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1、掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质 第第6 6课时课时 椭圆椭圆【命题预测命题预测】 1本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方 程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离 心率心率e的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题2考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所 以，近几年的高考试题
2、一直在客观题中考查定义、性质的理解和以，近几年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和 运用，在解答题中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系运用，在解答题中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系3在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考中一个在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考中一个 新的亮点，主要考查：新的亮点，主要考查：(1)将向量作为工具解答椭圆问题；将向量作为工具解答椭圆问题；(2)以以 解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中4利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次利用数形结合法或将它们的方程组成的方
3、程组转化为一元二次 方程，利用判别式、根与系数关系来求解或证明直线与圆锥曲方程，利用判别式、根与系数关系来求解或证明直线与圆锥曲 线的位置关系问题线的位置关系问题 【应试对策应试对策】 率率e确确定定椭椭圆圆的的形形状状，焦焦点点到到对对应应准准线线的的距距离离p确确定定椭椭圆圆的的大大小小注注意意焦焦点点在在x轴轴和和y轴轴上上对对应应的的椭椭圆圆方方程程的的区区别别和和联联系系涉涉及及椭椭圆圆上上的的点点到到两两个个焦焦点点的的距距离离问问题题，常常常常要要注注意意运运用用第第一一定定义义，而而涉涉及及椭椭圆圆上上的的点点到到某某一一焦焦点点的的距距离离，常常常常用用椭椭圆圆的的第第二二定
4、定义义对对于于后后者者，需需要要注注意意的的是是焦焦点点与与准准线线的的正正确确对对应应，不不能能弄弄错错1在运用椭圆的两种定义解题时，一定要注意隐含条件在运用椭圆的两种定义解题时，一定要注意隐含条件ac，离心，离心问题；准确把握椭圆标准方程的结构特征以及问题；准确把握椭圆标准方程的结构特征以及“标准标准”的含义；要能的含义；要能从椭圆标准方程中读出几何性质，能够利用标准方程解决问题椭圆从椭圆标准方程中读出几何性质，能够利用标准方程解决问题椭圆的几何性质是需要重点掌握的内容，要能够熟练运用其几何性质来分的几何性质是需要重点掌握的内容，要能够熟练运用其几何性质来分析和解决问题特别是椭圆的离心率，
5、作为椭圆的几何性质之一，是析和解决问题特别是椭圆的离心率，作为椭圆的几何性质之一，是高考的热点高考的热点 2考纲要求掌握椭圆的定义和标准方程，灵活运用椭圆的定义来解决考纲要求掌握椭圆的定义和标准方程，灵活运用椭圆的定义来解决得得到到一一个个关关于于x(或或y)的的一一元元二二次次方方程程，再再求求判判别别式式或或应应用用根根与与系系数数关关系系解解题题由由判判别别式式可可以以得得到到字字母母关关系系的的范范围围；利利用用根根与与系系数数关关系系、数数形形结结合合的的思思想想和和“设设而而不不求求”的的方方法法可可以以解解决决中中点点弦弦或或弦弦的的垂垂直直等等问问题题椭椭圆圆在在解解答答题题的
6、的考考查查中中计计算算量量比比较较大大，要要有有简简化化运运算算的的意意识识：可可先先运运算算字字母母关关系系，最最后后代代入入数数值值，这这样样做做可可减减少少运运算算错错误误，提高运算的准确性提高运算的准确性3解决直线与椭圆问题的通法是：将直线和椭圆的方程联立、消元，解决直线与椭圆问题的通法是：将直线和椭圆的方程联立、消元，4由于平面向量具有由于平面向量具有“双重性双重性”，与平面解析几何在本质上有密切的联，与平面解析几何在本质上有密切的联，因此，在解答此类问题时，要充分抓住垂直、平行、长度、夹角的关系，因此，在解答此类问题时，要充分抓住垂直、平行、长度、夹角的关系，将向量的表达形式转化为
7、坐标形式将向量的表达形式转化为坐标形式【知识拓展知识拓展】 焦点三角形焦点三角形椭圆上的点椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的三角形与两焦点构成的三角形PF1F2称作焦点三角形，称作焦点三角形，如图，如图，F1PF2. (1)=arccos 当当r1=r2时，即时，即P为短轴端点时，为短轴端点时，最大，且最大，且max=arccos(2) 当当|y0|b，即，即P为短轴端点时，为短轴端点时，SPF1F2最大，且最大值为最大，且最大值为bc. 2焦点弦焦点弦(过焦点的弦过焦点的弦)AB为椭圆为椭圆 (abc)的焦点弦，的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点，弦中点M(x0，y0
8、)则弦长则弦长l2ae(x1x2)2a2ex0, 通径最短通径最短lmin 1椭圆的定义椭圆的定义 (1)平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件：平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件：到两个定点到两个定点F1、F2的距离的的距离的 等于常数等于常数2a(a0)2a F1F2. (2)上述椭圆的焦点是上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是椭圆的焦距是 . 思考：思考：当当2aF1F2时动点的轨迹是什么图形？时动点的轨迹是什么图形？ 提示：提示：当当2aF1F2时，动点的轨迹是线段时，动点的轨迹是线段F1F2. 和和F1、F2F1F22椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质标准方程准
9、方程 1(ab0) 1(ab0)图形形性性质范范围 x ， y x ， y 对称性称性对称称轴：坐：坐标轴，对称中心：称中心：原点原点顶点点A1 ，A2 B1 B2A1 ，A2B1 ，B2焦距焦距|F1F2|离心率离心率e准准线方程方程xya，b，c的关系的关系c2abababba(a,0)(a,0)(0，b)(0，b)(0，a)(0，a)(b,0)(b,0)2c(0,1)a2b2探究：探究：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：提示：离心率越接近离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆，
10、椭圆就越接近于圆 0的的点点M总总在在椭椭圆圆内内部部，则则椭椭圆圆离离心心率率的的取取值值范范围是围是_答案：答案： 1(2010东台中学高三诊断东台中学高三诊断)已知已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足是椭圆的两个焦点，满足2已知椭圆的方程是已知椭圆的方程是 1(a5)，它的两个焦点分别为，它的两个焦点分别为F1、F2，且且F1F28，弦，弦AB过过F1，则，则ABF2的周长为的周长为_ 解析：解析：a5，椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上a22542，a . 由椭圆的定义知由椭圆的定义知ABF2的周长为的周长为4a4 答案：答案：4 3中心在原点，焦点在中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长
11、为轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是长轴三等分，则此椭圆的方程是_解析：解析：2a18,2c 2a6，a9，c3，b281972. 答案：答案： 4(扬州市高三期末调研扬州市高三期末调研)已知已知F1 、F2是椭圆是椭圆 的左、右焦点，弦的左、右焦点，弦AB过过F1，若，若ABF2的周长为的周长为8，则椭圆的离心，则椭圆的离心率为率为_ 解析：解析：由题意知，由题意知，ABF2的周长为的周长为8，根据椭圆定义得，根据椭圆定义得4a8，即，即a2.又又c2a2b21，所以椭圆的离心率，所以椭圆的离心率e 答案：答案： 5椭圆椭圆 上有一点上有一点
12、P到左准线的距离为到左准线的距离为 那么那么P到右焦点的距离为到右焦点的距离为 _ 解析：解析：a5，b3，c4，e 答案：答案：8 PF21028.求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：入法用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件作判断：根据条件判断椭圆的焦点在判断椭圆的焦点在x轴上，还是在轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有能轴上，还是两个坐标轴都有能(2)设方程：根据上述判断设方程设方程：根据上述判断设方程 (ab0)或或 (ab0) 或或mx
13、2ny21.(3)找关系：根据已知条件，建立关于找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组的方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求 【例例1】 (江苏南通调研题江苏南通调研题)一动圆与已知圆一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆外切，与圆 O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程内切，试求动圆圆心的轨迹方程 思路点拨：思路点拨：两圆相切，圆心之间的距离与圆半径有关，据此可以找到两圆相切，圆心之间的距离与圆半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件动圆圆心满足的条件 解解：由由已已知知，两两定定圆圆的的圆圆心心
14、和和半半径径分分别别是是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设设动动圆圆圆圆心心为为M(x，y)，半半径径为为R，则则由由题题设设条条件件，可可知知MO11R，MO29R.MO1MO210.由椭圆的定义知：由椭圆的定义知：M在以在以O1、O2为焦点的椭圆上，且为焦点的椭圆上，且a5，c3，b2a2c225916.故动圆圆心的轨迹方程为故动圆圆心的轨迹方程为 变式变式1：已知圆已知圆A：(x3)2y2100，圆圆A内一定点内一定点B(3,0)，动圆动圆P 过过B点且与圆点且与圆A内切，求圆心内切，求圆心P的轨迹方程的轨迹方程. . 解：解：设设|PB|r.圆圆P与圆与圆A内切，圆内切
15、，圆A的半径为的半径为10，两圆的圆心距两圆的圆心距PA10r，即即PAPB10(大于大于AB)点点P的轨迹是以的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆两点为焦点的椭圆2a10,2cAB6.a5，c3.b2a2c225916，即点即点P的轨迹方程为的轨迹方程为 1椭圆的性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆椭圆的性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆 (ab0)， 有有axa，byb,0e1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系 2求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，
16、即使不画出图形，求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆思考时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系 关系构造出关于关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出的等式或不等式，从而求出e的值或范围离心率的值或范围离心率e与与a、b的关系：的关系： 3 求椭圆离心率问题，应先将求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些的两
17、焦点为的两焦点为F1、 F2 , P是椭圆上一点且是椭圆上一点且 =0，试求该椭圆的离心率，试求该椭圆的离心率e的取值范围的取值范围思路点拨：思路点拨：利用利用0x2a2建立关于建立关于a与与c的不等式的不等式 【例例2 2】即即 又又 联立联立消去消去y得：得：e2x c2b2，又，又c2a2b2，e2 2c2a2. 据题意，据题意，P点在椭圆上，但不在点在椭圆上，但不在x轴上，轴上，0 于是于是02c2a2b0)上任意一点，上任意一点，F1为其左焦点为其左焦点 (1)求求|PF1|的最小值和最大值；的最小值和最大值； (2)在椭圆在椭圆 上求一点上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直
18、，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直 思路点拨：思路点拨：用用x0，a，e表示表示PF1，(1)利用利用PF1与与x0，a，e之间的关系之间的关系求最值；求最值；(2)用用PF1、PF2与与x0，a，e之间的关系及勾股定理列出之间的关系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求的方程，并求x0. 解：解：(1)对应于对应于F1的准线方程为的准线方程为x PF1aex0.又又ax0a， 当当x0a时时，PF1mina 当当x0a时，时，PF1maxa(2)a225，b25，c220，e2 (aex0)2(aex0)24c2.将数据代入得将数据代入得25 代入椭圆方程得代入椭圆方程得P P点的坐标为点的
19、坐标为 变式变式3：已知点已知点P在椭圆在椭圆 1(ab0)上，上， F1、F2为椭圆的两个焦点，为椭圆的两个焦点， 求求PF1PF2的取值范围的取值范围 解：解：设设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为，椭圆的准线方程为y 不妨设不妨设F1、F2分别为下分别为下焦点、上焦点，则焦点、上焦点，则 PF2a PF1PF2 当当y00时，时，PF1PF2最大，最大值为最大，最大值为a2；当；当y0a时，时，PF1PF2最最小，最小值为小，最小值为a2c2b2.因此，因此，PF1PF2的取值范围是的取值范围是b2，a2 y0a，ay0a， 1直线与椭圆位置关系的判定直线与椭圆位置关系的判定 把椭圆方程
20、把椭圆方程 1(ab0)与直线方程与直线方程ykxb联立消去联立消去y，整理，整理 成形如成形如Ax2BxC0的形式，对此一元二次方程有：的形式，对此一元二次方程有：(1)0，直线，直线与椭圆相交，有两个公共点与椭圆相交，有两个公共点(2)0，直线与椭圆相切，有一个公，直线与椭圆相切，有一个公共点共点(3)b0)的两个焦点为的两个焦点为F1，F2， 点点P在椭圆在椭圆C上，且上，且PF1F1F2，PF1 (1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程； (2)若直线若直线l过圆过圆x2y24x2y0的圆心的圆心M，交椭圆交椭圆C于于A，B两两 点，且点，且A，B关于点关于点M对称，求直线对称，求直线l的方
21、程的方程 思路点拨：思路点拨：(1)可根据椭圆定义来求椭圆方程；可根据椭圆定义来求椭圆方程；(2)解解法法一一：设设斜斜率率为为k，表表示示出出直直线线方方程程，然然后后与与椭椭圆圆方方程程联联立立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求解；利用根与系数的关系及中点坐标公式求解；解法二：设出解法二：设出A、B两点坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用中点两点坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用中点坐标公式及斜率求解坐标公式及斜率求解(即点差法即点差法) 解：解：(1)因为点因为点P在椭圆在椭圆C上，所以上，所以2aPF1PF26，a3. 在在RtPF1F2中，中，F1F2 故椭圆的半焦距故椭圆的半焦距c
22、 从而从而b2a2c24，所以椭圆所以椭圆C的方程为的方程为 (2)设点设点A，B的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)已知圆的方程为已知圆的方程为(x2)2(y 1)25，所以圆心所以圆心M的坐标为的坐标为(2,1)，从而可设直线从而可设直线l的方程为：的方程为：yk(x 2)1，代入椭圆代入椭圆C的方程得：的方程得：(49k2)x2(36k218k)x36k236k270. 因为因为A，B关于点关于点M对称，所以对称，所以 2，解得解得k 所以直线所以直线l的方程为的方程为y (x2)1，即，即8x9y250.(经检验，所求直经检验，所求直线方程符合题意线方程符合题意)变式
23、变式4：斜率为斜率为1的直线的直线l与椭圆与椭圆 y21相交于相交于A、B两点，则两点，则 AB的最大值为的最大值为_解析：解析：设椭圆截直线于设椭圆截直线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由两点，由 消去消去y，得，得5x28tx4(t21)0.则有则有x1x2 t，x1x2 .AB |x1x2| ，当，当t0时，时，|AB|max 2(1)如果已知椭圆如果已知椭圆 1(ab0)上一点上一点P，需要解决有关，需要解决有关 PF1F2的问题，由于在的问题，由于在PF1F2中已知中已知F1F22c， PF1PF22a，如果再给出一个条件，如果再给出一个条件，PF1F2可可 解解(2)当然
24、如果涉及到椭圆上点到焦点的距离，也可当然如果涉及到椭圆上点到焦点的距离，也可 考虑由考虑由 和方程推出的结论和方程推出的结论焦半径公式焦半径公式 PF1aex0，PF2aex0.【规律方法总结规律方法总结】1求椭圆方程：求椭圆方程：(1)可通过对条件的可通过对条件的“量化量化”根据两个条件利用待根据两个条件利用待 定系数法求椭圆的标准方程；定系数法求椭圆的标准方程；(2)可利用求轨迹方程的方法求可利用求轨迹方程的方法求椭圆方程椭圆方程3在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了 解，如解，如(1)ac与与ac分别为椭圆上点到焦点
25、距离的最大值和最小分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小 值；值；(2)椭圆的通径椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦过焦点垂直于长轴的弦)长长 ，是过椭圆焦，是过椭圆焦 点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等4求椭圆的离心率求椭圆的离心率e ，可根据已知条件列出一个关于，可根据已知条件列出一个关于a、b、c 的齐的齐次等式，再结合次等式，再结合a2b2c2可得关于可得关于e的方程求解，求椭圆的离心率的方程求解，求椭圆的离心率与求椭圆的标准方程相比较，比求椭圆的标准方程少一个条件与求椭圆的标准方程相比较，比求椭圆的标准方程少一个条件. 【例例5】 (2009重庆卷
26、重庆卷)已知椭圆已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别的左、右焦点分别 为为F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点，若椭圆上存在点P使使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为则该椭圆的离心率的取值范围为_分析：分析：在在PF1F2中根据正弦定理建立关系式和已知条件比中根据正弦定理建立关系式和已知条件比较寻找关于离心率较寻找关于离心率e的不等式的不等式【高考真题高考真题】规范解答：规范解答：根据已知条件根据已知条件PF1F2，PF2F1都不等于都不等于0，即点即点P不是椭圆的不是椭圆的左、右顶点，故左、右顶点，故P，F1，F2构成三角形在构成三角形在PF1F2中，由正弦中，由正弦定理得定理得
27、，则由已知得，则由已知得 ，即即aPF1cPF2.设点设点P(x0，y0)，由焦点半径公式，得，由焦点半径公式，得PF1aex0，PF2aex0，则，则a(aex0)c(aex0)得得x0 ，由椭圆的几何性质知由椭圆的几何性质知x0a，则，则 a， 整理得整理得e22e10， 解得解得e 1. 又又e(0,1)，故椭圆的离心率，故椭圆的离心率e( 1,1) 故填故填( 1,1) 答案答案：( 1, 11, 1) ) 【全解密全解密】本题考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、正弦定理等基础知识，但试题的核本题考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、正弦定理等基础知识，但试题的核心考查点是分析问题、解决
28、问题的能力，试题给出的心考查点是分析问题、解决问题的能力，试题给出的 实际实际上是给出了这个椭圆上点上是给出了这个椭圆上点P到左、右焦点的两条焦半径之间的一个等量关系，要到左、右焦点的两条焦半径之间的一个等量关系，要求考生根据这个等量关系建立关于离心率的不等式，对能力有较高的要求试题求考生根据这个等量关系建立关于离心率的不等式，对能力有较高的要求试题设计新颖，是一道值得仔细品味的试题设计新颖，是一道值得仔细品味的试题【命题探究命题探究】椭圆的焦点半径椭圆的焦点半径果在椭圆果在椭圆C： 1(ab0)中，点中，点P(x0，y0)，F1，F2分别为左、右焦点，则分别为左、右焦点，则PF1aex0，P
29、F2aex0，F1F22c，e为椭圆的离心率，其证明过程如下：为椭圆的离心率，其证明过程如下：由于由于 1，故，故 ，根据两点间的距离公式，根据两点间的距离公式PF1 =又又由由于于ax0a，所所以以0ca x0aca，故故PF1 x0aaex0；根根据据椭椭圆定义圆定义PF22aPF12a(aex0)aex0，F1F22c.【知识链接知识链接】 注：注：(1)通常把通常把PF1、PF2称为该椭圆的左、右焦点半径，从这个规律可以看出焦点称为该椭圆的左、右焦点半径，从这个规律可以看出焦点在在x轴上的椭圆的焦点半径只与点轴上的椭圆的焦点半径只与点P的横坐标有关，同理可以写出焦点在的横坐标有关，同理
30、可以写出焦点在y轴上的椭轴上的椭圆的焦点半径圆的焦点半径(2)由由PF1aex0知当知当x0a时，时，PF1最小，当最小，当x0a时，时，PF1最大最大(虽然这时虽然这时F1，F2已经不能构成三角形，但我们上面的推导并没有用到已经不能构成三角形，但我们上面的推导并没有用到P，F1，F2构成三角形这个条构成三角形这个条 件件) 椭圆离心率范围问题基本分析思路：求解椭圆的离心率实际上就是建立一个关椭圆离心率范围问题基本分析思路：求解椭圆的离心率实际上就是建立一个关于离心率的不等式，这个不等式可以通过建立于离心率的不等式，这个不等式可以通过建立a，b，c的不等式达到目的，在的不等式达到目的，在椭圆中
31、建立不等式有如下一些思考途径：一是椭圆几何性质，如根据椭圆上点椭圆中建立不等式有如下一些思考途径：一是椭圆几何性质，如根据椭圆上点的坐标的范围与已知条件建立不等式；二是涉及直线与椭圆相交时，直线方程的坐标的范围与已知条件建立不等式；二是涉及直线与椭圆相交时，直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程的判别式大于零；三是题目中给与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程的判别式大于零；三是题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式出的或能够根据已知条件得出的不等关系式【方法探究方法探究】 【技巧点拨技巧点拨】 在椭圆中，当椭圆上的点不是其长轴的两个端点时，这个点与椭圆的两个焦点在椭圆中，
32、当椭圆上的点不是其长轴的两个端点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形中一个边长等于焦距，另两个边长之和等于可以构成一个三角形，这个三角形中一个边长等于焦距，另两个边长之和等于长轴的长，在这个三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解决一些问题长轴的长，在这个三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解决一些问题【发散思维发散思维】本题也可以按如下方法解答：据本题也可以按如下方法解答：据“规范解答规范解答”知知PF1 PF2，由椭圆的定义知，由椭圆的定义知PF1PF22a，则，则 PF2PF22a，即，即PF2 .由椭圆的几何性质知由椭圆的几何性质知PF2ac，则则 0，所以，所以e22e10
33、，从而可求出离心率，从而可求出离心率e的范围的范围【误点警示误点警示】 本题易出现的一个致命的错误就是忽视了隐含条件本题易出现的一个致命的错误就是忽视了隐含条件“PF1F2，PF2F1都不能等于都不能等于0”，这样会导致在最后的答案中含有离心率等于，这样会导致在最后的答案中含有离心率等于 1.解答数学题目要注意对隐解答数学题目要注意对隐含条件的挖掘，确保答案准确无误，特别是解答选择题和填空题尤为如此含条件的挖掘，确保答案准确无误，特别是解答选择题和填空题尤为如此. 1已知椭圆已知椭圆x2 1和直线和直线y2xm恒有两个不同的交点，求两交点连线的恒有两个不同的交点，求两交点连线的 中点轨迹方程中
34、点轨迹方程分析：分析：解决直线与圆锥曲线的关系问题，除利用根与系数关系外，也可以解决直线与圆锥曲线的关系问题，除利用根与系数关系外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法解：解：设直线与椭圆的两个交点的坐标为设直线与椭圆的两个交点的坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有则有 设设MN的中点的中点P(x，y)，则，则x1x22x，y1y22y.又又 2，24 ，即即2xy0为所求轨迹方程为所求轨迹方程(轨迹为已知椭圆内的部分轨迹为已知椭圆内的部分)2已知椭圆已知椭圆C： 1，F1，F2为其两个焦点，问
35、：能否在椭圆为其两个焦点，问：能否在椭圆C上找到一点上找到一点 M， 使点使点M到左准线的距离到左准线的距离|MN|是是|MF1|和和|MF2|的等比中项的等比中项(如图如图)？若存在，求出？若存在，求出 点点M的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由 分析：分析：对于探索性问题，可以先假设结论成立，寻找这个假设成立的等价条对于探索性问题，可以先假设结论成立，寻找这个假设成立的等价条 件，并与题设条件进行对照，从而使问题得到解决在解本题的过程中，应件，并与题设条件进行对照，从而使问题得到解决在解本题的过程中，应 考虑到椭圆的第一定义、第二定义、椭圆的几何性质和基本不等式等知识考虑到
36、椭圆的第一定义、第二定义、椭圆的几何性质和基本不等式等知识 解：解法一：解：解法一：设设M点存在，其坐标为点存在，其坐标为(x0，y0)，则则 .|MN|x04|，|MF1| ，|MF2| .代代入入等等式式|MN|2|MF1|MF2|，整整理理，得得(x04)2 .2x02，(x04)2 (16x )，解得解得x04或或xo . 当点当点M存在时存在时，xo2,2，符合题设条件的点符合题设条件的点M不存在不存在解法二：解法二：由已知，得椭圆的半长轴由已知，得椭圆的半长轴a2，半短轴半短轴b ，半焦距半焦距c1，离心离心率率e . 又焦点又焦点F1，F2的坐标分别为的坐标分别为(1,0)和和(1,0)，左准线左准线l的方程为的方程为x 4.设设|MN|t0，由椭圆的第二定义，由椭圆的第二定义，|MF1|e|MN|et. 又由椭圆的第一定义，得又由椭圆的第一定义，得|MF1|MF2|2a，|MF2|2aet. 设设M点存在，则点存在，则|MN|2|MF1|MF2|，得，得t2et(2aet)t0，t .由于椭圆由于椭圆C上的点到左准线的最短距离是椭圆左顶点到左上的点到左准线的最短距离是椭圆左顶点到左 准线的距离，准线的距离， 即即 a422.而而|MN|t 2，符合题设条件的点符合题设条件的点M不存在不存在
