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1、(伽菲尔德证法伽菲尔德证法1876年）年） 如图如图RtABERtECDRtABERtECD，可知可知AED=90AED=90, ,如何表示梯形的如何表示梯形的面积？面积？梯形ABCD的面积梯形ABCD的面积动动脑动动脑bABCDEaabcacbabc结论结论：思考思考: :大正方形面积怎么表示？大正方形面积怎么表示？动动脑动动脑赵爽弦图赵爽弦图例例1 1：求出下列直角三角形中未知边的长度。：求出下列直角三角形中未知边的长度。6 68 8x x解：（解：（1）在）在RtABC中中,由勾股定理得：由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X X2 2 =36+64=36+64x x2 2 =100 =
2、100x x2 2=6=62 2+8+82 2 x=10 x=10 x0x0 x x2 2+5+52 2=13=132 2 x x2 2=13=132 2-5-52 2x x2 2=144=144 x=12x=12（2）在在RtABC中中,由勾股定理由勾股定理:AB2+AC2=BC2x0x0A AC CB Bx x5 51313A AC CB B知识应用知识应用勾股定理勾股定理( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b勾勾股股弦弦 如果三角形的三边长如
3、果三角形的三边长a，b，c满足满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形 满足满足a2 +b2=c2的三个正的三个正整数，称为整数，称为勾股数勾股数勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理在在ABC中中, a，b，c为三边为三边长长,其中其中 c为最大边为最大边,若若a2 +b2=c2, 则则ABC为为直角三角形直角三角形;若若a2 +b2c2, 则则ABC为锐角三角形为锐角三角形;若若a2 +b20,则向则向右右平移；若平移；若a0,则向则向上上平移；若平移；若b1则横向被则横向被拉长拉长；若若0m1则纵向被则纵向被拉长拉长； 若若0n1,图形整个被图形整个被放大
4、放大;若若 0k1,图形整个被图形整个被压缩压缩。xy02416-112435356例例 4关于关于y 轴对称的两个图形：轴对称的两个图形：(x,y)( _ , _ )-x y对称：对称：(x,y) (- x, y)(x,y) (x, - y) 关于关于y轴对称；轴对称； 关于关于x 轴对称；轴对称；(x,y) (-x, - y)关于关于原点原点 对称对称平移：平移：(x,y) (x +a,y+b)沿沿x轴方向平移轴方向平移a个单位，沿个单位，沿y轴方向平移轴方向平移b个单位；个单位；伸长缩短：伸长缩短：(x,y) (m x, ny)沿沿x轴方向伸缩轴方向伸缩m倍，沿倍，沿y轴方向伸缩轴方向伸
5、缩n倍；倍；放大缩小：放大缩小：(x,y) (k x, ky)形状不变，放大或缩小形状不变，放大或缩小k倍；倍；对称：对称：(x,y) (- x, y)(x,y) (x, - y)关于关于y轴对称；轴对称；关于关于x 轴对称；轴对称；(x,y) (-x, - y)关于关于原点原点 对称对称谁的包裹多谁的包裹多我比你多我比你多2条鱼条鱼 要是从你那拿要是从你那拿1条条,我就是你的我就是你的2倍倍你们到底各有几条啊你们到底各有几条啊? ? 设设小猫小猫有有 x条鱼条鱼,小熊有小熊有y 条鱼条鱼.小猫的小猫的鱼比小熊多两条鱼比小熊多两条,由此你能得到怎样的方程由此你能得到怎样的方程?谁的包裹多谁的包
6、裹多 若若小熊小熊从小猫那儿拿一条鱼过来从小猫那儿拿一条鱼过来,这时这时它们各有几条鱼它们各有几条鱼?由此你又能得到怎样的方程由此你又能得到怎样的方程?可得方程可得方程 x y=2 x+1=2(y-1) 想一想一想想 上述方程有几个未知数上述方程有几个未知数? 含含 未知数的项的次数是多少未知数的项的次数是多少? 含有两个未知数含有两个未知数,并且所含未知数的并且所含未知数的项的次数都是项的次数都是1的方程叫做二元一次方程的方程叫做二元一次方程议 一 议在上面的方程x-y=2 和X+1=2(y-1)中, x的含义相同吗? y 呢?它们的含义都相同它们的含义都相同,我我们就把两个方程连列们就把两
7、个方程连列起来起来.写作写作:x-y=2X+1=2(y-1) 像这样含有两个未知数的两个一次方程像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组叫做二元一次方程组(1)(1)x=6,y =2x=6,y =2适合方程适合方程x+y=8 x+y=8 吗吗? X=5,y=3? X=5,y=3呢呢 ,x=4,x=4,(2)(2)y=4y=4呢呢? ?你还能找到其他你还能找到其他x,yx,y值适合方程值适合方程x+y=8x+y=8吗吗? ? (2)(2)x=5,y=3x=5,y=3适合方程适合方程5x+3y=345x+3y=34吗吗?x=2,y=8?x=2,y=8呢
8、呢? ?(3)(3)你能找到一组你能找到一组x,y x,y 的值的值, ,同时适合方程同时适合方程x+y=8 x+y=8 和和5x+3y=345x+3y=34吗吗? ?适合一个二元一次方程的一组未知数的植适合一个二元一次方程的一组未知数的植, ,叫叫做这个二元一次方程的一个解做这个二元一次方程的一个解. .如如:x=6,y=2:x=6,y=2是是方程的一个解方程的一个解, ,记作记作x=6y=2做一做 二二元元一次方程组中各个方程的公共解一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解叫做这个二元一次方程组的解.小试牛小试牛刀刀:1.根据题意根据题意,列方程组列方程组:小明从邮局买了面
9、植小明从邮局买了面植50分和分和80分的邮票共分的邮票共9枚枚,花了花了6.3元元.小明买了两种邮票各多少枚小明买了两种邮票各多少枚?2.下列下列4组数值中组数值中,哪些是二元一次方程哪些是二元一次方程2x+y=10的解的解a. bcdx=-2y=6x=3y=6x=4y=2x=6y=-2 昨天昨天,我们我们8个个人去红山公园玩人去红山公园玩,买门票花了买门票花了34元元. 每张成人票每张成人票5元元,每张儿童票每张儿童票3元元.他们到底去了几他们到底去了几个成人、几个儿个成人、几个儿童呢童呢?还记得下面这一问题吗还记得下面这一问题吗? ?设他们中有设他们中有x个成人，个成人，y个儿童个儿童.
10、. 我们列出的二元一次方程组为我们列出的二元一次方程组为: :解：设去了解：设去了x个成人，则去个成人，则去了了(8(8x) )个儿童，根据题个儿童，根据题意，得：意，得： 解得：解得：x=5.=5.将将x=5=5代入代入8 8x=8=85=3.5=3.答：去了答：去了5 5个成人，个成人， 3 3个个儿童儿童. . 用一元一次方程求解用一元一次方程求解用二元一次方程组求解用二元一次方程组求解解：设去了解：设去了x个成人，去了个成人，去了y个儿童，根据题意，得：个儿童，根据题意，得： 观察观察: :列二元一次列二元一次方程组和列一元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不方程设未知数有何不同？
11、列出的方程和方同？列出的方程和方程组又有何联系？对程组又有何联系？对你解二元一次方程组你解二元一次方程组有何启示？有何启示？ 解：设去了解：设去了x个成人，去了个成人，去了y个儿童，根据题意，得：个儿童，根据题意，得： 用二元一次方程组求解用二元一次方程组求解由由得：得：y = 8= 8x. . 将将代入代入得：得：5x+3(8x)=34.解得：解得：x = 5.把把x = 5代入代入得：得：y = 3.所以原方程组的解为：所以原方程组的解为：3x+2y=14 例例1：解方程组解方程组X=y+3 所以原方程组的解是所以原方程组的解是 x=4y=1解：将解：将代入代入 ，得，得3（y+3）+2y
12、=143y+9+2y=14 5y=5 y=1将将y=1代入代入，得，得 x=4例例2 解方程组解方程组 2x+3y=16 2x+3y=16 x+4y=13 解：由解：由 ，x=13 - 4y x=13 - 4y 将将代入代入 ，得，得 2 2（13 - 4y13 - 4y）+3y=16+3y=16 26 26 8y +3y = 16 8y +3y = 16 -5y=-10 -5y=-10 y= 2 y= 2将将y=2y=2代入代入 ，得，得 x=5。所以原方程组的解是所以原方程组的解是x=5，y=2。上面解方程组的基本思路是上面解方程组的基本思路是“消元消元”-把把“二元二元”变为变为“一元一
13、元”。主要。主要步骤步骤是：将其中是：将其中一个方程的某个未知数用含另一一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称方法称为代入消元法，简称代入代入法法. . 一般地，在二元一次方程组中，使每个方程都适一般地，在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解（合的解（公共解公共解），叫做这个二元一次方程组的解。），叫做这个二元一次方程组的解。什么是二元一次方程组？什么是二元
14、一次方程组？ 如果方程如果方程组组中含有两个未知数，且含有中含有两个未知数，且含有 未知数的未知数的项项的次数都是一次，这样的方程组的次数都是一次，这样的方程组 叫做叫做二元一次方二元一次方程组程组。随堂练习：随堂练习：(1) x=y-524x+3y=65(2)3x-2y=9x+2y=3x=5y=15x=3y=0若上面的第二个方程组中的若上面的第二个方程组中的2X+3Y=3改为改为6X+2Y=3该如何用代入消元法解呢该如何用代入消元法解呢? 1 1、 我们知道了用我们知道了用代入消元法代入消元法解二元解二元一次方程组的一次方程组的基本思路基本思路是是“消元消元”。即。即把把“二元二元”化为化为
15、“一元一元”，化二元一次，化二元一次方程组为一元一次方程。方程组为一元一次方程。2 2、 把求出的解代入原方程组，可以检把求出的解代入原方程组，可以检验解题过程是否正确。验解题过程是否正确。l利用利用等式的性质，等式的性质，使方程组的两个方程中使方程组的两个方程中的某一个未知数前的系数的的某一个未知数前的系数的绝对值绝对值相等，相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。得以求解。 l这种解二元一次方程组的方法叫作加这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。减消元法，
16、简称加减法。l用加减法解二元一次方程的一般步骤是：用加减法解二元一次方程的一般步骤是：l1. 将其中一个未知数的系数化成相同（或将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；互为相反数）；l2. 通过相减（或相加）消去这个未知数，通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；得到一个一元一次方程；l3. 解这个一元一次方程，得到这个未知数解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；的值；l4. 将求得的未知数的值代入原方程组中的将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；任一个方程，求得另一个未知数的值；l5. 写出方程组的解。写出方程组的解。1 1、 -1=3
17、y -1=3y 是不是二元一次方程？答：是不是二元一次方程？答： （“是是”或或“不是不是”）2 2、方程、方程3x 3x y =1 y =1有有 个解。个解。3 3、方程、方程3x + 2y =13x + 2y =1中，当中，当x =1x =1时，时，y =y = 。4 4、若若 是方程是方程3x + y 3x + y k =1 k =1的的一个解，则一个解，则k k = = 。5 5、已知方程已知方程2x + y =02x + y =0，x + 2y =3x + 2y =3，那么那么 能满足的能满足的 方程是方程是 （用数字用数字、填空）填空）练习：练习：不是不是无数无数-12、果品批发市
18、场果品批发市场,苹果每千克苹果每千克k元元,每位来采购的每位来采购的批发商需要另交市场管理费批发商需要另交市场管理费b元元.若某批发商若某批发商买苹果买苹果x千克千克,怎样计算买苹果的总价？怎样计算买苹果的总价？y=kx+b已知已知x=80,y=200,能否确定能否确定k？需确定需确定k,还需还需要知道什么要知道什么? 若把若把x=80,y=200代入代入y=kx+b,得得200=80k+b有多少个未知数？有多少个未知数？知道知道b,则可知则可知k,若题目中不准给出若题目中不准给出b的值的值,则则需要知道什么可求出需要知道什么可求出k? 知多一对知多一对x、y的值的值.要求两个未知数要求两个未
19、知数,就要知两个相等关系就要知两个相等关系.求求a、b的值的值.解：把解：把x=3,y=2代入原方程组代入原方程组,就得到关于就得到关于a、b的二元一次方程组的二元一次方程组a=3,b=2课堂小结1.解二元一次方程组的基本思路解二元一次方程组的基本思路:2.解二元一次方程组解二元一次方程组消元转化消元转化(代入消元、加减消元代入消元、加减消元)解一元一次方程解一元一次方程3.数学解题中数学解题中,问题中未知数的个数相等问题中未知数的个数相等关系的个数关系的个数等于等于4.列方程解应用题的步骤：列方程解应用题的步骤：审题；设；列；解；检；答。审题；设；列；解；检；答。实际问题分析分析抽象抽象方程
20、（组）求解求解检验检验问题解决列列方程解应用题的总思路：方程解应用题的总思路：等量关系：等量关系： “鸡鸡兔兔问问题题”起起源源于于我我国国古古代代的的一一本本数数学学书书孙孙子子算算经经：“今今有有鸡鸡、兔兔同同笼笼，上上有有三三十十五五头头，下下有有九九十十四四足足，问鸡、兔各几何？问鸡、兔各几何？”解：设笼中有鸡解：设笼中有鸡x只，有兔只，有兔y只。只。由题意可得：由题意可得： - 2,得：得：将将y= 12 代入代入，得，得x= 23方程组的解为方程组的解为：答：笼中有鸡答：笼中有鸡2323只，有兔只，有兔1212只。只。3.你能你能你能你能 解决这个有趣的问题吗解决这个有趣的问题吗解
21、决这个有趣的问题吗解决这个有趣的问题吗? ? 某商场正在热销某商场正在热销2008年北京奥年北京奥运会吉祥物运会吉祥物“福娃福娃”玩具和徽章两种玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒求一盒“福娃福娃”玩具和一枚徽章的价玩具和一枚徽章的价格各是多少元？格各是多少元？变式训练变式训练：共计共计145145元元共计共计280280元元解：设一盒解：设一盒“福娃福娃”玩具的价格为玩具的价格为x元和一枚元和一枚徽章的价格为徽章的价格为y元元.由题意可得：由题意可得： 2- ,得： 答：答：一盒一盒“福娃福娃”玩具的价格为玩具的价格为125元和一枚徽元和一枚徽章的
22、价格为章的价格为10元元.将将y y= 10代入代入，得得x x=125方程组的解为方程组的解为：拓展练习：拓展练习： 小明说他有小明说他有2元、元、10元的人民币元的人民币共共50张，合计张，合计400元，请问，可能元，请问，可能吗？为什么？吗？为什么？ 解：设解：设2元有元有x张，张，10元有元有y张。张。由题意可得：由题意可得： -2,得：得：不符合实际情况本题无解，小明说的那种情况不可能！审题、找出审题、找出等量关系等量关系设设未知数未知数列方程组列方程组解解方程组方程组用数据解释实际用数据解释实际问题问题小结小结 树立树立用二元一次方程组用二元一次方程组构建数学模构建数学模型解决实际
23、问题的思想型解决实际问题的思想!步骤步骤:例1l水源透支令人担忧水源透支令人担忧,节约用水迫在眉睫节约用水迫在眉睫,针对居民用水浪费现象针对居民用水浪费现象,某城市指定了居民每月用水标准某城市指定了居民每月用水标准8立方米立方米,超标部分加价收费超标部分加价收费,某某户居民连续两个月的用水和水费分别为户居民连续两个月的用水和水费分别为12立方米立方米,22元和元和10立米立米,16.2元元,试求该市民每户每月用水收费标准试求该市民每户每月用水收费标准?设设: 不超过不超过8立方米的水的单价为立方米的水的单价为x元立方米元立方米, 超过超过8立方米的水的单价为立方米的水的单价为y元立方米元立方米
24、, 则则8x(12-8)y228x(10-8)y16.2第一个月第一个月第二个月第二个月不超过不超过8立方米立方米 的水费的水费(元元)超过超过8立方米立方米 的水费的水费(元元)总的水费总的水费 (元元)列表列表:有助于理清思路有助于理清思路,找到等量关系找到等量关系!练习练习1l为了节约能源为了节约能源,某单位按以下规定收取每月电费某单位按以下规定收取每月电费,用电不用电不超过超过140kwh的的,按标准收费按标准收费,而超过的部分要加价收费而超过的部分要加价收费,若某用户在连续二个月的用电量和电费分别若某用户在连续二个月的用电量和电费分别125kwh、62.5元和元和160kwh、82元
25、元,求该单位每月用电的收费标准求该单位每月用电的收费标准?第一个月第二个月总的电费(元)不超过140kwh超过140kwh 125x140x(160140)y8262.5设:不超过140kwh部分电的单价为x元/kwh, 超过140kwh部分电的单价为y元/kwh,例2l已知甲已知甲,乙两种商品原单价的和为乙两种商品原单价的和为300元元,因市场变化因市场变化,甲商品涨价甲商品涨价10%,乙商品降价乙商品降价14%,调价后调价后,这两种商品单价的和比原来提高这两种商品单价的和比原来提高2%,求甲求甲,乙两种商品原来的单价各是多少元乙两种商品原来的单价各是多少元?设设:甲甲,乙两种商品的价格分别
26、为乙两种商品的价格分别为x元和元和y元元,则则 调价前调价前调价后调价后甲商品的单价甲商品的单价 (元元)乙商品的单价乙商品的单价 (元元)两种商品的单价和两种商品的单价和 (元元)300(1+2%)x300xy(1+10%)x(1-14%)y练习练习2l某商场以一定的进价购进一批服装某商场以一定的进价购进一批服装,并以一定的单价售出并以一定的单价售出,平均每平均每天卖出天卖出10件件,30天共获利天共获利15000元元,现在为了尽快回笼资金现在为了尽快回笼资金,商场商场决定将每件衣服降价决定将每件衣服降价20%出售出售,结果每天比降价前多卖出结果每天比降价前多卖出10件件,这这样样30天可获
27、利天可获利12000元元,问这批服装每件的进价及降价前出售的问这批服装每件的进价及降价前出售的单价各是多少单价各是多少?降降 价价 前前降降 价价 后后30天共获利天共获利 (元元)150001200030天售出的价格天售出的价格(元元)30天所需进价天所需进价(元元)3010y3010x30(1010)(120%)y30(1010)x设设:这批服装的进价为这批服装的进价为x元元/件件,降价前出售的单价为降价前出售的单价为y元元/件件,则有则有1. 如如果果一一个个两两位位数数的的十十位位数数字字为为x，个个位位上上的的数数字字为为y，那那么么这这个个两两位位数数可可表表示示为为_;如如果果交
28、交换换个个位位和和十十位位数数字字,得得到到的的新新两两位位数数为为_. 3. 一个两位数的十位数字为一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为个位上的数字为y，如果在它们的中间加一个零如果在它们的中间加一个零,变成一个三位数变成一个三位数,那么这个三位数可表示为那么这个三位数可表示为_.2. 两个两位数分别为两个两位数分别为x和和y，如果将如果将x放到放到y的左的左边就得到一个四位数边就得到一个四位数,那么这个四位数可表示为那么这个四位数可表示为_;如果将如果将x放到放到y的右边就得到一个的右边就得到一个新的四位数新的四位数,那么这个新的四位数可表示为那么这个新的四位数可表示为_.10x+y1
29、0y+x100x+y100y+x100x+y小明骑摩托车在公路上高速行驶，小明骑摩托车在公路上高速行驶，12:00时看到时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13:00时看里程碑上的两位数与时看里程碑上的两位数与12:00时看到的时看到的个位数和十位数颠倒了；个位数和十位数颠倒了；14:00时看到里程碑上时看到里程碑上的数比的数比12:00时看到的两位数中间多了个零，小时看到的两位数中间多了个零，小明在明在12:00时看到里程碑上的数字是多少？时看到里程碑上的数字是多少？解解:设设小小明明在在12:00时时看看到到的的数数的的十十位位数数字字
30、是是x，个位的数字是个位的数字是y，那么那么x+y=7(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x)答答:小明在小明在12:00时看到的数字是时看到的数字是16 x=1 y=6解解: 例例 1 ： 已知一个两位数，十位数是个位数的已知一个两位数，十位数是个位数的二倍还多一，将十位数字与个位数字对二倍还多一，将十位数字与个位数字对调所得的新数比原数小调所得的新数比原数小27，求这个两位，求这个两位数。数。解：设个位数为解：设个位数为X，十位数为，十位数为y由题意得由题意得例例2: 两个两位数的和为两个两位数的和为 68, 在较大的两位数在较大的两位数在右边接着写较小的两位数在右
31、边接着写较小的两位数, 得到一个四得到一个四位数位数; 在较大的两位数在左边接着写较小在较大的两位数在左边接着写较小的两位数的两位数, 也得到一个四位数也得到一个四位数. 已知前一已知前一个四位数比后一个四位数大个四位数比后一个四位数大2178, 求这两求这两个两位数个两位数. 问题的延伸问题的延伸:1.甲甲、乙乙两两人人相相距距42Km，如如果果两两人人从从两两地地相相向向而而行行，24小小时时后后相相遇遇，如如果果二二人人同同时时从从两两地地出出发发，相相向向而而行行，14h后后乙乙追追上上甲甲，求求二二人人的速度。的速度。解解：设设甲甲的的速速度度为为x Km/h，乙乙的的速速度度为为y
32、 Km/h。根根据据题意，得题意，得做一做一做：做：2.有两种不同浓度的溶液，如果从第一种中有两种不同浓度的溶液，如果从第一种中取取20L，从第二种中取从第二种中取30L，那么混合后得浓那么混合后得浓度为度为36%的混合液，如果从第一种中取的混合液，如果从第一种中取40L，从第二种取从第二种取50L，那么混合后得浓度为混那么混合后得浓度为混合液，求两种溶液原来的浓度。合液，求两种溶液原来的浓度。 解解：设设第第一一种种溶溶液液原原来来的的浓浓度度为为x%，第第二二种种溶溶液原来的浓度为液原来的浓度为y%，则，则3.小小张张、小小王王和和小小李李三三人人进进行行自自行行车车比比赛赛，小小张张比比小小王王早早12min到到达达终终点点，小小王王比比小小李李早早3min到到达达终终点点，他他们们算算了了一一下下，小小张张比比小小王王每每小小时时要要快快5Km，小小王王比比小小李李每每小小时时要要快快1Km，他他们们三三人人进进行行自自行行车车比比赛赛的的路路程有多长？程有多长？解：设小张所用时间为解：设小张所用时间为x h，速度为速度为y Km/h，则小则小王所用时间为王所用时间为 ，速度为（，速度为（y-5）Km/h，小李所用时小李所用时间为间为 ，速度为（，速度为（y-6）Km/h，于是由三个人赛程相于是由三个人赛程相同，有同，有
