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1、1.3 1.3 常系数线性差分方程常系数线性差分方程1 1、形式：、形式：常系数常系数：是指方程中：是指方程中a a1 1、a a2 2、 a an n和和b b1 1、b b2 2、 b bm m为常数。为常数。阶数阶数： y(n)y(n)项中变量序号的最高值与最低值之差。项中变量序号的最高值与最低值之差。线性线性： y(n-k)y(n-k)与与x(n-m)x(n-m)项都只有一次幂，且不存在相乘项。项都只有一次幂，且不存在相乘项。该该“线性线性”与线性系统的与线性系统的“线性线性”含义不含义不同同2 2、常系数差分方程的求解：、常系数差分方程的求解： 经典解法：经典解法：类似于模拟系统求解
2、微分方程的方法，要求类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。由于计算复杂，较少使用。 递推递推( (迭代迭代) )法：法：简单、适于用计算机进行求解。但只能简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式得到一系列数值解，不易得到封闭式( (公公 式式) )解答。解答。 变换域法：变换域法：将差分方程变换到将差分方程变换到z z域求解。域求解。 卷积法：卷积法：由差分方程求出系统的由差分方程求出系统的h(n)h(n)，再与已知的再与已知的x(n)x(n) 进行卷积，得到进行
3、卷积，得到y(n)y(n)。例：用迭代法求解差分方程例：用迭代法求解差分方程求单位抽样响应求单位抽样响应h(n)h(n) 设系统差分方程为：设系统差分方程为：y(n)-ay(n-1)=x(n)y(n)-ay(n-1)=x(n)，求求h(n)h(n)。 h(0) = ah(-1)+ h(0) = ah(-1)+ (0) = 0+1 = 1(0) = 0+1 = 1 h(1) = ah(0)+ h(1) = ah(0)+ (1) = a+0 = a(1) = a+0 = a h(2) = ah(1)+ h(2) = ah(1)+ (2) = a(2) = a2 2+0 = a+0 = a2 2解：
4、解：设设x(n)=x(n)= (n)(n)，对因果系统对因果系统，有：，有：y(n)=h(n)=0y(n)=h(n)=0，当当n0n0。 h(n) = ah(n-1)+0 h(n) = ah(n-1)+0 = a = an n+0 = a+0 = an n. . . .迭代迭代 故系统的单位抽样响应为：故系统的单位抽样响应为：h(n)=h(n)=a an nu u(n)(n)。这个系统这个系统显然是因果系统，当显然是因果系统，当| |a|1a|0n0。可写出另一种递推关系：可写出另一种递推关系：y(n-1)=ay(n-1)=a-1-1y(n)-x(n)y(n)-x(n) h(0) = a h(
5、0) = a-1-1h(1)-h(1)- (1) = 0(1) = 0 h(-1) = a h(-1) = a-1-1h(0)-h(0)- (0) = -(0) = -a a-1-1 h(-2) = a h(-2) = a-1-1h(-1)+h(-1)+ (-1) = -a(-1) = -a-2-2 h(n) = a h(n) = a- -n nu u(-n-1)(-n-1). . . .迭代迭代 该系统的单位抽样响应为：该系统的单位抽样响应为：h(n)=-ah(n)=-a- -n nu u(-n-1)(-n-1)。这个这个系统显然不是因果系统，但它的差分方程与前一题相同。系统显然不是因果系统
6、，但它的差分方程与前一题相同。另外另外：一个常系数线性差分方程，只有当边界条件选择合适：一个常系数线性差分方程，只有当边界条件选择合适 时，才相当于一个线性移不变系统。时，才相当于一个线性移不变系统。例：设系统差分方程仍为：例：设系统差分方程仍为：y(n)-ay(n-1)=x(n)y(n)-ay(n-1)=x(n)A A、当边界条件为当边界条件为y(0)=1y(0)=1时，为时，为非线性、移变系统非线性、移变系统B B、当边界条件为当边界条件为y(0)=0y(0)=0时，为时，为线性、移变系统线性、移变系统C C、当边界条件为当边界条件为y(-1)=0y(-1)=0时，为时，为线性、移不变系统
7、线性、移不变系统证：证：( (这里只证明这里只证明A A，B B和和C C留给大家课后思考证明。留给大家课后思考证明。) )令：令：x x2 2(n)=(n)= (n-1)(n-1)， y y2 2(0)=(0)=1 1y y2 2(1) = ay(1) = ay2 2(0)+x(0)+x2 2(1) = a+1(1) = a+1y y2 2(2) = ay(2) = ay2 2(1)+x(1)+x2 2(2) = a(2) = a2 2+a+ay y2 2(n) = ay(n) = ay2 2(n-1)+x(n-1)+x2 2(n) = a(n) = an n+a+an-1n-1 y y2
8、2(n) = (n) = a an nu u(n)+ a(n)+ an-1n-1u(n-1)u(n-1) x x1 1(n)(n)和和x x2 2(n)(n)为移位关系，但为移位关系，但y y1 1(n)(n)和和y y2 2(n)(n)不是移位关系，不是移位关系，故不是移不变系统。故不是移不变系统。令：令：x x1 1(n)=(n)= (n)(n)， y y1 1(0)=(0)=1 1y y1 1(1) = ay(1) = ay1 1(0)+x(0)+x1 1(1) = a(1) = ay y1 1(2) = ay(2) = ay1 1(1)+x(1)+x1 1(2) = a(2) = a2
9、 2 y y1 1(n) = ay(n) = ay1 1(n-1)+x(n-1)+x1 1(n) = a(n) = an n y y1 1(n) = (n) = a an nu u(n)(n)前面已经证明：前面已经证明： 当当 x x1 1(n)=(n)= (n)(n) 时，时，y y1 1(n) = (n) = a an nu u(n)(n) 当当 x x2 2(n)=(n)= (n-1)(n-1) 时，时， y y2 2(n) = (n) = a an nu u(n)+ a(n)+ an-1n-1u(n-1)u(n-1)令：令：x x3 3(n)=(n)= (n)+(n)+ (n-1)(n
10、-1)， y y3 3(0)=(0)=1 1y y3 3(1) = ay(1) = ay3 3(0)+x(0)+x3 3(1) = a+1(1) = a+1y y3 3(2) = ay(2) = ay3 3(1)+x(1)+x3 3(2) = a(2) = a2 2+a+ay y3 3(n) = ay(n) = ay3 3(n-1)+x(n-1)+x3 3(n) = a(n) = an n+a+an-1n-1 y y3 3(n) = (n) = a an nu u(n)+ a(n)+ an-1n-1u(n-1)u(n-1) 当当x x3 3(n)=x(n)=x1 1(n)+x(n)+x2 2(
11、n)(n)时，时，y y3 3(n)y(n)y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)(n)， 所以，该系统也不是线性系统。所以，该系统也不是线性系统。差分方程表示法的一个优点是差分方程表示法的一个优点是： 可以直接得到可以直接得到系统的结构系统的结构，这里的结构是指将输入变换，这里的结构是指将输入变换成输出的成输出的运算结构运算结构。例：差分方程：例：差分方程： y(n)=by(n)=b0 0x(n)-ax(n)-a1 1y(n-1)y(n-1) 该差分方程所表示的结构为：该差分方程所表示的结构为：z z-1-1x(n)x(n)b b0 0-a-a1 1y(n)y(n) 从图中可以看出需从图中可以看出需要多少个要多少个加法器加法器、乘乘法器法器和和延迟单元延迟单元。
