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1、二面角两个平面垂直的两个平面垂直的判定和性判定和性质（一一）12 1.从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半一一、二面角的定义二面角的定义平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角二面角二面角二面角（1）直直立式立式3（2）平卧式平卧式4图（1）中中，棱棱为AB，面面为、的的二二面面角角，记作二面角作二面角AB.也也可可在在、内内（棱棱以以外外的的半半平平面面部部分分）分分别取取点点P、Q，将，将这个二面角个二面角记作二面角作二面角PABQ.5如果棱如果棱为l，则这个二面角个二面角记作作l或或PlQ.6研究研究图（2）中）中AOB与与AOB的大小的大小.7二二、二面角的平面
2、角二面角的平面角ABP1、定义、定义以以二二面面角角的的棱棱上上任任意意一一点点为端端点点，在在两两个个面面内内分分别作作垂垂直直于于棱棱的的两两条条射射线，这两两条条射射线所成的角叫做二面角的平面角所成的角叫做二面角的平面角.8（1）度度量量二二面面角角的的大大小小，利利用用的的是是二二面面角角的的平平面面角角.（2）二二面面角角的的平平面面角角是是几几度度，就就说这个个二二面面角角是是几度几度.（3）规定二面角的大小范围为）规定二面角的大小范围为0180. （4）二二面面角角的的两两个个面面合合成成一一个个平平面面时，规定定二二面角的大小面角的大小为180.若若一一个个二二面面角角的的平平
3、面面角角是是直直角角，就就说这个个二二面面角角为直二面角直二面角.92、作二面角的平面角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角二面角103、研究与讨论、研究与讨论1.二面角的平面角的顶点是二面角棱上的二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_一点一点.2.二面角的平面角的两边分别在二面角的二面角的平面角的两边分别在二面角的_内内.3.二面角的平面角的两边都与棱二面角的平面角的两边都与棱_.4.二面角的平面角所在的平面与二面角的棱二面角的平
4、面角所在的平面与二面角的棱_.任意任意两个面两个面垂直垂直垂直垂直111、如如图图，AB是是圆圆的的直直径径，PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，C是是圆圆上上任任一一点点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练练 习习2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，则则这这个个二二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60二面角二面角12例例1河河堤堤斜斜面面与与水水平平面面所所成成二二面面角角为60，堤堤面面上上有有一一条条直直道道
5、CD，它它与与堤堤角角的的水水平平线AB的的夹角角为30，沿沿这条条直直道道从从堤堤脚脚向向上上行行走走到到10 m时人人升升高了多少？（精确到高了多少？（精确到0.1 m）13例例2.2.如如图图，已已知知P P是是二二面面角角-AB-AB-棱棱上上一一点点，过过 P P分分 别别 在在 、 内内 引引 射射 线线 PMPM、 PNPN， 且且 MPN=60 MPN=60 BPM=BPN=45 BPM=BPN=45 ，求求此此二二面面角的度数。角的度数。ABPMNCDOaOPC二面角二面角14例例 3 3 如如 图图 P P为为 二二 面面 角角 内内 一一 点点 ，PA,PBPA,PB,且
6、且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求这二面角的度数。求这二面角的度数。ABPO二面角15OABPC例例4 4如如图图，三三棱棱锥锥P-ABCP-ABC的的顶顶点点P P在在底底面面ABCABC上上的的射射影影是是底底面面RtRtABCABC斜斜边边ACAC的的中中点点O O，若若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= 1 1 ，求求二二面面角角P-AB-CP-AB-C的正切值。的正切值。EEOP二面角二面角16练练习习1 1：已已知知RtRtABCABC在在平平面面 内内，斜斜边边ABAB在在3030的的二二面面角角-AB-AB-的的棱棱上上，若若AC=5AC=5，
7、BC=12BC=12，求点，求点C C到平面到平面的距离的距离CO。ACBOD二面角二面角17练练习习2 2：在在平平面面四四边边形形ABCDABCD中中，AB=BC=2AB=BC=2，AD=CD= AD=CD= , , B=120B=120；将将三三角角形形ABCABC沿沿四四边边形形ABCDABCD的的对对角角线线ACAC折折起起来来，使使DB= DB= ，求求AB AB CC所所在在平平面面与与ADCADC所所在在平平面面所所成成二二面角的平面角的度数。面角的平面角的度数。ABCBDO18ABCD A A为为二二面面角角 CD CD 的的棱棱CDCD上上一一点点，ABAB在在平平面面 内
8、内且且与与棱棱CDCD成成4545角角，又又ABAB与与平平面面成成30 ，求求二二面面角角 CD CD 的大小。的大小。二面角二面角练习练习3 319二、二、二面角的平面角二面角的平面角一、一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义小小结结二面角二面角ABP以以二二面面角角的的棱棱上上任任意意一一点点为端端点点，在在两两个个面面内内分分别作作垂垂直直于于棱棱的的两两条条射射线，这两两条条射射线所所成成的的角角叫叫做做二二面面角角的的平面角平面角.20点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一
9、个半平面上点点P在二面角内在二面角内定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法pABABpABOp21二面角22石器时代 石器时代容凌娢一副视死如归的样子，“士可杀，不可辱！要杀要刮随你便，总比在这里干活还被人欺负要好。”“干嘛这么激动，我没有生气啊。”“没有生气还把我搞到这里来刷碗”慕容凌娢的肚子不争气的叫了起来(古风一言)点朱砂，笔书华，戎马难忘镜中花。第026章 风俗习惯不同而已“咕噜噜”“还没吃东西吗？”“这不是废话嘛！”慕容凌娢没好气的说。“给，专门给你留的。”百蝶从袖子中拿出了一个小布袋，递给了慕容凌娢，“应该还是热着的。”慕容凌
10、娢打开袋子，里面是两个还冒着淡淡热气的馒头。“就只有这个吗？”慕容凌娢看百蝶的眼神完全变了，她已经被百蝶的食物“驯化”了。“人不要太贪得无厌了，你还想要什么？”“有木有老干妈？辣条也行啊。”慕容凌娢狼吞虎咽地吃着馒头，还在死皮赖脸的讨价还价。“干吃馒头很不好吃啊。”“那你怎么还吃？”“因为饿。”“你慢慢吃吧，我先回去了。”百蝶看了看放在慕容凌娢身旁的盘子，“那些被打碎的盘子我就不在追究了，至于其它的盘子和碗今晚必须刷完。”“嗯纳尼？”慕容凌娢赶忙将嘴里的馒头咽了下去，差点没有噎出眼泪来。“百蝶姐姐你这真的不是我打碎的”百蝶丝毫不理会慕容凌娢的解释，头也不回的走了，独自留慕容凌娢在风中凌乱。“笨
11、蛋，白痴，心机girl”慕容凌娢不停地小声嘀咕，“居然还分楼主，层主，不就是变向的中二病吗如果你是楼主，我还是吧主呢！”说归说，慕容凌娢还是得老老实实的刷碗。(第二天)“天哪，那个小女孩居然真的把碗给刷完了。”“估计是在这里待了一晚上吧。”“真是太不可思议了！”“”慕容凌娢依在墙边已经睡着了，根本就没有听见这些人的议论。“白绫，白绫，醒醒啊！”若曦走过去晃了晃慕容凌娢。“唔让我再睡一会”慕容凌娢小声哼唧，以为自己还在家里，想要再赖会儿床。“白绫，赶快起来吧！”若曦也没有什么办法，只好推了慕容凌娢一下。慕容凌娢刚想要再次入睡，结果身子一歪，倒了下来。“啊！”慕容凌娢被突然惊醒了，“是谁推我的！”“白绫，对不起呀。”若曦抱歉的说道，“我看你怎么叫也叫不醒，所以就推了你一下。没摔疼吧？”“没没事。”慕容凌娢不好意思的笑了笑，“我还以为今天是星期天呢”“星期天？什么意思？”“这个这个是我们那里计算天数的方法。”“原来白绫你不是这里的人啊！”若曦说道，“怪不到感觉你说的话会有些奇怪呢。”“呵呵，是呀，毕竟风俗习惯都不太一样呢。”慕容凌娢随即编了一个谎。(古风一言)绾青丝，颜影依，绣针可绘情相思。第027章 不敢再想下去“白绫，对不起呀。”若曦抱歉的23
