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1、9.5 在在柱柱坐标系和球坐标系下坐标系和球坐标系下计算三重积分计算三重积分一、在柱坐标系下的计算法一、在柱坐标系下的计算法规定：规定：？图形？图形？图形？图形 ？图形？图形Z轴为轴的圆柱面轴为轴的圆柱面通过通过z轴的半平面轴的半平面平行于平行于xy面的平面面的平面体积元体积元三次积分三次积分次序一般是先次序一般是先 z 次次 r后后例例1解解将将 投到投到xoy 面得面得D:注注: 若空间区域为若空间区域为以坐标轴为轴以坐标轴为轴的的圆柱体、圆锥体或旋圆柱体、圆锥体或旋转体转体时，通常情况下考虑使用柱坐标来计算。时，通常情况下考虑使用柱坐标来计算。先单后重先单后重:解解例例2注意到注意到12
2、二、在球坐标系下的计算法二、在球坐标系下的计算法规定规定球球 面面圆锥面圆锥面半平面半平面如图，如图，球面坐标系中体积元素球面坐标系中体积元素然后把它化成对然后把它化成对 的三次积分的三次积分具体计算时需要将具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示用球坐标系下的不等式组表示积分次序通常是积分次序通常是（1）如）如积分区域的边界曲面是一个包含原点在积分区域的边界曲面是一个包含原点在内的闭曲面，其球面坐标为：内的闭曲面，其球面坐标为：=解解注注若若:积分区域为球体、球壳或其一部分积分区域为球体、球壳或其一部分;被积函数呈被积函数呈而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。通常采用球坐标。类似，例如：类似，例如：P245 例例9.5.2三、小结三、小结三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素球球 面面圆锥面圆锥面半平面半平面圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面解一解一用球坐标用球坐标解二解二用柱坐标用柱坐标
