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1、矩阵论教程A矩阵论教程A 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学理学院理学院理学院理学院 矩阵论教学团队矩阵论教学团队矩阵论教学团队矩阵论教学团队 Department of Mathematics, College of Sciences书后要求的习题书后要求的习题, ,主动自觉做主动自觉做, ,抽查和不定时收取抽查和不定时收取 使用教材使用教材 矩阵论教程矩阵论教程国防工业出版社国防工业出版社 2012其他辅导类参考书（自选）其他辅导类参考书（自选）课课课课 程程程程 要要要要 求求求求作业要求作业要求矩阵论网站矩阵论网站http:/ (10学时学时)1234第二章第二章
2、 内积空间与赋范线性空间内积空间与赋范线性空间欧氏空间与酉欧氏空间与酉 空空 间间 标准正交基与向量的正交化标准正交基与向量的正交化正交子空间正交子空间 酉酉(正交正交)变换与正交投影变换与正交投影 5向量范数与矩阵范数向量范数与矩阵范数6向量范数与矩阵范数的相容性向量范数与矩阵范数的相容性教教教教 学学学学 内内内内 容容容容 和和和和 基基基基 本本本本 要要要要 求求求求2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基；造标准正交基；3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的理解正交子空间及其正交补的概念，掌握
3、正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质； 1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；理解内积空间的概念； 在矩阵范数中在矩阵范数中,相容性相容性 尤为重要，那尤为重要，那么么矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？ 若若 是是 上的矩阵范数，上的矩阵范数， 是是上的向量范数，由于上的向量范数，由于 仍是仍是 上的向量，上的向量， 所以：所以： 设设 是是 上的矩阵范数，上的矩阵范数， 是是 上的向量范数。如果
4、对任意的上的向量范数。如果对任意的 都有：都有： 则称矩阵范数则称矩阵范数 与向量范数与向量范数 是是相容的相容的定义定义1 向量范数与矩阵范数的相容性向量范数与矩阵范数的相容性2.6例例1 证明矩阵范数证明矩阵范数 与向量范数与向量范数 是相容的。是相容的。证明：证明：设设 ， 例例2 证明矩阵范数证明矩阵范数 与向量范与向量范数数 是相容的。是相容的。证明：证明：设设 ， |A|F 与与 |x|2 相容相容的性质反映了的性质反映了 |A|F 是是像像 Ax 的的2-范范数数 |Ax|2 与与原像原像 x 的的2-范数范数之比的最大值，即之比的最大值，即因此，可以用因此，可以用|A|F来刻画
5、变换来刻画变换A 的结果。的结果。 对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵范数？范数？ 任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？ 给定给定 上的向量范数上的向量范数 ， 定义定义 则则 是是 上与向量范数上与向量范数 相容的矩阵范数，相容的矩阵范数，称称 为由向量范数为由向量范数 导出的导出的算子范数算子范数或或从属于从属于向向量范数量范数 的的矩阵范数矩阵范数从属于向量范数的矩阵范数从属于向量范数的矩阵范数定理定理1定理定理1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实表明，由给定的向量范数按照上式定义的
6、实值函数是一种值函数是一种矩阵范数矩阵范数，它与已给的向量范数是，它与已给的向量范数是相容的相容的。 证明证明 (1) 当当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使，使 Ax0 ，从而有，从而有即即|A|满足正定性满足正定性；另外，显然；另外，显然|A|=0当且仅当当且仅当A=0。 (2) 对任意的常数对任意的常数kC，即即|A|满足齐次性满足齐次性。 (3) 对任意的方阵对任意的方阵A，BCnn，即即|A|满足三角不等式满足三角不等式。 (4) 对任意的方阵对任意的方阵A，BCnn，即即|A|满足相容性满足相容性。 上述定义的实值函数上述定义的实值函数
7、|A|是矩阵是矩阵A的范数。的范数。 再证再证|A|与与| x |v的相容性。的相容性。由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不同的计算公式。同的计算公式。定理定理2: 设设 是是 上的向量范数上的向量范数,则则(1) 都是由都是由 诱导出的算子范数诱导出的算子范数(2) 证证(1)令令 (2) 显然显然 由由(1)可知，可知，故有，故有，例例3 证明由证明由n维向量的维向量的1-范数，范数， -范数和范数和2-范数范数所诱导的算子范数分别是所诱导的算子范数分别是(设设A=(aij)nn) 列模和之最大者：列模和之最大者：列和范数列和范数为为从属
8、于从属于向量向量2-范数范数的矩阵范数，也称的矩阵范数，也称谱范数谱范数。为为A的最大正奇异值。的最大正奇异值。(3)为为从属于从属于向量向量 范数范数的矩阵范数的矩阵范数(2)为为从属于从属于向量向量1 范数范数的矩阵范数的矩阵范数(1)行模和之最大者：行模和之最大者：行和范数行和范数证明证明 (1) 设设A的各列向量为的各列向量为i，即，即则则 ，且有，且有 ，于是，于是另外，设另外，设 ，并取单位向量，并取单位向量 且且即有即有即即|Ax|1在单位球面在单位球面 x | |x|1=1 上的极大值点为上的极大值点为ek， (2) 假设假设i=k时，时， 取得最大值，即取得最大值，即 则对于
9、满足则对于满足|x|=1的任意的任意n维向量维向量x，有，有 取取x0的第的第j个分量个分量xj为为 则有则有|x0|=1，且且Ax0的第的第k个分量为个分量为设与之对应的标准正交特征向量为设与之对应的标准正交特征向量为 ，即有，即有 (3) 任取任取 ，且，且 | x |2=1，则则作酉阵作酉阵 ，则有，则有AHA=UHDU，其中，其中令令 ，则，则 由于由于AHA为为Hermite阵且正定，故可设阵且正定，故可设AHA的特征值为的特征值为从而有从而有故得故得即即 ，从而证得，从而证得因为因为 ，所以，所以又由又由x的任意性可得的任意性可得 若取若取 x=u1 ，则显然有，则显然有设设 是定
10、义在是定义在 上的一种矩阵范数，则在上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容的向量范数上必存在与它相容的向量范数证明：证明：用构造法证明。取定用构造法证明。取定 ,则则 就是就是 上与上与 相容的向量范数。相容的向量范数。首先首先, 证明证明 是是 上的范数：上的范数：与矩阵范数相容的向量范数的存在性与矩阵范数相容的向量范数的存在性1.三角不等式三角不等式3, 正定性正定性2, 绝对齐性绝对齐性再证再证 与与 的相容性的相容性由矩阵范数定义中的第由矩阵范数定义中的第4条条定理定理3 设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则证明证明 (1) 由于由于而而|A|2为为|Ax|2在在|x|2=1上的最大值，
11、因此，存在上的最大值，因此，存在x0，使得使得取取故故(2) 因为因为又由于又由于且对任意且对任意存在存在故故又由于又由于故有故有(3) 由矩阵范数定义和由矩阵范数定义和(2)，有，有故有故有(4) 由由(2)和和(3)，可得，可得故有故有定义定义3 矩阵矩阵ACnn的的谱半径谱半径( (A) )是是是是A的特征值的特征值证明证明 设设为矩阵为矩阵A的一个特征值，相应的特征向量的一个特征值，相应的特征向量 为为x0，则，则定理定理4 如果如果| |是任意的矩阵范数，且是任意的矩阵范数，且ACnn，则则若若 | |是任意的矩阵范数，则对上式两边同时取范数，是任意的矩阵范数，则对上式两边同时取范数，由由的任意性，我们有的任意性，我们有 尽管谱半径不是尽管谱半径不是Cnn中的矩阵范数，但对于每中的矩阵范数，但对于每个固定的个固定的 ACnn，它是关于它是关于A的所有矩阵范数的所有矩阵范数的值的的值的最大下界最大下界。
