刻表示系统在时刻 t (t=0) 的状态。的状态。 若在若在N(t)=n的条件下，随机过程的条件下，随机过程N(t),t=0满足满足以下条件以下条件: (1) N(t+ t)转移到转

16、移到“n+1”的概率为的概率为n( t ) ; (2) N(t+ t)转移到转移到“n-1”的概率为的概率为n( t ) ; (3) N(t+ t)转移到转移到其他状态其他状态“S-n+1,n-1”的概的概 率为率为o( t )(高阶无穷小高阶无穷小) ; 则称则称随机过程随机过程N(t),t=0为生灭过程。为生灭过程。n ，n ， t ( ？)2323PPT学习交流(二二)生灭过程状态变化的性质生灭过程状态变化的性质 (1) 在无穷小在无穷小 t内内,系统或生长系统或生长1个个;或灭亡或灭亡1个个;或既或既 不生长又不灭亡不生长又不灭亡（概率概率:1- n( t ) -n( t ) ）; (

17、2)系统生长一个的概率系统生长一个的概率n( t )与与 t有关，而与有关，而与t无无 关关; 与系统当前状态与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；有关，而与以前的状态无关； (3)系统灭亡一个的概率系统灭亡一个的概率n( t )与与 t有关，而与有关，而与t无无 关关; 与系统当前状态与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；有关，而与以前的状态无关；马尔可夫性质马尔可夫性质2424PPT学习交流(三三) 排队系统的生灭过程排队系统的生灭过程顾客到达“生”；顾客离开“灭”顾客到达顾客到达顾客离去顾客离去n ， n ，(1)生灭过程示意生灭过程示意2525PPT学习交流 若排队系统具有下列

18、性质若排队系统具有下列性质: (1) 顾客到达为泊松流，时间间隔服从参顾客到达为泊松流，时间间隔服从参 数为数为n的负指数分布的负指数分布; (2) 顾客服务时间服从参数为顾客服务时间服从参数为 n的负指的负指 数分布数分布; 则排队系统的随机过程则排队系统的随机过程N(t),t=0具有具有马马 尔可夫性质尔可夫性质, 为为一个生灭过程一个生灭过程.(2)生灭过程定义生灭过程定义2626PPT学习交流二、排队系统的状态转移方程二、排队系统的状态转移方程(一一) 排队系统状态的概率及其分布排队系统状态的概率及其分布 (1)瞬态概率瞬态概率Pn(t) 表示时刻系统状态表示时刻系统状态N(t)=n的

19、概率的概率; (2) 稳态概率稳态概率Pn Pn= Pn(t) ; 一般，稳态概率一般，稳态概率Pn的分布，是分析计算的分布，是分析计算排队系统运行优劣的基础。排队系统运行优劣的基础。2727PPT学习交流(二二) 排队系统状态概率的微分差分方程排队系统状态概率的微分差分方程推导过程：推导过程：P 323求解可得瞬态概率求解可得瞬态概率Pn(t) 2828PPT学习交流(三三) 排队系统状态转移方程排队系统状态转移方程求解可得稳态概率求解可得稳态概率Pn令令则则排队系统状态转移方程排队系统状态转移方程2929PPT学习交流(四四) 排队系统状态转移图排队系统状态转移图在任意状态在任意状态n达到

20、稳态平衡的条件：达到稳态平衡的条件： 产生该状态的平均速率产生该状态的平均速率 =该状态转变成其他状态的平均速率该状态转变成其他状态的平均速率 （流入（流入=流出）流出）3030PPT学习交流3131PPT学习交流3232PPT学习交流3333PPT学习交流3434PPT学习交流3535PPT学习交流3737PPT学习交流对一般排队系统，均有下式成立其中有效到达率为四、四、 排队系统性能参数的一般关系排队系统性能参数的一般关系 Little 公式公式3838PPT学习交流39G/G/1G/G/1和和G/G/cG/G/c队列队列单位时间个客户到达，一个服务器单位时间能够服务个客户，客户到达时间间

21、隔和服务时间任意分布，1个或者c个服务器，无限等待位。G/G/1或者G/G/c。定义1：客户不断累积，越来越多1：排队系统达到平稳态，系统不随时间变化=1：除非客户到达和离开时间固定且匹配，否则无稳态。3939PPT学习交流40一些定义4040PPT学习交流41Little等式(Littleslaw)Little等式（Littlesformula）系统规模=客户达到率客户在系统中消耗时间“系统”可以是整个排队系统，也可以是一个队列对于队列，这个结果适用于排队模型，与客户到达模式和服务模式无关！4141PPT学习交流单服务器G/G/1排队系统客户在系统时间=排队时间+服务时间正在接受服务的客户数

22、同时，服务器繁忙的概率为pb=1-p0=/（P0无顾客概率）42单服务器，稳态下/不可能大于1。4242PPT学习交流43多服务器G/G/c排队系统每台服务器繁忙的概率为pb=/c共c个服务器，平均/个客户接受服务，平均每个服务器/c个客户，或者单位时间中/c服务器繁忙/很重要。定义=/为一个排队系统的提交提交负载（offeredload）(服服务强强度度)：服务器完成一个客户服务的时间平均到达的客户数量4343PPT学习交流444444PPT学习交流例：某快餐店在高峰时每小时到达40位客人，每个客人平均在柜台用5.5分钟点餐。至少需要设置多少个柜台？每小时到达40位客人，假设有c个柜台，则柜

23、台繁忙概率/c=40/c(60/5.5)405.5/60，客人才不至于在柜台累积c至少为4454545PPT学习交流46例某公司安排接线员接听顾客电话。由于人手不够，顾客必须等待才能被接听。公司希望顾客平均等待时间为75秒，估计每分钟打进3个客户电话。问需要多少线路用于保持电话等待？Wq=Lq，Lq=375/60=3.75，需要4条线路4646PPT学习交流47例考虑一个M/G/1/K排队系统，其阻塞概率为pK=0.1，并且=1，L=5。计算eff，W，Wq，p0和eff。4747PPT学习交流生灭过程（Birth-and-deathprocess）考虑一个群体（比如，海岛上的海鸟群），群体数

24、量取决于两种事件，出生和死亡。当群体个数为n时，n表示此时的出生率，即在一小段时间h，出生一个个体的概率为nh+o(h)；n表示此时的死亡率，即在一小段时间h，死亡一个个体的概率为nh+o(h)。这个群体可以用一个生灭过程来描述。484848PPT学习交流定义：考虑一个连续参数的离散随机过程X(t):t0，取值空间为0,1,2,.。如果X(t)=n，则称这个随机过程描述的系统在时间t处于状态En，n=0，1，2，.。如果出生速率n和死亡速率n满足以下条件，则称这个随机过程为生灭过程。1.状态转移只能EnEn+1，n=0，1，2，.。2.如果在时间t系统位于状态En，则在一小段时间t,t+h)发

25、生状态转移EnEn+1的概率是nh+o(h)。3.如果在时间t系统位于状态En，则在一小段时间t,t+h)发生状态转移EnEn-1的概率是nh+o(h)。4.如果在时间t系统位于状态En，则在一小段时间t,t+h)发生其它转移的概率o(h)。494949PPT学习交流令Pn(t)=PX(t)=n在时间t+h，系统仍然在状态En的概率Pn(t+h)，有四种情况在时间t系统位于状态En，t,t+h)状态没有发生改变在时间t系统位于状态En-1，t,t+h)发生一个出生事件在时间t系统位于状态En+1，t,t+h)发生一个死亡事件在时间t系统位于上述状态以外的状态505050PPT学习交流情况1发生

26、的概率情况2发生的概率情况3发生的概率情况4发生的概率综合4种情况515151PPT学习交流整理取h0对n1当n=0初始条件，t=0时，系统位于状态Ei，所有n=0，称为纯生过程，“人口爆炸”如果纯生过程n=，即为泊松过程所有n=0，称为纯灭过程，“种群消亡”525252PPT学习交流稳态生灭过程当t，系统状态Pn(t)不随时间改变。称这种状态为稳态（Stationary或者steady-state）记，稳态下稳态下对任意一个状态，“进入该状态的概率=退出该状态的概率”535353PPT学习交流对状态0，对其它任意一个状态i，解线性方程组可得稳态生灭过程各状态概率当有无限个状态，生灭过程的稳态

27、解为生灭过程有稳态解的必要和充分条件为545454PPT学习交流例一个单服务器排队系统，无等待位。假设客户到达是一个速率为的泊松过程，服务器服务时间服从指数分布，服务速率为，即单位时间服务1/个客户。求解：没有等待位，系统只有两个状态，“0”和“1”根据生灭过程方程555555PPT学习交流解微分方程稳态，t。直接求解稳态，用“流入=流出”计算稳态状态概率565656PPT学习交流57例 考虑一个单服务器的生灭过程系统中。系统只能够容纳3个客户，到达速率(012)=(3,2,1)，服务（死亡）速率为(123)=(1,2,2)。计算稳态下各状态概率，并计算有效到达速率和客户等待时间W求解生灭过程

28、(p0,p1,p2,p4)=(0.117647,0.352941,0.352941,0.176471)5757PPT学习交流无限源的排队系统无限源的排队系统假定假定顾客来源是无限的顾客来源是无限的，顾客到达间隔时间服从负指顾客到达间隔时间服从负指数分布且不同的到达间隔时间相互独立数分布且不同的到达间隔时间相互独立，每个服务台每个服务台服务一个顾客的时间服从负指数分布，服务一个顾客的时间服从负指数分布，服务台的服务服务台的服务时间相互独立，服务时间与间隔时间相互独立。时间相互独立，服务时间与间隔时间相互独立。1 1 M MM M1 1 系统系统设顾客流是参数为设顾客流是参数为的最简单流，的最简单

29、流，是单位时间内是单位时间内平均的顾客人数只有一个服务台，服务一个顾客的服平均的顾客人数只有一个服务台，服务一个顾客的服务时间务时间服从参数为服从参数为的负指数分布平均服务时间的负指数分布平均服务时间为记为记在服务台忙时，单位时间平均服务在服务台忙时，单位时间平均服务5858PPT学习交流完的顾客数为完的顾客数为称称为服务强度为服务强度 用用N(t)表示在时刻表示在时刻t顾客在系统中的数量顾客在系统中的数量(包括等待服包括等待服务的和正在接受服务的顾客务的和正在接受服务的顾客)证明系统证明系统组成生灭过程组成生灭过程由于顾客的到达是最简单流，参数由于顾客的到达是最简单流，参数 在长度为在长度为

30、的时间内的时间内有一个顾客到达的概率为有一个顾客到达的概率为5959PPT学习交流没有顾客到达的概率为没有顾客到达的概率为到达到达2个或个或2个以上顾客的概率为个以上顾客的概率为 在在服务台忙时服务台忙时(总认为只要系统内有顾客，服务员就总认为只要系统内有顾客，服务员就得进行服务得进行服务)，顾客接受服务完毕离开系统的间隔时间为顾客接受服务完毕离开系统的间隔时间为6060PPT学习交流独立的、参数为独立的、参数为的负指数分布所以的负指数分布所以在系统忙时，输在系统忙时，输出过程为一最简单流出过程为一最简单流，参数为，参数为，于是当系统忙时，在于是当系统忙时，在时间区间内时间区间内1个顾客被服务

31、完的概率为个顾客被服务完的概率为没有顾客被服务完的概率为没有顾客被服务完的概率为两个或两个或两个以上顾客被服务完的概率为两个以上顾客被服务完的概率为且且顾客数无关，与微小时问区间的起点无关顾客数无关，与微小时问区间的起点无关与系统的与系统的对任意给定的对任意给定的微小增量微小增量假设假设先考虑先考虑ji十十1的情况，的情况， 当当时时P 时间内恰好到达时间内恰好到达1个顾客而没个顾客而没有顾客被服务完或恰好有有顾客被服务完或恰好有k个顾客到个顾客到达并且达并且k -1个顾客被服务完，个顾客被服务完，6161PPT学习交流p 时间内恰好到达时间内恰好到达1个顾客而没有顾客被服务完个顾客而没有顾客

32、被服务完 十十 时间内到达时间内到达k个顾客而服务完个顾客而服务完k -1个顾客，个顾客，当当i0 时时6262PPT学习交流6363PPT学习交流由以上结果，可知由以上结果，可知是一生灭过程，并且是一生灭过程，并且由生灭过程求平稳解公式，得由生灭过程求平稳解公式，得由假设由假设则则从而平从而平稳分布稳分布为为6464PPT学习交流服务台空闲的概率，而服务台空闲的概率，而是排队系统中没有顾客的概率，也就是是排队系统中没有顾客的概率，也就是恰好是服务台忙的概率。恰好是服务台忙的概率。 利用平稳分布可以求统计平衡条件下的利用平稳分布可以求统计平衡条件下的平均队长平均队长L、平均等待队长平均等待队长

33、Lq、顾客的平均等待时间顾客的平均等待时间Wq平均逗留时间平均逗留时间W等等用用N表示在统计平稳下系统的顾客数，表示在统计平稳下系统的顾客数，平均队长平均队长L是是N的数学期望的数学期望6565PPT学习交流 用用Nq表示在统计平衡时，排队等待的顾客数表示在统计平衡时，排队等待的顾客数，它的数，它的数学期望学期望LqE(Nq)就是在等待服务的平均顾客人数就是在等待服务的平均顾客人数 现在来现在来求平均等待时间求平均等待时间Wq，当一个顾客进入系统时，当一个顾客进入系统时，系统中已有系统中已有n个顾客的概率为个顾客的概率为 pn，每个顾客的平均服务时，每个顾客的平均服务时间为间为所以他平均等待时

34、间为所以他平均等待时间为因此因此6666PPT学习交流 再求顾客的再求顾客的平均逗留时间平均逗留时间(平均等待时间再加上平均平均等待时间再加上平均服务时间服务时间)W 例例7.2.1 某火车站的售票处设有一个窗口若购票者某火车站的售票处设有一个窗口若购票者是以最简单流到达，平均每分钟到达是以最简单流到达，平均每分钟到达1人，假定售票时间人，假定售票时间服从负指数分布，平均每分钟可服务服从负指数分布，平均每分钟可服务2人，试研究售票窗人，试研究售票窗口前排队情况口前排队情况解解 由题设由题设(人分人分)，(人分人分)，6767PPT学习交流平均队长平均队长(人人)平均等待队长平均等待队长人人)平

35、均等待时间平均等待时间(分分)平均逗留时间平均逗留时间(分分)超过超过5人的概率为人的概率为顾客不需要等待的概率为顾客不需要等待的概率为等待的顾客人数等待的顾客人数6868PPT学习交流 例例7.2.2 在某工地卸货台装卸设备的设计方案中，有在某工地卸货台装卸设备的设计方案中，有三个方案可供选择，分别记作甲、乙、丙。目的是三个方案可供选择，分别记作甲、乙、丙。目的是选取选取使总费用最小的方案使总费用最小的方案，有关费用，有关费用(损失损失)如下表所示：如下表所示：方案方案每天固每天固定费用定费用每天可变操每天可变操作费作费(元元)每小时平均每小时平均装卸袋数装卸袋数甲甲乙乙丙丙10013025

36、01001502001000200060006969PPT学习交流 设设货车按最简单流到达，平均每天货车按最简单流到达，平均每天(按按10小时计算小时计算)到到达达15车，每车平均装货车，每车平均装货500袋袋，卸货时间服从负指数分布卸货时间服从负指数分布每辆车停留每辆车停留1小时的损失为小时的损失为10元元于方案于方案解解 平均到达率平均到达率车小时，车小时，服务率服务率依赖依赖由由(7.2.6)，1 辆车在系统内平均停留时间为辆车在系统内平均停留时间为7070PPT学习交流 每天货车在系统停留的平均损失费为每天货车在系统停留的平均损失费为W(平均停留时间平均停留时间)1015(总车辆总车辆

37、)，每天的实际可变费用每天的实际可变费用(如燃料费等如燃料费等)为为(可变操作费天可变操作费天)设备忙的概率设备忙的概率cp (元天元天)而而所以每个方案的费用综合如下表所示所以每个方案的费用综合如下表所示7171PPT学习交流从上表知从上表知方案乙的总费用最省。方案乙的总费用最省。 例例7.2.3 要购置计算机，有两种方案甲方案是购进要购置计算机，有两种方案甲方案是购进一大型计算机，乙方案是购置一大型计算机，乙方案是购置n台小型计算机每台小型台小型计算机每台小型计算机是大型计算机处理能力的计算机是大型计算机处理能力的1/ n 倍设要求上机的题倍设要求上机的题从平均逗留时间、等待时间看，应该选

38、择哪一个方案从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案目是参数为目是参数为的最简单流，大型计算机与小型计算机计的最简单流，大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布，大型计算机的参数是算题目的时间是负指数分布，大型计算机的参数是试试解解 设设按甲方案，购大型计算机按甲方案，购大型计算机平均等待时间平均等待时间平均逗留时间平均逗留时间按乙方案，购按乙方案，购n台小型计算机，每台小计算机的题目台小型计算机，每台小计算机的题目7272PPT学习交流到达率为到达率为服务率为服务率为平均等平均等待时间待时间平均逗平均逗留时间留时间所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应所以只是从平均等待时

39、间，平均逗留时间考虑，应该该购置大型计算机购置大型计算机例例7.2.4 设船到码头，在港口设船到码头，在港口停留单位时间损失停留单位时间损失cI元元，进港船只是最简单流，参数为进港船只是最简单流，参数为，装卸时间服从参数为，装卸时间服从参数为的负指数分布的负指数分布，服务费用为服务费用为是一个正常数是一个正常数元元，7373PPT学习交流求使求使整个系统总费用损失最小的服务率整个系统总费用损失最小的服务率解解 因为平均队长因为平均队长的损失费的损失费为为所以船在港口所以船在港口停留停留服务费用为服务费用为因此因此总费用总费用为为使使F达到最小，先求达到最小，先求F的导数的导数求求让让解出解出因

40、为因为7474PPT学习交流最优服务率是最优服务率是当当时时 平均队长平均队长L、平均等待队长、平均等待队长Lq、平均逗留时间、平均逗留时间W、平、平均等待时间均等待时间Wq是排队系统的重要特征是排队系统的重要特征这些指标反映了这些指标反映了排队系统的服务质量，是顾客及排队系统设计者关心的几排队系统的服务质量，是顾客及排队系统设计者关心的几个指标个指标由由(7.2.3)到到(7.2.6)的公式，得到这四个指标之间的公式，得到这四个指标之间的关系的关系(7.2.8)7575PPT学习交流 这两组关系式，可以作这样直观解释：当系统内有顾这两组关系式，可以作这样直观解释：当系统内有顾客时，平均等待队

41、长客时，平均等待队长Lq应该是平均队长应该是平均队长L减减1，当系统内没，当系统内没有顾客时，平均等待队长有顾客时，平均等待队长Lq与平均队长与平均队长L相等相等，所以，所以单位时间内平均进入系统的顾客为单位时间内平均进入系统的顾客为个个 每个顾客在系每个顾客在系Wq个顾客在等待服务个顾客在等待服务统内平均逗留统内平均逗留W单位时间因此系统内平均有单位时间因此系统内平均有W个顾客个顾客同样理由，系统内平均有同样理由，系统内平均有(7.2.8)式在更一般的系统也成立，通常称为式在更一般的系统也成立，通常称为Little公式公式2 MM1k系统系统 有些系统容纳顾客的数量是有限制的有些系统容纳顾客

42、的数量是有限制的例如候诊室只例如候诊室只能容纳能容纳 k个就医者第个就医者第k十十1个顾客到来后，看到候诊室已个顾客到来后，看到候诊室已经坐满了，就自动离开，不参加排队经坐满了，就自动离开，不参加排队7676PPT学习交流共有共有k个位置可供进入系统的顾客占用个位置可供进入系统的顾客占用，一旦，一旦k个位置已被个位置已被顾客占用顾客占用(包括等待服务和接受服务的顾客包括等待服务和接受服务的顾客)，新到的顾客，新到的顾客就自动离开服务系统永不再回来如果系统中有空位置，就自动离开服务系统永不再回来如果系统中有空位置，新到的顾客就进入系统排队等待服务，服务完后离开系统新到的顾客就进入系统排队等待服务

43、，服务完后离开系统假定一个假定一个排队系统排队系统有有一个服务台一个服务台，服务时间是负指数服务时间是负指数分布，参数是分布，参数是顾客以最简单流到达，参数为顾客以最简单流到达，参数为系统中系统中 用用N(t)表示时刻表示时刻t系统中的顾客数系统中的顾客数，系统的，系统的状态集合状态集合为为S0，1，2，-k与与MM1的证明方法一的证明方法一样，可以证明样，可以证明是个有限生灭过程，且有是个有限生灭过程，且有7777PPT学习交流平均队长平均队长分两种情况：分两种情况：7878PPT学习交流时，时，时，时，7979PPT学习交流平均等待队长平均等待队长 pk是个重要的量，它称为损失概率，是个重

44、要的量，它称为损失概率，即当系统中有即当系统中有k个顾个顾客时，新到的顾客就不能进入系统客时，新到的顾客就不能进入系统单位时间平均损失的单位时间平均损失的顾客数为顾客数为单位时间内平均真正进入系统的顾客数为单位时间内平均真正进入系统的顾客数为8080PPT学习交流由由Little公式，可以求得公式，可以求得平均逗留时间、平均等待时间平均逗留时间、平均等待时间8181PPT学习交流平均服务强度平均服务强度这是实际服务强度，就是服务台正在为顾客服务的概率这是实际服务强度，就是服务台正在为顾客服务的概率而而不是服务强度，因为有一部分不是服务强度，因为有一部分顾客失掉了。顾客失掉了。 例例7.2.5

45、一个理发店只有一个理发师，有一个理发店只有一个理发师，有3个空椅供等个空椅供等待理发的人使用设顾客以最简单流来到，平均每小时待理发的人使用设顾客以最简单流来到，平均每小时5人理发师的理发时间服从负指数分布，平均每小时人理发师的理发时间服从负指数分布，平均每小时6人人.试求试求L，Lq，W，Wq解解 5(人小时人小时)， 6(人小时人小时)k4，8282PPT学习交流用公式用公式(7.2.10)，(7.2.11)，(7.2.12)，(7.2.13)得到得到8383PPT学习交流例例7.2.6 给定一个给定一个MM1/ k 系统，具有系统，具有10(人小时人小时)，30(人小时人小时)， k2管理

46、者想改进管理者想改进服务机构服务机构方案甲是增加等待空间，使方案甲是增加等待空间，使k3方案乙是将方案乙是将平均服务率提高平均服务率提高40(人小时人小时)设服务每个顾客的设服务每个顾客的平均收益不变问哪个方案获得更大收益，当平均收益不变问哪个方案获得更大收益，当增加到增加到每小时每小时30人，又将有什么结果人，又将有什么结果 ? 解解 由于服务每个顾客的平均收益不变，因此服务机由于服务每个顾客的平均收益不变，因此服务机构构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数nk成正比成正比(注意，不考虑成本注意，不考虑成本)方案甲：方案甲：k384

47、84PPT学习交流方案乙：方案乙：k2因此扩大等待空间收益更大因此扩大等待空间收益更大当当增加到增加到30人小时时，人小时时，这时方案甲有这时方案甲有8585PPT学习交流而方案乙是把而方案乙是把提高到提高到40人小时人小时30(人小时人小时)时，时，提高服务效益的收益比提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大扩大等待空间的收益大所以当所以当3 MMc系统系统 现在来讨论多个服务台情况现在来讨论多个服务台情况假设系统有假设系统有c个服务台，个服务台，顾客到达时，若有空闲的服务台便立刻接受服务若没有顾客到达时，若有空闲的服务台便立刻接受服务若没有空闲的服务台，则排队等待，空闲的服务台，则排队等待

48、，等到有空闲服务台时再接受等到有空闲服务台时再接受服务与以前一样，假设顾客以最简单流到达，参数为服务与以前一样，假设顾客以最简单流到达，参数为服务台相互独立，服务时间都服从参数为服务台相互独立，服务时间都服从参数为的负指的负指8686PPT学习交流数分布数分布当当系统中顾客人数系统中顾客人数时，时，这些顾客都正在接受这些顾客都正在接受服务，服务时间服从参数为服务，服务时间服从参数为的的负指数分布负指数分布可以证明可以证明顾客的输出是参数为顾客的输出是参数为n的最简单流的最简单流如果如果nc，那么，那么只有只有 c 个顾客正在接受服务其余在排队，个顾客正在接受服务其余在排队，顾客的输出顾客的输出

49、服从参数为服从参数为的最简单流的最简单流用用N(t)表示表示 t 时刻排队系统内顾客人数与时刻排队系统内顾客人数与的推导方法类似，可以证明的推导方法类似，可以证明也是一个生灭也是一个生灭过程。过程。8787PPT学习交流由由(7.1.3)得到得到8888PPT学习交流先计算先计算平均等待队长平均等待队长Lq，只有系统的顾客数只有系统的顾客数时，才有时，才有n - c个顾客在排队等待服务。个顾客在排队等待服务。所以所以8989PPT学习交流平均忙的服务台数为平均忙的服务台数为9090PPT学习交流平均逗留的顾客人数为平均逗留的顾客人数为平均等待时间为平均等待时间为平均逗留时间为平均逗留时间为91

50、91PPT学习交流 例例7.2.7 一个大型露天矿山，考虑建设矿石卸矿场，一个大型露天矿山，考虑建设矿石卸矿场，是建一个好呢是建一个好呢 ? 还是建两个好估计矿车按最简单流到达，还是建两个好估计矿车按最简单流到达，平均每小时到达平均每小时到达15 辆，卸车时间也服从负指数分布，平辆，卸车时间也服从负指数分布，平均卸车时间是均卸车时间是3分钟，每辆卡车售价分钟，每辆卡车售价8万元，建设第二个卸万元，建设第二个卸矿场需要投资矿场需要投资14万元万元解解平均服务率平均服务率 20(辆小时辆小时)平均到达率平均到达率 15(辆小时辆小时)在卸矿场停留的平均矿车数在卸矿场停留的平均矿车数建两个卸矿场的情

51、况：建两个卸矿场的情况：9292PPT学习交流p0 因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为：因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为：3一一0.872.13 辆就是相当于平均增加辆就是相当于平均增加 2.13 辆矿车运矿辆矿车运矿石而每辆卡车的价格为石而每辆卡车的价格为8万元，所以相当于增加万元，所以相当于增加2.13817.04万元的设备。建第二个卸矿场的投资为万元的设备。建第二个卸矿场的投资为14万元，万元，所以建两个卸矿场是合适的所以建两个卸矿场是合适的例例7.2.8 有一个有一个系统，假定每个顾客在系统，假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为系统停留单位时间的损失费用为c

52、1元，每个服务设备单位元，每个服务设备单位时间的单位服务率成本为时间的单位服务率成本为c2元要求建立几个服务台才能元要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小使系统单位时间平均总损失费用最小解解 单位时间平均损失费为单位时间平均损失费为9393PPT学习交流要求使要求使F达到最小的正整数解达到最小的正整数解c*通常用边际分析法：找通常用边际分析法：找正整数正整数c*，使其满足，使其满足由由得到得到所以所以同样，由同样，由得到得到9494PPT学习交流因此因此c*必须满足不等式必须满足不等式取取c1，2，-，计算，计算L( c) -L( c+1)之差，若之差，若落在落在之间，之间，c

53、*就是最优解就是最优解 例例7.2.9 某公司中心实验室为各工厂服务设做试验某公司中心实验室为各工厂服务设做试验的人数按最简单流到来平均每天的人数按最简单流到来平均每天48(人次天人次天)，c16(元元)作试验时间服从负指数分布，平均服务率为作试验时间服从负指数分布，平均服务率为25(人次天人次天)，c24(元元)求最优试验设备求最优试验设备c*，使系统，使系统总费用为最小总费用为最小解解 48(人次天人次天) 25(人次天人次天)9595PPT学习交流按按MMc计算计算p0，L(c)等等(注意以下公式只对注意以下公式只对成立成立)将计算结果列成下表将计算结果列成下表9696PPT学习交流所以

54、取所以取c*3，总费用最小。，总费用最小。9797PPT学习交流有限源排队系统有限源排队系统 对于顾客来源是个有限集合的随机服务系统如果一个对于顾客来源是个有限集合的随机服务系统如果一个顾客加入排队系统，这个有限集合的元素就少一个当一顾客加入排队系统，这个有限集合的元素就少一个当一个顾客接受服务结束，就立刻回到这个有限集合中去这个顾客接受服务结束，就立刻回到这个有限集合中去这类排队系统主要应用在机器维修问题上，有限集合是某单类排队系统主要应用在机器维修问题上，有限集合是某单位的机器总数，顾客是出故障的机器，服务台是维修工。位的机器总数，顾客是出故障的机器，服务台是维修工。1 MMcmm 系统系

55、统工人就去维修，修好以后，继续运转如果维修工都在维工人就去维修，修好以后，继续运转如果维修工都在维修机器，那么出故障的机器就停在那里等待修理进入系修机器，那么出故障的机器就停在那里等待修理进入系统的顾客是等待修理和正在维修的机器服务台是维修工。统的顾客是等待修理和正在维修的机器服务台是维修工。用机器及维修工来代替顾客及服务台的名称假用机器及维修工来代替顾客及服务台的名称假定有定有c个维修工共同看管个维修工共同看管台机器机器出故障后台机器机器出故障后9898PPT学习交流同一负指数分布，平均修复时间为同一负指数分布，平均修复时间为设每台机器的连续运转时间服从同参数的负指数分布，设每台机器的连续运

56、转时间服从同参数的负指数分布，每台机器平均运转时间为每台机器平均运转时间为这说明一台机器单位运转这说明一台机器单位运转时间内出故障的平均次数为时间内出故障的平均次数为维修工的维修时间都服从维修工的维修时间都服从 用用N(t)表示表示 t 在系统的机器数在系统的机器数(正在接受维修和等待维正在接受维修和等待维修的机器修的机器)这时输入与系统的状态有关当系统有这时输入与系统的状态有关当系统有n台停台停止运转的机器时，正在运转的机器数为止运转的机器时，正在运转的机器数为m -n，单位时间，单位时间内平均出故障的次数为内平均出故障的次数为(m - n)输出情况与输出情况与MMc相同，所以参数为相同，所

57、以参数为9999PPT学习交流由生灭过程求平稳解的公式，由生灭过程求平稳解的公式，不难验证不难验证仍为一生灭过程，其状态空仍为一生灭过程，其状态空间为间为得到得到现在来求排队系统的几个数量指标现在来求排队系统的几个数量指标100100PPT学习交流平均发生故障的机器数平均发生故障的机器数平均等待维修的机器数平均等待维修的机器数平均正在工作的维修工人数平均正在工作的维修工人数平均运行的机器数平均运行的机器数101101PPT学习交流 这公式是很容易理解的所有的机器这公式是很容易理解的所有的机器 m 分成三类：分成三类：正在运行的正在运行的a，正在维修的，正在维修的c，等待维修的，等待维修的Lq在

58、统计平衡条件下单位时间发生故障的平均次数为在统计平衡条件下单位时间发生故障的平均次数为 即单位时间平均发生故障的机器数等于正在运行的机即单位时间平均发生故障的机器数等于正在运行的机器平均发生故障次数器平均发生故障次数.102102PPT学习交流 由由Little公式可得机器的公式可得机器的平均停工时间平均停工时间和和平均等待平均等待维修时间维修时间分别为分别为 在实际应用中，看一个排队系统的好坏，往往看它的在实际应用中，看一个排队系统的好坏，往往看它的机器停工造成的损失及工人空闲程度机器停工造成的损失及工人空闲程度等所以下列指标是很有用的等所以下列指标是很有用的工人操作效率工人操作效率 p(c

59、)平均工作人数平均工作人数总工人数总工人数工人损失系数工人损失系数q(c)平均空闲工人数平均空闲工人数总工人数总工人数103103PPT学习交流机器利用率机器利用率u(c) 平均工作机器数平均工作机器数总机器数总机器数机器损失系数机器损失系数r(c) 等待维修机器数等待维修机器数总机器数总机器数 例例 设有设有2个工人看管个工人看管5台自动机，组成台自动机，组成MM255系统，系统，(次运转小时次运转小时).求平均停止运转机器数求平均停止运转机器数L、平均等待修理数、平均等待修理数Lq以及每次出以及每次出故障的平均停止运转时间故障的平均停止运转时间W、平均等待修理时间、平均等待修理时间Wq.(

60、次小时次小时)，解解由由(7.3.1)，(7.3.2)有有104104PPT学习交流由由(7.3.3)，(7.3.4)有有由由(7.3.5)，(7.3.6)有有W0.28(小时小时)， Wq0.03(小时小时)看管看管6台机器方案二：台机器方案二：3个工人共同看管个工人共同看管20台机器试比台机器试比较两个方案的优劣较两个方案的优劣例例 设某厂有自动车床若干台，各台的质量是相同设某厂有自动车床若干台，各台的质量是相同的，连续运转时间服从负指数分布，参数为的，连续运转时间服从负指数分布，参数为，工人的技，工人的技术也差不多，排除故障的时间服从负指数分布，参数为术也差不多，排除故障的时间服从负指数

61、分布，参数为设设有两个方案方案一：有两个方案方案一：3个工人独立地各自个工人独立地各自 解解 方案一方案一因为是分别看管可以各自独立分析，是因为是分别看管可以各自独立分析，是3个个MM16系统由上面的公式可求出系统由上面的公式可求出105105PPT学习交流方案二方案二m20， c3，可求得可求得机器损失系数、修理工人损失系数都小于方案一，机器损失系数、修理工人损失系数都小于方案一，所以方案二较好。所以方案二较好。事实上，对给定的事实上，对给定的正整数正整数c，m 在本节初的在本节初的假设下，我们能证明如下一般的结论：假设下，我们能证明如下一般的结论：c个工人分别独立个工人分别独立地各自看管地

62、各自看管 m 台机器时，修理工的损失系数台机器时，修理工的损失系数 q(1)与机器与机器损失系数损失系数r(1)分别大于分别大于c个工人共同看管个工人共同看管fm 台机器的相应台机器的相应量量q(c)，r(c)这个结果是很直观的，当这个结果是很直观的，当c个工人独自看个工人独自看106106PPT学习交流管时，工人管时，工人A单独看管单独看管m 台机器，某个时候可能有多于台机器，某个时候可能有多于1 台机器发生故障，他只能在台机器发生故障，他只能在1台上排除故障，其它的等待台上排除故障，其它的等待维修但可能工人维修但可能工人B看管看管m 台机器全处于正常运转状态台机器全处于正常运转状态如果是共

63、同看管。如果是共同看管。B就可以去排除就可以去排除A看管的等待维修的机看管的等待维修的机器，从而降低损失系数器，从而降低损失系数2 MM/ cm十十Nm 系统系统 现在来考虑有备用机器的情况有现在来考虑有备用机器的情况有m 台机器进行生产，台机器进行生产，另有另有N台备用台备用(如飞机引擎、电报局的电传打字机、计算机如飞机引擎、电报局的电传打字机、计算机元件、露天矿的矿车等元件、露天矿的矿车等)当生产的机器出故障后，就立当生产的机器出故障后，就立即用备用件替换下来即用备用件替换下来(如没有备用件，这台机器就停止生如没有备用件，这台机器就停止生产产)由工人进行修理修好后，若正在生产的机器数为由工

64、人进行修理修好后，若正在生产的机器数为m，则它就加入备用，否则就投入生产其它假设与则它就加入备用，否则就投入生产其它假设与MMcmm 系统相同系统相同研究系统研究系统(N(t)；to)，N(t)表示在时刻表示在时刻 t正在正在107107PPT学习交流维修和等待维修的机器数维修和等待维修的机器数Nnm十十N，还有，还有n一一N台机器进入系统这时运转的机台机器进入系统这时运转的机器数为器数为m一一(n一一N)m十十N一一n，所以，所以.设系统处于状态设系统处于状态n，如果，如果系统的机器数系统的机器数不超过系统的机器数不超过备用数，所以不超过系统的机器数不超过备用数，所以m 台机器都在运台机器都

65、在运转；如果转；如果除了备用机器都在系统外，除了备用机器都在系统外，就只就只c有台机器正在维修，有台机器正在维修，n一一c台机台机 如果如果那么这那么这n台机器都正在维修；如果台机器都正在维修；如果器等待维修，所以器等待维修，所以108108PPT学习交流用类似的方法可证明系统用类似的方法可证明系统是生灭过程，是生灭过程，分两种情况来讨论它的平稳分布在分两种情况来讨论它的平稳分布在时，平稳分布时，平稳分布为：为：109109PPT学习交流平均备用机器数平均备用机器数平均运转机器数平均运转机器数平均等待维修的机器数平均等待维修的机器数平均忙的工人数平均忙的工人数110110PPT学习交流几个量的

66、关系为几个量的关系为这个公式是容易理解的所有的机器这个公式是容易理解的所有的机器(包括备用的包括备用的)分成：正在运转的分成：正在运转的a，等待维修的，等待维修的Lq，正在维修的，正在维修的c，备用，备用的的L备备单位时间平均发生故障的次数单位时间平均发生故障的次数111111PPT学习交流由由Little公式，可求得一部机器平均等待维修时间公式，可求得一部机器平均等待维修时间Wq及停工时间及停工时间W112112PPT学习交流cN时，即维修工人数大于备用机器数时，当时，即维修工人数大于备用机器数时，当N部备部备用机器都用于运转时，还有空闲工人，因此失效机器数当用机器都用于运转时，还有空闲工人

67、，因此失效机器数当时，是全员生产，时，是全员生产，nN时，是缺额生产时，是缺额生产平稳分布平稳分布113113PPT学习交流其它都一样其它都一样能保证同时有能保证同时有m 台机器进行生产，即越能以较高的概率台机器进行生产，即越能以较高的概率p保证同时有保证同时有m 台机器进行生产，这样单位时间的总产量台机器进行生产，这样单位时间的总产量就越高但就越高但N越大，投资也越大因此，越大，投资也越大因此，N太大也是不合太大也是不合算的，问题是算的，问题是N到底取多大为好到底取多大为好?不难看出，当不难看出，当m 及及c 给定时，备用数给定时，备用数N越大，越越大，越 这个问题可以有几种提法一种是给定这

68、个问题可以有几种提法一种是给定及保证同时有及保证同时有m 台机器进行生产的概率不低于给定的台机器进行生产的概率不低于给定的 p114114PPT学习交流(0p1)的条件下，求最小的备用量的条件下，求最小的备用量N*，即，即分成分成两种情况两种情况(7.3.5)，(7.3.6)，(7.3.7)，(7.3.8)给出但是这些公式很复给出但是这些公式很复可以内公式可以内公式杂，由此来解杂，由此来解N是很不容易的通常可以让是很不容易的通常可以让N等于某个常数等于某个常数来求来求看它是否达到看它是否达到p，然后逐步增加，然后逐步增加 N，直到，直到为止为止问题也可以改为：给定问题也可以改为：给定与保证概率

69、与保证概率p，115115PPT学习交流求最优工人数求最优工人数c*，即，即 若给出费用结构，还可把问题改为求单恢时间期望总若给出费用结构，还可把问题改为求单恢时间期望总费用达到最小的最忧备用量费用达到最小的最忧备用量N*. 例例 某露天铁矿山，按设计配备某露天铁矿山，按设计配备12辆卡车参加运输辆卡车参加运输作业作业(每辆载重每辆载重160吨，售价吨，售价72万元万元)，备用车，备用车8辆要求保辆要求保证同时有证同时有12辆车参加运输的概率不低于辆车参加运输的概率不低于o.995, 设每辆平均设每辆平均连续运输时间为连续运输时间为3个月，服从负指数分布有两个修理队个月，服从负指数分布有两个修理队负责修理工作，修理时间服从负指数分布平均修复时间负责修理工作，修理时间服从负指数分布平均修复时间为为5天问这个设计是否合理天问这个设计是否合理解解 由假设知，这是由假设知，这是系统系统116116PPT学习交流我们有我们有用用的公式，求的公式，求N，要求，要求所以所以3辆备用车就能达到要求，原设计用的备用车太多辆备用车就能达到要求，原设计用的备用车太多当当N3时，卡车的利用率时，卡车的利用率q(2)o.793 7117117PPT学习交流此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！感谢您的支持，我们努力做得更好！118PPT学习交流