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1、摄动法基础改Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望1.1 参数摄动参数摄动 1.2 坐标摄动坐标摄动 1.3 量规函数量规函数 1.4 量阶符号量阶符号1.5 渐近级数渐近级数1.6 渐近序列和渐近展开式渐近序列和渐近展开式 1.7 渐近级数与收敛渐近级数与收敛 1.8 一致展开式一致展开式 1.9 例题例题第第 1 1 章章 摄动法基础摄动法基础 力学家、物理学家、工程师和应用数学家面对的许多物理问题，都展示出一些基本的特征：控制方程非线性，或在已控制方程非线性，或在已知
2、边界上（或某些情况下在未知边界上）的边界条件是非线知边界上（或某些情况下在未知边界上）的边界条件是非线性的，或方程是变系数的，或边界形状很复杂，等等性的，或方程是变系数的，或边界形状很复杂，等等。 这样的问题一般不可能获得精确解析解不可能获得精确解析解。因此，迫使人们去寻求这些问题的近似解。 近似方法可以是纯粹的数值方法、纯粹的分析方法，或数值与分析方法的结合。本课程主要介绍本课程主要介绍分析型近似方法分析型近似方法。这些近似分析方法与数值方法结合后，会产生有力的、通用的分析求解体系。（请同学们在今后的学习和研究中去发展请同学们在今后的学习和研究中去发展） 分析型近似方法可以大致分为理性理性的
3、和非理性非理性的两类。非理性近似一般通过一种技巧性的数学模化处理获得，这种处理包括保留一些基本元素、略去某些因素、以及对其他因素作近似处理。因此这种方法一般代表一个死胡同，因为结果的精度无法通过后续的近似进一步提高。反之，一种理性的近似代表了一种系统化的展开，称为渐近法渐近法或摄动法摄动法，原则上它可以无限制地进行下去。 解决现代物理问题的一个关键是数学模型，它包含： 控制方程的推导 边界条件和初始条件 一般总是将得到的数学问题，在作任何近似之前，用无一般总是将得到的数学问题，在作任何近似之前，用无量纲变量表示量纲变量表示。 1.1 参数摄动参数摄动 (Parameter Perturbati
4、ons) 假定物理问题可以用微分方程和边界条件来表示，即其中 u (x, e)为标量或向量型的(无量纲)变量，x 为标量或向量型的(无量纲)自变量，e 为一个无量纲参数。 这种问题一般无法精确求解。但是，如果存在 （可以改变 e 的尺度使 ），使得给定的问题能精确求解或数值求解，那么对于小参数值e ，人们可以寻求 u (x, e) 的近似解，即如下的关于e 的幂展开式： 其中un(x)独立于e ，u0(x)为 时问题的解。这种展开式称为参数摄动参数摄动。本课程主要介绍参数摄动。1.2 坐标摄动坐标摄动 (Coordinate Perturbations) 假定物理问题用不带参数的微分方程和边界
5、条件来表示已知已知：当 时， u (x)取已知形式u0 （x0 的尺度可以指定为 0 或 ）。 坐标摄动法的任务坐标摄动法的任务：当 x 在 x0 附近时，确定 u (x) 相对于 u0 的偏差函数为了书写方便，将 仍然记为 u (x)。偏差函数u (x)，对于 x0 = 0 用 x 的幂级数来表示，对于 x0 = 用 x 1 的幂级数来表示。坐标摄动的几个例子： 1.3 量规函数量规函数 (Gauge Functions) 无论在参数摄动还是坐标摄动中，我们感兴趣的是，当无量纲参数 e 趋于一个特殊值 e 0 时函数 f (e) 的极限行为（总是可以改变 e 的尺度使 e 0 = 0）；如果
6、这种极限存在，则有三种可能： 这种基于极限给出的分类不是很有用，因为当 e 0 时，存在无数个函数趋于零或趋于无穷。因此，我们根据趋于零或趋于无穷的速率将第一和第三类再细分。为此，我们将这些函数趋于零或趋于无穷的速率与一组量规函数量规函数趋于零或趋于无穷的速率进行比较。这些量规函数是已知的、其极限行为是直观可知的。量规函数的一些最简单的例子是e 的幂。 1.4 量阶符号量阶符号 (Order Symbols ) 如果 其中 g(e) 可以视为一个量规函数。这种情况，称 f (x) 当 e 0时为g(e) 阶的，或称 f (x) 当 e 0时为g(e) 的大 “oh”。我们记为 如果 这种情况，
7、 f (x) 当 e 0时为g(e) 的高阶函数，称 f (x) 当 e 0时为g(e) 的小 “oh”。我们记为 1.5 渐近级数渐近级数 (Asymptotic Series) 给定一个级数 ，其中 an独立于 x。如果 或我们称其为 f (x)一个渐近级数渐近级数并记为1.6 渐近序列和渐近展开式渐近序列和渐近展开式 (Asymptotic Sequences and Expansions) 一个函数序列 dn(e) ，如果有称为渐近序列渐近序列。 给定一个展开式 ，其中an 独立于e，dn(e)为一个渐近序列。如果有 我们称它为 f (e) 一个渐近展开式，渐近展开式，并记为 显然，一
8、个渐近级数是渐近展开式的一个特例一个渐近级数是渐近展开式的一个特例。 1.7 渐近级数与收敛渐近级数与收敛 (Convergent Versus Asymptotic Series) 设函数 f (x) 可以表示为： 其中an 独立于x。这个级数收敛收敛当且仅当 当 时，这个级数为渐近级数当且仅当 显然，一个收敛级数也是一个渐近级数，但一个渐近级数不一定是收敛的。 1.8 一致展开式一致展开式 (Uniform Expansion ) 超过一个变量的渐近展开式，比如 称为一致的，当且仅当 其中对所有 N 和感兴趣的区域内的 x 均成立。 1.9 1.9 例题、作业例题、作业练习练习： 完成本题的（b）、（c）、（d）小题。练习练习： 本题还有以下的（b）、（c）、（d）小题，请完成。第二项第三项
