第六节 二次函数的实际应用 考点一 利润问题例例1 1(2018·(2018·达州中考)“)“绿水青山就是金山银山””的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8 8辆与将标价直降100100元销售7 7辆获利相同． (1)(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)(2)若该型号自行车的进价不变，按若该型号自行车的进价不变，按(1)(1)中的标价出售，该店中的标价出售，该店平均每月可售出平均每月可售出5151辆；若每辆自行车每降价辆；若每辆自行车每降价2020元，每月可多元，每月可多售出售出3 3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？最大利润是多少？ 【【分析分析】】 (1) (1)设进价价为x x元，元，则标价是价是1.5x1.5x元，根据利元，根据利润相相等可得方程，解方程即可得到等可得方程，解方程即可得到进价，价，进而得到而得到标价；价；(2)(2)设该型号自行型号自行车降价降价a a元，利元，利润为w w元，利用元，利用““销售量售量××每每辆自行自行车的利的利润＝＝总利利润””列出函数关系式，即可求解．列出函数关系式，即可求解． 【【自主解答自主解答】】(1)(1)设进价为x x元，则标价是1.5x1.5x元．由题意得1.5x×0.9×81.5x×0.9×8－8x8x＝(1.5x(1.5x－100)×7100)×7－7x7x，解得x x＝1 0001 000，1 1．5×1 0005×1 000＝1 500(1 500(元) )．答：该型号自行车的进价为1 0001 000元，标价为1 5001 500元． (2)(2)设该型号自行型号自行车降价降价a a元，利元，利润为w w元，由元，由题意得意得w w＝＝(51(51＋＋ ×3)(1 500×3)(1 500－－1 0001 000－－a)a)＝－＝－ (a(a－－80)80)2 2＋＋26 460.26 460.∵∵－－ ＜＜0 0，，∴∴当当a a＝＝8080时，，w w最大最大＝＝26 460.26 460.答：答：该型号自行型号自行车降价降价8080元出售每月元出售每月获利最大，最大利利最大，最大利润是是26 46026 460元．元． 利用二次函数求最大利利用二次函数求最大利润的方法的方法利用二次函数解决利用二次函数解决实际生活中的利生活中的利润问题，，应认清清变量所量所表示的表示的实际意意义，注意，注意隐含条件的使用，同含条件的使用，同时考考虑问题要要全面．此全面．此类问题一般是先运用一般是先运用““总利利润＝＝总售价－售价－总成本成本””或或““总利利润＝每件商品所＝每件商品所获利利润××销售数量售数量””，建立利，建立利润与价格之与价格之间的函数关系式，求出的函数关系式，求出这个函数关系式的最大个函数关系式的最大值，，即求得的最大利即求得的最大利润．． 1 1．．(2018·(2018·安徽中考安徽中考) )小明大学小明大学毕业回家回家乡创业，第一期培，第一期培植盆景与花卉各植盆景与花卉各5050盆，售后盆，售后统计，盆景的平均每盆利，盆景的平均每盆利润是是160160元，花卉的平均每盆利元，花卉的平均每盆利润是是1919元．元．调研研发现：：①①盆景每增加盆景每增加1 1盆，盆景的平均每盆利盆，盆景的平均每盆利润减少减少2 2元；每减少元；每减少1 1盆，盆景的平均每盆利盆，盆景的平均每盆利润增加增加2 2元；元；②②花卉的平均每盆利花卉的平均每盆利润始始终不不变．． 小明小明计划第二期培植盆景与花卉共划第二期培植盆景与花卉共100100盆，盆，设培植的盆景培植的盆景比第一期增加比第一期增加x x盆，第二期盆景与花卉售完后的利盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分分别为W W1 1，，W W2 2( (单位：元位：元) )．．(1)(1)用含用含x x的代数式分的代数式分别表示表示W W1 1，，W W2 2；；(2)(2)当当x x取何取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的得的总利利润W W最大，最大最大，最大总利利润是多少？是多少？ 解：解：(1)W(1)W1 1＝＝(x(x＋＋50)(16050)(160－－2x)2x)＝－＝－2x2x2 2＋＋60x60x＋＋8 0008 000，，W W2 2＝＝19(5019(50－－x)x)＝－＝－19x19x＋＋950.950.(2)W(2)W＝＝W W1 1＋＋W W2 2＝＝( (－－2x2x2 2＋＋60x60x＋＋8 000)8 000)＋＋( (－－19x19x＋＋950)950)＝－＝－2x2x2 2＋＋41x41x＋＋8 950.8 950.∵∵－－2 2＜＜0 0，－，－ ＝＝10.2510.25，，∴∴当当x x＝＝1010时，，W W最大最大＝－＝－2×1002×100＋＋41×1041×10＋＋8 9508 950＝＝9 160(9 160(元元) )．． 答答：：当当x x＝＝1010时时，，第第二二期期培培植植的的盆盆景景与与花花卉卉售售完完后后获获得得的的总总利润利润W W最大，最大总利润是最大，最大总利润是9 1609 160元．元． 2 2．．(2018·(2018·眉山中考眉山中考) )传统的端午的端午节即将来即将来临，某企，某企业接到接到一批粽子生一批粽子生产任任务，，约定定这批粽子的出厂价批粽子的出厂价为每只每只4 4元，按元，按要求在要求在2020天内完成．天内完成．为了按了按时完成任完成任务，，该企企业招收了新招收了新工人，工人，设新工人李明第新工人李明第x x天生天生产的粽子数量的粽子数量为y y只，只，y y与与x x满足如下关系：足如下关系：y y＝＝(1)(1)李明第几天生李明第几天生产的粽子数量的粽子数量为280280只？只？ (2)(2)如图，设第x x天生产的每只粽子的成本是p p元，p p与x x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x x天创造的利润为w w元，求w w与x x之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？( (利润＝出厂价－成本) ) 2 2．解：．解：(1)∵6×34(1)∵6×34＝＝204204，，∴∴前六天生前六天生产的粽子最多达到的粽子最多达到204204只．只．将将280280代入代入20x20x＋＋8080得得20x20x＋＋8080＝＝280280，，∴∴x x＝＝10.10.答：第答：第1010天生天生产的粽子数量的粽子数量为280280只．只．(2)(2)当当0≤x0≤x＜＜1010时，，p p＝＝2 2，当，当10≤x≤2010≤x≤20时，，设p p＝＝kxkx＋＋b.b.将将(10(10，，2)2)和和(20(20，，3)3)代入得代入得 解得解得 ∴∴p p＝＝ x x＋＋1.1.当当0≤x≤60≤x≤6时，，w w＝＝(4(4－－2)×34x2)×34x＝＝68x68x，，w w随随x x的增大而增大，的增大而增大，∴∴当当x x＝＝6 6时，，w w最大最大值为408408元；元；当当6 6＜＜x≤10x≤10时，，w w＝＝(4(4－－2)×(20x2)×(20x＋＋80)80)＝＝40x40x＋＋160160，，w w随随x x的增大而增大，的增大而增大，∴∴当当x x＝＝1010时，，w w最大最大值为560560元；元；当当1010＜＜x≤20x≤20时，，w w＝＝(4(4－－ x x－－1)(20x1)(20x＋＋80)80)＝＝－－2x2x2 2＋＋52x52x＋＋240240，，对称称轴为x x＝＝13.13. 在在1010＜＜x≤20x≤20内，内，将将x x＝＝1313代入得代入得w w＝＝578(578(元元) )．．综上所述，综上所述，w w与与x x的函数解析式为的函数解析式为w w＝＝答：第答：第1313天的时候利润最大，最大利润为天的时候利润最大，最大利润为578578元．元． 考点二考点二 抛物抛物线形形实际问题例例2 2 (2018·(2018·滨州中考州中考) )如如图，一小球沿与地面成一定角度的，一小球沿与地面成一定角度的方向方向飞出，小球的出，小球的飞行路行路线是一条抛物是一条抛物线．如果不考．如果不考虑空气空气阻力，小球的阻力，小球的飞行高度行高度y(y(单位：位：m)m)与与飞行行时间x(x(单位：位：s)s)之之间具有函数关系具有函数关系y y＝－＝－5x5x2 2＋＋20x20x，，请根据要求解答下列根据要求解答下列问题：： (1)(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m15 m时，飞行时间时，飞行时间是多少？是多少？(2)(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？少？ 【【分析分析】】 (1) (1)小球小球飞行高度行高度为15 m15 m，即，即y y＝－＝－5x5x2 2＋＋20x20x中中y y的的值为1515，解方程求出，解方程求出x x的的值，即，即为飞行行时间；；(2)(2)小球小球飞出出时和落地和落地时的高度的高度为0 0，据此可求出，据此可求出x x的的值，再，再求差即可；求差即可；(3)(3)求小球求小球飞行高度何行高度何时最大？最大高度是多少？即求最大？最大高度是多少？即求x x为何何值时，二次函数有最大，二次函数有最大值，最大，最大值是多少？是多少？ 【【自主解答自主解答】】(1)(1)当当y y＝＝1515时，有－，有－5x5x2 2＋＋20x20x＝＝1515，，化化简得得x x2 2－－4x4x＋＋3 3＝＝0 0，，解得解得x x＝＝1 1或或3.3.答：答：飞行行时间是是1 s1 s或者或者3 s.3 s.(2)(2)飞出和落地的瞬出和落地的瞬间，高度都，高度都为0 0，故，故y y＝＝0 0，，∴∴有有0 0＝－＝－5x5x2 2＋＋20x20x，解得，解得x x＝＝0 0或或4 4，，∴∴小球从小球从飞出到落地所用出到落地所用时间是是4 4－－0 0＝＝4 (s)4 (s)．． (3)(3)当x x＝－ ＝－ ＝2(s)2(s)时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m.20 m. 解抛物线形实际问题的注意事项解抛物线形实际问题的注意事项(1)(1)解题的关键：进行二次函数建模，依据题意，建立合适的解题的关键：进行二次函数建模，依据题意，建立合适的平面直角坐标系，并利用抛物线的性质解决问题．平面直角坐标系，并利用抛物线的性质解决问题．(2) (2) 解题技巧：所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简．解题技巧：所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简．(3)(3)注意问题：注意问题：①①题意分析不透，不能建立符合题意的函数模题意分析不透，不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确，导致解题错误；型或所建立的函数模型不正确，导致解题错误；②②忽视了自忽视了自变量的取值范围，造成错解．变量的取值范围，造成错解． 3 3．．(2017·(2017·金金华中考中考) )甲、乙两人甲、乙两人进行羽毛球比行羽毛球比赛，羽毛球，羽毛球飞行的路行的路线为抛物抛物线的一部分，如的一部分，如图，甲在，甲在O O点正上方点正上方1 m1 m的的P P处发出一球，羽毛球出一球，羽毛球飞行的高度行的高度y(m)y(m)与水平距离与水平距离x(m)x(m)之之间满足函数解析式足函数解析式y y＝＝a(xa(x－－4)4)2 2＋＋h h，已知点，已知点O O与球网的水平距离与球网的水平距离为5 m5 m，球网的高度，球网的高度为1.55 m.1.55 m. (1)(1)当当a a＝－＝－ 时，，①①求求h h的的值；；②②通通过计算判断此球能否算判断此球能否过网；网；(2)(2)若甲若甲发球球过网后，羽毛球网后，羽毛球飞行到与点行到与点O O的水平距离的水平距离为7 m7 m，，离地面的高度离地面的高度为 m m的的Q Q处时，乙扣球成功，求，乙扣球成功，求a a的的值．． 解：解：(1)①(1)①当当a a＝－＝－ 时，，y y＝－＝－ (x(x－－4)4)2 2＋＋h h，，将点将点P(0P(0，，1)1)代入得－代入得－ ×16×16＋＋h h＝＝1 1，，解得解得h h＝＝ . .②②把把x x＝＝5 5代入代入y y＝－＝－ (x(x－－4)4)2 2＋＋ 得得y y＝－＝－ ×(5×(5－－4)4)2 2＋＋ ＝＝1.625.1.625.∵1.625∵1.625＞＞1.551.55，，∴∴此球能此球能过网．网． (2)(2)把(0(0，1)1)，(7(7， ) )代入y y＝a(xa(x－4)4)2 2＋h h得∴∴a a＝－ . . 4 4．．(2017·(2017·德州中考德州中考) )随着新随着新农村的建村的建设和旧城的改造，我和旧城的改造，我们的家园越来越美的家园越来越美丽．小明家附近广．小明家附近广场中央新修了个中央新修了个圆形形喷水池，在水池中心水池，在水池中心竖直安装了一根高直安装了一根高为2 2米的米的喷水管，它水管，它喷出的抛物出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离形水柱在与池中心的水平距离1 1米米处达到最高，达到最高，水柱落地水柱落地处离池中心离池中心3 3米．米． (1)(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；函数解析式；(2)(2)求出水柱的最大高度是多少？求出水柱的最大高度是多少？ 解：解： (1)(1)如如图，以，以喷水管与地面交点水管与地面交点为原点，原点，原点与水柱落地点所在直原点与水柱落地点所在直线为x x轴，水管所在，水管所在直直线为y y轴，建立平面直角坐，建立平面直角坐标系．系．设抛物抛物线的函数解析式的函数解析式为y y＝＝a(xa(x－－1)1)2 2＋＋h(0≤x≤3)h(0≤x≤3)．．抛物抛物线过点点(0(0，，2)2)和和(3(3，，0)0)，代入抛物，代入抛物线解析式可得解析式可得 ∴∴抛物抛物线解析式解析式为y y＝－＝－ (x(x－－1)1)2 2＋＋ (0≤x≤3)(0≤x≤3)，，化化为一般式一般式为y y＝－＝－ x x2 2＋＋ x x＋＋2(0≤x≤3)2(0≤x≤3)．．(2)(2)由由(1)(1)抛物抛物线解析式解析式为y y＝－＝－ (x(x－－1)1)2 2＋＋ (0≤x≤3)(0≤x≤3)，，当当x x＝＝1 1时，，y y＝＝ . .答：水柱的最大高度答：水柱的最大高度为 m.m. 。
